On the action of homology cooperations on the Brown-Peterson homology of the classifying space of an elementary abelian p-group

Sur l'action des coopérations homologiques sur l'homologie de Brown-Peterson de l'espace classifiant d'un p-groupe abélien élémentaire

Sylvain Rairat (1)

1 LAGA - Laboratoire Analyse, Géométrie et Applications

Let p be a prime, n an integer, V an elementary abelian p-group of rank n and E a commutative, complex-oriented Landweber exact ring spectrum. The goal of this work is to study the comodule structure of the E-homology of BV over the Hopf algebroid (E_*,E_*E). To do this, we study localisation fonctors on comodule categories and the semi-direct product of Hopf algebroids. In the case where E is the Brown-Peterson spectrum BP, Johnson and Wilson have exhibited a filtration of the BP-homology of BZ/p^n in the category of BP_*-modules. We prove an analogous result in the category of BP_*BP-comodules; the filtration quotients depend on the universal p-series. In order to carry out explicit calculations, we introduce a Hopf algebroid (S,S\Lambda) which represents the groupoid associated to the action by conjugation of strict formal series on all formal series.

Soient p un nombre premier, n un entier, V un p-groupe abélien élémentaire de rang n et E un spectre en anneau commutatif muni d'une orientation complexe Landweber exact. Le but de ce travail est d'étudier la structure de comodule de la E-homologie de BV sur l'algébroïde de Hopf (E_*,E_*E). Pour cela, nous étudions les foncteurs de localisation sur les catégories de comodules, ainsi que la notion de produit semi-direct d'algébroïdes de Hopf. Dans le cas particulier où E est le spectre de Brown-Peterson BP, Johnson et Wilson ont déterminé une filtration de la BP-homologie de BZ/p^n dans la catégorie des BP_*-modules. Nous démontrons un résultat analogue dans la catégorie des BP_*BP-comodules; les quotients de cette filtration dépendent de la p-série universelle. Afin de mener des calculs explicites, nous introduisons un algébroïde de Hopf (S,S\Lambda) qui représente le groupoïde associé à l'action par conjugaison des séries formelles strictes sur l'ensemble des séries formelles.

Mots clés: Hopf algebroid; homology; classifying space; semi-direct product

Mots clés: algébroïde de Hopf; comodule; homologie; Brown-Peterson; espace classifiant; localisation; produit semi-direct

Domaines: Mathématiques [math]

Sylvain Rairat. Sur l'action des coopérations homologiques sur l'homologie de Brown-Peterson de l'espace classifiant d'un p-groupe abélien élémentaire. Mathématiques [math]. Université Paris-Nord - Paris XIII, 2011. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00608646⟩