Affine T-varieties: additive group actions and singularities
T-variétés affines : actions du groupe additif et singularités
Résumé
A T-variety is an algebraic variety endowed with an effective action of an algebraic torus T. This thesis is devoted to the study of two aspects of normal affine T-varieties: the additive group actions and the characterization of singularities. Let X = Spec A be a normal affine T-variety and let D be a homogeneous locally nilpotent derivation on the normal affine Z^n-graded domain A, so that D generates an action of the additive group on X. We provide a complete classification of pairs (X, D) in three cases: for toric varieties, in the case where the complexity is one, and in the case where D is of fiber type. As an application, we compute the homogeneous Makar-Limanov (ML) invariant of such varieties. We deduce that any variety with trivial ML-invariant is birationally decomposable as Y × P^2, for some variety Y. Conversely, given a variety Y, there exists an affine T-variety X with trivial ML invariant birational to Y × P2. In the second part concerning singularities of a T-variety X we compute the higher direct images of the structure sheaf of a desingularization of X. As a consequence, we give a criterion as to when a T-variety has rational singularities. We also provide a condition for a T-variety to be Cohen-Macaulay. As an application, we characterize quasihomogeneous elliptic singularities of surfaces.
Une T-variété est une variété algébrique munie d'une action effective d'un tore algébrique T. Cette thèse est consacrée à l'étude de deux aspects des T-variétés normales affines : les actions du groupe additif et la caractérisation des singularités. Soit X = Spec A une T-variété affine normale et soit D une dérivation homogène localement nilpotente de l'algèbre affine intègre Z^n-graduée A, alors D engendre une action du groupe additif dans X. On donne une classification complète des couples (X, D) dans trois cas : pour les variétés toriques, dans le cas de complexité un, et dans le cas où D est de type fibre. Comme application, on calcule l'invariant de Makar-Limanov (ML) homogène de ces variétés. On en déduit que toute variété d'invariant de ML trivial est birationnelle à Y × P^2 , pour une certaine variété Y . Inversement, pour toute variété Y , il existe une T-variété affine X d'invariant de ML trivial birationnelle a Y × P2. Dans la seconde partie concernant les singularités d'une T-variété X, on calcule les images directes supérieures du faisceau structural d'une désingularisation de X. Comme conséquence, on donne un critère pour qu'une T-variété ait des singularités rationnelles. On présente aussi une condition pour qu'une T-variété soit de Cohen-Macaulay. Comme application, on caractérise les singularités elliptiques des surfaces quasi-homogènes.
Loading...