Wavelet-based study of dissipation in plasma and fluid flows

Étude en base d'ondelettes de la dissipation par les écoulements dans les plasmas et dans les fluides

Romain Nguyen van Yen (1)

1 LMD - Laboratoire de Météorologie Dynamique (UMR 8539)

The topic of dissipation by macroscopic flows is approached by considering two of its most representative occurences, namely dissipation by plasma flows in the vanishing collisionality limit and dissipation by fluid flows in the vanishing viscosity limit. It is argued that dissipation can arise either due to the residual effect of a microscopic coupling parameter, or due to purely macroscopic nonlinear mixing effects. The combination of these two phenomena puts the problem out of reach of the most successful statistical methods that have been developed in the context of conservative systems, and also raises fundamental mathematical questions. Moreover, explicit computations that would resolve all scales of such flow are still unfeasible in this context, because of the present limitations in memory size and number of operations. It is thus widely recognized that new ways have to be found to make progress. For that purpose, we explore the applicability of a multiscale wavelet framework. First, the partial differential equations which describe the flow must be recast into a discrete wavelet representation, while preserving consistency with the dissipative mechanisms we have outlined. This step, which we call regularization, is the subject of two chapters in this thesis, concerning the special cases of the one-dimensional Vlasov-Poisson equations on the one hand, and of the two-dimensional incompressible Euler equations on the other hand. The possibilities to develop these schemes for the practical simulation of flows is assessed, and they are compared with other existing regularizations mechanisms. To proceed further, the origin of the residual dissipation must be tracked down and linked to mathematical properties of the solutions. We obtain some elements in this direction by studying the collision of a vorticity dipole with a wall in the vanishing viscosity limit. If the solutions are known behave well mathematically, one can readily move to the next step, which is the definition of macroscopic dissipation in the wavelet representation. This is the case for two-dimensional homogeneous turbulent flows which we subsequently address. Finally, as a perspective for future work, we perform a preliminary wavelet analysis of a three-dimensional turbulent boundary layer flow.

Le problème de la dissipation par les écoulements macroscopiques est abordé par l'entremise de deux de ses manifestations les plus représentatives, la dissipation par les écoulements plasmas dans la limite de faible collisionalité, et la dissipation par les écoulements fluides dans la limite de faible viscosité. On part du principe que la dissipation peut avoir deux causes distinctes, soit l'effet résiduel d'un paramètre de couplage au niveau microscopique, soit l'effet purement macroscopique du mélange non-linéaire. La combinaison de ces deux phénomènes rend le problème impossible à traiter par les méthodes habituelles qui ont été appliquées avec succès aux systèmes conservatifs, et soulève des questions mathématiques fondamentales. De plus, le calcul explicite à toutes les échelles de tels écoulements n'est pas encore envisageable dut fait des limitations actuelles de la taille mémoire et de la vitesse des opérations. Il est donc communément admis que de nouvelles méthodes doivent être développées. Dans ce but, on explore le potentiel d'une approche multi-échelles en ondelettes. Tout d'abord, les équations aux dérivées partielles décrivant l'écoulement doivent être reformulées dans le cadre d'une représentation discrète en ondelettes qui reste compatible avec les mécanismes dissipatifs soulignés plus haut. Cette étape, appelée régularisation, fait l'objet de deux chapitres de cette thèse, concernant les cas particuliers des équations de Vlasov-Poisson d'une part, et des équations d'Euler bi-dimensionelles incompressibles d'autre part. On évalue la faisabilité d'un calcul des écoulements en utilisant les schémas ainsi développés, et on compare ces derniers à d'autres schémas proposés précédemment. Pour aller plus loin, il faut remonter aux origines de la dissipation résiduelle et la relier aux propriétés mathématiques des solutions. On obtient quelques éléments allant dans cette direction en étudiant numériquement le phénomène de collision d'un dipôle de vorticité avec une paroi dans la limite de faible viscosité. Lorque les solutions se comportent bien mathématiquement, comme c'est le cas pour les écoulements turbulents bi-dimensionels homogènes que nous abordons ensuite, on peut dors et déjà passer à l'étape suivante qui est la définition de la dissipation macroscopique dans la représentation en ondelettes. Finalement, on présente une analyse en ondelettes d'un écoulement turbulent tri-dimensionel dans une couche limite, ce qui ouvre des perspectives pour l'extension de la méthode.

Mots clés: wavelets; turbulence; Navier-Stokes; Vlasov; boundary layer

Mots clés: ondelettes; couche limite

Domaines: Dynamique des Fluides [physics.flu-dyn]; Mathématiques [math]

Romain Nguyen van Yen. Wavelet-based study of dissipation in plasma and fluid flows. Fluid Dynamics [physics.flu-dyn]. Université Paris Sud - Paris XI, 2010. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00601686⟩