, Par dénition même de l'idéal engendré
, K , puisque f ? est un modèle initial de ?, donc aussi un modèle initial de ? dans AW K . Pour la même raison, f ? est un modèle initial de ? dans W 0 , d'où l'on tire A/? (A/?) W K (A/?) W 0 . On en déduit que (A/?) W K A/I, donc I est un a-type pré-radiciel
, décrit dans le langage des anneaux, si T est la théorie des anneaux intègres, un idéal logique T-premier est essentiellement un idéal premier
, décrit dans le langage des groupes, si T est la théorie des groupes abéliens, un idéal logique est essentiellement un sous-groupe normal, et un idéal logique T-premier un sous-groupe normal contenant le sous-groupe dérivé
, une L -structure en interprétant par exemple l'inégalité par la relation vide Soit alors P un cône premier d'un anneau A, de support I. P détermine un L -homomorphisme ? P : A ? (A/I, < P ), où < P est l'ordre strict total induit sur le quotient A/I par le cône P. On peut donc associer à P le a-type p de ? P . Comme (A/I, < P ) est un anneau intègre totalement ordonné
, K) si et seulement si il existe une E -application
, (1) Par dénition de la préservation d'un ensemble d'énoncés
, A)-énoncés à paramètres, donc f reète la validité des énoncés E -universels sans paramètres qui sont valides dans son codomaine. Réciproquement, si une telle E -application n'existe pas, c'est que le E -diagramme D E (A) n'est pas réalisable dans K
, Soit X un ensemble de variables énumérant A et supposons que la théorie T ? ? ? ? est inconsistente
, Or, les formules de ? sont équivalentes à des disjonctions de formules de E , donc l'énoncé ? := ?X ?(X/A) ? ?(X/A) est équivalent à un énoncé pseudo-E -inductif, si bien que A ?, puisque A T . Or, ceci est impossible , puisque l'énumération de A par X en est un contre-exemple. Par conséquent
, (1)?(2) Cette implication est évidente
, il existe une E -application réexive de A dans un objet de K, si bien que par l'hypothèse, Th ? ?E (K))
, On considère le fragment E des formules cartésiennes modulo T, et l'on applique le corollaire précédent, en remarquant que sous l'hypothèse
, entre deux L -structures ; f préserve les sortes, les fonctions, les relations et les constantes, donc l'application f * définie de manière évidente de A * dans B * est un L * -homomorphisme, et si g : B ? C, on a (g ? f ) * = g * ? f * . On vérifie aussi que si A est une L -structure, 1 * A est l
, ? Pour tout symbole de fonction f ? F , de sortes s 1 , . . . , s n , s, les axiomes ?x 1 , . . . , x n , y r f (x 1 , . . . , x n , y) ? r s (y), ?x 1 , . . . , x n , y, y r f (x 1 , . . . , x n , y) ? r f (x 1 , . . . , x n , y ) ? y = y et ?x 1, p.1
, Nous allons décrire une L -structure B * à partir de B. ? Si s ? S , la sorte (B * ) s est l'interprétation r s (B)
, s n , s, r f définit dans B une application de ? i r s i (B) ? r s (B) ; on interprète f dans B * par cette application
, s n , r définit dans B une relation dont le champ définit un sousensemble de ? i r s i (B) : on interprète
, de sorte s, r c est interpété dans B par un singleton {c B } : on pose c B * := c B . Supposons que f : B ? C est un L * -homomorphisme entre modèles de T * . On peut associer à f un L -homomorphisme f * : B * ? C * , puisque f spécifie une application de B * dans C * , qui est
, Comment les deux foncteurs * et * sont-ils liés ? La définition des deux transformations entraîne immédiatement que pour toute L -structure A, on a (A * ) * A
, Les foncteurs * et * sont deux équivalences de catégories entre la catégorie des L -structures et la catégorie des modèles de T *
, le passage d'un langage multi-sortes général à un langage purement relationnel est une équivalence de catégories
, en sens inverse , en quelque sorte. Il s'agit de passer d'un langage du premier ordre multi-sortes L à un langage multi-sortes L * qui ne comporte que des symboles de sortes, de fonctions et éventuellement de constantes. Nous décrivons le langage L * comme suit. ? Si s ? S , s est aussi un symbole de sorte de L * . ? Si n ? 2 et si s = s 1 , . . . , s n est un n-uplet de sortes de S , on introduit un nouveau symbole de sortes noté s, et n nouveaux symboles de fonction de sortes respectives (s, s i )
, symbole relationnel de sortes s = s 1 , . . . , s n , on lui associe un nouveau symbole de sorte s r et un nouveau symbole de fonction f r , de sortes (s r , s)
, On associe à A une L * -structure A * de la manière suivante
, A * ) s sont les domaines (A) s pour les symboles s ? S
, et si s est n-un uplet de sortes de S , (A * ) s est par définition le produit ensembliste (naturel) ? i A s i , et les symboles ? s i sont interprétés comme les projections du produit sur chaque A s i ? Les symboles de fonction
, de sortes s, on interprète s r comme le champ de la relation r dans A, et f r comme l'inclusion de A s r dans ? i A s i
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