Coupled inclusions problems : Splitting, algorithms and applications
Problèmes d'inclusions couplées : Éclatement, algorithmes et applications
Résumé
This thesis is devoted to solving problems in set-valued nonlinear analysis in which several variables interact. The generic problem is modeled by an inclusion involving a sum of monotone operators in a product Hilbert space. Our objective is to design new algorithms for solving this problem under various sets of hypotheses on the underlying operators, and to study the asymptotic behavior of the resulting methods. A common property of the algorithms is the fact that they proceed by splitting in that the monotone operators and, if any, the linear operators present in the model act independently at each iteration. In particular, we address the case when the monotone operators are subdifferentials of convex functions, which leads to new minimization algorithms. The proposed methods unify and significantly extend the state-of-the art. They are applied to monotone inclusions in duality, to equilibrium problems, to signal and image processing, to game theory, to traffic theory, to evolution inclusions, to best approximation, and to domain decomposition in partial differential equations.
Cette thèse est consacrée à la résolution de problèmes d'analyse non linéaire multivoque dans lesquels plusieurs variables interagissent. Le problème générique est modélisé par une inclusion vis-à-vis d'une somme d'opérateurs monotones sur un espace hilbertien produit. Notre objectif est de concevoir des nouveaux algorithmes pour résoudre ce problème sous divers jeux d'hypothèses sur les opérateurs impliqués et d'étudier le comportement asymptotique des méthodes élaborées. Une propriété commune aux algorithmes est le fait qu'ils procèdent par éclatement en ceci que les opérateurs monotones et, le cas échéant, les opérateurs linéaires constitutifs du modèle agissent indépendamment au sein de chaque itération. Nous abordons en particulier le cas où les opérateurs monotones sont des sous-différentiels de fonctions convexes, ce qui débouche sur de nouveaux algorithmes de minimisation. Les méthodes proposées unifient et dépassent largement l'état de l'art. Elles sont appliquées aux inclusions monotones composites en dualité, aux problèmes d'équilibre, au traitement du signal et de l'image, à la théorie des jeux, à la théorie du trafic, aux équations d'évolution, aux problèmes de meilleure approximation et à la décomposition de domaine dans les équations aux dérivées partielles.