. Cas-de-base, On montre que les propriétés sont vérifiées pour check(t, ? I , ? I , ) Le point (i) est vrai par hypothèse. Les points (ii), (vi) et (vii) sont vérifiés puisque la substitution ? est vide et pour le point (v), par hypothèse la formule ? I n

S. and =. ?x, on doit prouver le point (i) Il est facile de voir que libres(? , ?) = libres(?, ?) ? {x} et

S. and =. ?x, ? , l'appel récursif est check(t, ?, ?[X ? s], ?)), encore une fois nous devons montrer le point (i)

. Cas-de-base, La formule ? est une parmi , 0, X ou ? = ? . Dans tous ces cas, ?(?) = ? et la preuve est immédiate par définition de la satisfiabilité

. Cas, ¬? ou ? ? ? , la preuve est facile en utilisant la définition de la satisfiabilité, l'hypothèse de récurrence et, ?(¬?) = ¬?(?) et ?(? ? ? ) = ?(? ) ? ?(? )

. Si-?-est-la-formule-?x, algorithme check(t, ?x.? , ?, ?) retourne vrai si et seulement si (i) il existe une étiquette a n'appartenant ni à etiq(t) ni à etiq(? , ?, ?) et (ii) il existe une étiquette b dans etiq(t) ? etiq(? , ?, ?) ? {a} pour laquelle check

. En-remarquant-que, (?), ?) ? etiq(?, ?, ?), en utilisant la proposition 8.9 nous savons que (i),(ii) et (iii) si et seulement si t, ? |= ?x.?(? ) La conclusion suit

. Si-?-est-la-formule-??, ? , ?, ?) retourne vrai si et seulement si t n'appartient pas à M et check(t, ? , ?, ?? ? µ?.(M ? {t}).? ) retourne vrai. Par la proposition 8.11 (point (iii)) nous savons que µ?(M ).? est sous formule de ? I et donc M = ?. Par conséquent, t n'appartient pas à M . Par hypothèse de récurrence , check(t, ? , ?, ?? ? µ?.(M ? {t}).? ) retourne vrai si et seulement si t, ? |= ?? ? µ?(M ?{t}).? (? ) Par la proposition 8, |= ?? ? µ?(M ?{t}).? (? ) si et seulement si t, ? |= ?(µ?(M ).? )

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?. Soient-les-arbres-s,-r-tels-que-t-=-s-r-et-s, {. {{||-}}-et-r-?-s-j, and T. }}-s-t-s-j, Alors l'arbre s n'appartient pas à T ; en effet, dans le cas contrarie, s r = t appartiendrait à T T S j , ce qui contredirait l'hypothèse que t fait la distance entre Il en suit que |s| ? |h|, où h est un arbre qui fait la distance entre S et T . Donc nous avons l, ) = 2 ?|s r| = 2 ?|s| 2 ?|r| ? 2 ?|h| 2 ?|r| = 2 ?|r| d

A. ?. , T. De, S. T. Nous-déduisons-que-d-(-s-t-s-j, and T. T. , Pour faciliter la lecture, notons par R l'ensemble A ? R (ceci pour tout ensemble d'arbres R), Remarquons maintenant que pour tous ensembles

A. Définition, 5 Un ensemble d'arbres T est dit clos pour la relation de composant si pour tout arbre t dans T et pour tout arbre t composant de t

A. Lemme, 6 Soient ? une formule et ? et ? des valuations telles que ? est close par ? et libres(?, ?) ? {?}. Soit T un ensemble d'arbres clos pour la relation de composant Alors : (i) pour tout ensemble d'arbres S, ? ?,?[??S] ? T = ? ?,?[??S?T ] ? T

. ?t-?-s, B. ?. Et-donc, and S. =. , Il est évident que si Soit maintenant S un ensemble tel que ? ?,?[??S] ? T ? S. Comme t ? A implique t ? T , par définition de B il suffit de montrer que t appartient à S Maintenant, d'après le point (i) du lemme, ? ?,?[??S, Preuve Montrons d'abord que le point (i) du lemme implique le point

. Cas-de-base, Si ? est une des formules 0, X, ? = ? ou ? pour ? = ?, alors par définition de la satisfiabilité les deux côtés de l'égalité à prouver sont égaux à ? ?,? ? T . Si ? est la formule ?

. Cas, par propriétés de la satisfiabilité, t ? ?[? ] ?,?[??S] ? T si et seulement si (*) il existe un arbre t tel que t = {|?(?)[t ]| }, t ? ? ?,?[??S] et t ? T . En utilisant que T est clos pour la relation de composant, nous savons que t ? T implique t ? T , et donc dans (*) nous pouvons remplacer la condition

. Si-?-est-la-formule-¬?, Donc, ¬? ?[??S] ?T = ¬? ?[??S?T ] ?T, Ceci implique que (¬? ?[??S] ?T )?T = (¬? ?[??S?T ] ? T ) ? T . Donc

. Si-?-est-la-formule-?x, ?, par définition de la satisfiabilité, il suffit de montrer que a?? ? ?[x?a],?[??S] ? T = a?? ? ?[x?a],?[??S?T ] ? T, ce qui est immédiat en remarquant que par hypothèse de récurrence, pour toute étiquette a

. Si-?-est-la-formule-??, ? , la preuve est identique à celle du lemme 8.6 et le cas d'induction pour ? = µ?(M ).? , en remplaçant dans cette preuve ?[X ? s] par ?? ab