Delaunay-conformity in 2 and 3 dimensions
Delaunay-admissiblité en dimensions 2 et 3
Résumé
The finite elements method, widely used within the field of numerical analysis, requires first the generation of a mesh of the domain of interest, i.e. a covering up with polytopes, generally, but not necessarily, simplices. Among the methods designed for mesh generation, Delaunay-triangulation is based on strong theoretical results, guaranteeing convergent algorithms. In addition, it provides good quality meshes, on which the accuracy of the numerical solutions closely depends. However, it is not able, intrisically, to take into account topological conditions, prohibiting its direct use for practical mesh generation. Various techniques have been proposed to try to solve this problem, without any general solution. Moreover, final meshes are no longer Delaunay-conforming. This work examines under which conditions a given constraint, in 2 or 3 dimensions, will appear in any Delaunay-triangulation of the related set of vertices. In particular, a priori Delaunay-conformity theorems are established. Provided these results, constraint redefinition algorithms are proposed, allowing to produce new discretizations, recovering the initial ones, which will be built by any Delaunay-triangulation- . Hence, being automaticaly satisfied, the new constraints do not require any a posteriori forcing transformation. Moreover, the resulting meshes are Delaunay-conforming- . Because of the excessive cost of convergence in 3 dimensions, two efficient algorithms are proposed, which are not assumed to be convergent in general. As an application, the 3 dimensional algorithm is interfaced with an existing constrained Delaunay mesh generator. In particular, the resolution of a jammed configutati- on for this mesher emphasizes the validity of the method. Some other applications are suggested, as well as further and ongoing developments.
La méthode des éléments finis, largement utilisée en analyse numérique, requiert que le domaine considéré soit préalablement maillé, c'est-à-dire partitionné en un ensemble de polytopes généralement, mais pas nécessairement, simpliciaux. Parmi les méthodes permettant la génération de tels maillages, la triangulation de Delaunay présente le double intérêt d'avoir un support théorique fondant la robustesse des algorithmes, ainsi que de produire des éléments de qualité, conditionnant fortement la précision des calculs ultérieurs. Elle présente cependant l'inconvénient de ne pas être à même de prendre en compte des considérations topologiques, lui interdisant de facto d'être utilisée en l'état pour produire des maillages. Un certain nombre de méthodes ont été proposées pour tenter de résoudre ce problème, mais aucune ne constitue une solution générale. Par ailleurs, les maillages qu'elles restituent ne possèdent plus la propriété de Delaunay. Ce travail étudie les conditions dans lesquelles une contrainte, en dimensions 2 et 3, apparaîtra dans toute triangulation de Delaunay du nuage de points auquel elle est associée. En particulier, des théorèmes de Delaunay-admissibilité a priori sont établis. A l'aide de ces résultats, des algorithmes de redéfinition de contraintes sont proposés, de telle sorte que les nouvelles discrétisations, recouvrements des anciennes, soient construites par toute triangulation de Delaunay. Ainsi, les contraintes étant satisfaites automatiquement, aucune opération de forçage a posteriori n'est requise, et les maillages produits sont de Delaunay. En raison du coût prohibitif de la convergence en dimension 3, deux algorithmes efficaces sont proposés, sans qu'aucune conjecture sur leur convergence ne soit formulée. A titre d'application de la méthode en dimension 3, l'interfaçage avec un mailleur de Delaunay contraint existant est étudié. En particulier, la pertinence de la méthode est illustrée grâce au déblocage d'une configuration que ce mailleur ne parvient pas à résoudre. D'autres applications possibles, ainsi que les développements en cours sont également évoqués.
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