Conjecture de brumer-stark non abélienne

Résumé : La recherche d’annulateurs du groupe des classes d’idéaux d’une extension abélienne de Q est un sujet classique et remonte à des travaux de Kummer et Stickelberger. La conjecture de Brumer-Stark porte sur les extensions abéliennes de corps de nombres et prédit qu’un élément de l’anneau de groupe du groupe de Galois, appelé élément de Brumer-Stickelberger, est un annulateur du groupe des classes de l’extension. De plus, elle stipule que les générateurs des idéaux principaux obtenus possèdent des propriétés bien particulières. Cette thèse est dédiée à la généralisation de cette conjecture aux extensions de corps de nombres galoisiennes mais non abéliennes. Dans un premier temps, nous nous focalisons sur l’étude de l’analogue non abélien de l’élément de Brumer, nécessaire à l’établissement d’une conjecture non abélienne. La seconde partie est consacrée à l’énoncé de la conjecture de Brumer-Stark non abélienne et à ses reformulations, ainsi qu’aux propriétés qu’elle vérifie. Nous nous intéressons notamment aux propriétés de changement d’extension. Nous étudions ensuite le cas spécifique des extensions dont le groupe de Galois possède un sous-groupe abélien H distingué d’indice premier. Sous la validité de la conjecture de Brumer-Stark associée à certaines extensions abéliennes, nous en déduisons deux résultats suivant la parité du cardinal de H : dans le cas impair, nous démontrons la conjecture de Brumer-Stark non abélienne, et dans le cas pair, nous établissons un résultat d’abélianité permettant d’obtenir, sous des hypothèses supplémentaires, la conjecture non abélienne. Enfin nous effectuons des vérifications numériques de la conjecture non abélienne permettant de démontrer cette conjecture dans les exemples testés.
Type de document :
Thèse
Mathématiques générales [math.GM]. Université Claude Bernard - Lyon I, 2011. Français. <NNT : 2011LYO10103>


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Contributeur : Abes Star <>
Soumis le : vendredi 2 septembre 2011 - 13:07:24
Dernière modification le : lundi 21 mars 2016 - 14:58:08
Document(s) archivé(s) le : samedi 3 décembre 2011 - 02:25:07

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Gaëlle Dejou. Conjecture de brumer-stark non abélienne. Mathématiques générales [math.GM]. Université Claude Bernard - Lyon I, 2011. Français. <NNT : 2011LYO10103>. <tel-00618624>

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