Non classical formalisms for the computing treatment of the topoligy and the discrete geometry

Formalismes non classiques pour le traitement informatique de la topologie et de la géométrie discrète

Agathe Chollet (1)

1 MIA - Mathématiques, Image et Applications - EA 3165

The aim of this work is to introduce new theoretical basis for the discretization of continuous objects using non classical formalisms. This is done using a discrete model of the continuum called the Harthong-Reeb line together with the related arithmetization method which is a discretisation process of continuous functions. This study stands on a nonstandard arithmetical framework. Firstly, we use an axiomatic version of nonstandard arithmetic. In order to improve the constructive content of our method, the next step is to use another approach of nonstandard arithmetic deriving from the theory of Ω-numbers by Laugwitzand Schmieden. This second approach leads to a discrete multi-resolution representation of continuous functions. Afterwards, we investigate to what extent the Harthong-Reeb line fits Bridges axioms of the constructive continuum.

L’objet de ce travail est l’utilisation de certains formalismes non classiques (analyses non standard, analyses constructives) afin de proposer des bases théoriques nouvelles autour des problèmes de discrétisations d’objets continus. Ceci est fait en utilisant un modèle discret du système des nombres réels appelé droite d’Harthong-Reeb ainsi que la méthode arithmétisation associée qui est un processus de discrétisation des fonctions continues. Cette étude repose sur un cadre arithmétique non standard. Dans un premier temps, nous utilisons une version axiomatique de l’arithmétique non standard. Puis, dans le but d’améliorer le contenu constructif de notre méthode, nous utilisons une autre approche de l’arithmétique non standard découlant de la théorie des Ω-nombres de Laugwitz et Schmieden. Cette seconde approche amène à une représentation discrète et multi-résolution de fonctions continues.Finalement, nous étudions dans quelles mesures, la droite d’Harthong-Reeb satisfait les axiomes de Bridges décrivant le continu constructif.

Mots clés: Nonstandard Analysis; Discrete Geometry; Constructive Mathematics

Mots clés: Analyse nonstandard; Géométrie Discrète; Mathématiques Constructives

Domaines: Mathématiques générales [math.GM]

Agathe Chollet. Formalismes non classiques pour le traitement informatique de la topologie et de la géométrie discrète. Mathématiques générales [math.GM]. Université de La Rochelle, 2010. Français. ⟨NNT : 2010LAROS315⟩. ⟨tel-00579781⟩