Fay's identity in the theory of integrable systems

Caroline Kalla (1)

1 IMB - Institut de Mathématiques de Bourgogne [Dijon]

Fay's identity on Riemann surfaces is a powerful tool in the context of algebro-geometric solutions to integrable equations. This relation generalizes a well-known identity for the cross-ratio function in the complex plane. It allows to establish relations between theta functions and their derivatives. This offers a complementary approach to algebro-geometric solutions of integrable equations with certain advantages with respect to the use of Baker-Akhiezer functions. It has been successfully applied by Mumford et al. to the Korteweg-de Vries, Kadomtsev-Petviashvili and sine-Gordon equations. Following this approach, we construct algebro-geometric solutions to the Camassa-Holm and Dym type equations, as well as solutions to the multi-component nonlinear Schrödinger equation and the Davey-Stewartson equations. Solitonic limits of these solutions are investigated when the genus of the associated Riemann surface drops to zero. Moreover, we present a numerical evaluation of algebro-geometric solutions of integrable equations when the associated Riemann surface is real.

Un outil puissant dans le cadre des solutions algébro-géométriques des équations intégrables est l'identité de Fay sur des surfaces de Riemann compactes. Cette relation généralise une identité bien connue pour la fonction birapport dans le plan complexe. Elle permet d'établir des relations entre les fonctions theta et leurs dérivées. Cela offre une approche complémentaire aux solutions algébro-géométriques des équations intégrables avec certains avantages par rapport à l'utilisation des fonctions de Baker-Akhiezer. Cette méthode a été appliquée avec succès par Mumford et al. aux équations Korteweg-de Vries, Kadomtsev-Petviashvili et sine-Gordon. Selon cette approche, nous construisons des solutions algébro-géométriques des équations de Camassa-Holm et de Dym, ainsi que des solutions de l'équation de Schrödinger non linéaire à plusieurs composantes et des équations de Davey-Stewartson. Les limites solitoniques de ces solutions sont étudiées lorsque le genre de la surface de Riemann associée tombe à zéro. De plus, nous présentons une évaluation numérique des solutions algébro-géométriques des équations intégrables lorsque la surface de Riemann associée est réelle.

Mots clés: PDE; Camassa-Holm equation; multi-component nonlinear Schrödinger equation; Davey-Stewartson equations; algebro-geometric solutions; theta function; Riemann surfaces; Fay's identity; real oval; theta divisor; Tretkoff-Tretkoff algorithm; algebraic curves; homology basis; periods of holomorphic differentials; degenerate Riemann surfaces; uniformization map; rationnel breather.

Mots clés: EDP; équation de Camassa-Holm; équation de Davey-Stewartson; équation de Schrödinger non linéaire vectorielle; solutions algébro-géométriques; fonction thêta; surface de Riemann; identité de Fay; ovale réel; thêta diviseur; algorithme de Tretkoff-Tretkoff; courbe algébrique; base d'homologie; périodes de différentielles holomorphes; dégénérescence de surface de Riemann; application d'uniformisation; soliton; breather rationnel.

Domaines: Mathématiques [math]

Caroline Kalla. Fay's identity in the theory of integrable systems. Mathematics [math]. Université de Bourgogne, 2011. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00622289v1⟩