Approximation of the diffusion problem in optical tomographie and Inverse problem

Approximation du problème diffusion en tomographie optique et problème inverse

Mohamed Addam (1)

1 LMPA - Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées Joseph Liouville

The purpose of this thesis is to develop and to study numerical methods for the solution of some Partial Differential Equations (PDE) such as the diffusion transport problem in optical tomography. The presented work can be partitioned into two parts: In the first part, we consider the direct problem and in the second part, we treat the inverse problem. For the direct problem, we assume that the optical parameters and the source functions are given. Here, the density of the luminous flow is considered as an unknown function to be approached numerically. Generally, to reconstruct the numerical signal, a mesh-technique (in the time variable) is necessary. To avoid such a discretisation, we will use a technique based on the Fourier transform and its inverse. These methods use the Gauss-Hermite quadrature as well as Galerkin method based on Bsplines, B-splines tensorial and radial basis functions (RBF). The B-splines are used in the one-dimension case while the tensorial B-splines are used when the domain is rectangular with a uniform mesh. When the domain is not rectangular any more, we use the radial basis functions. From the theoretical point of view, we will study the existence, the uniqueness and the regularity of the solution and then we propose some results on the estimation of the error in Sobolev-type spaces. In the second part of this work, we are interested in the diffusion inverse problem: a non-linear inverse problem. We suppose that the measures of the luminous flow in the edges of the domain and the source functions are given. We will give some theoretical results such as the continuity and the differentiability, in the Fréchet sense of the operator defined to measure the luminous flow detected on the edges of the domain. From the numerical point of view adds, we will be interested in the discreet case using B-splines and radial basis functions. We will use the Newton method to solve the non-linear inverse diffusion problem.

Cette thèse porte sur l'approximation des équations aux dérivées partielles, en particulier l'équation de diffusion en tomographie optique. Elle peut se présenter en deux parties essentielles. Dans la première partie on discute le problème direct alors que le problème inverse est abordé dans la seconde partie. Pour le problème direct, on suppose que les paramètres optiques et les fonctions sources sont donnés. On résout alors le problème de diffusion dans un domaine où la densité du flux lumineux est considérée comme une fonction inconnue à approcher numériquement. Le plus souvent, pour reconstruire le signal numérique dans ce genre de problème, une discrétisation dans le temps est nécessaire. Nous avons proposé d'utiliser la transformée de Fourier et son inverse afin d'éviter une telle discrétisation. Les techniques que nous avons utilisées sont la quadrature de Gauss-Hermite ainsi que la méthode de Galerkin basée sur les B-splines ou les B-splines tensorielles ainsi que sur les fonctions radiales. Les B-splines sont utilisées en dimension un alors que les B-splines tensorielles sont utilisées lorsque le domaine est rectangulaire avec un maillage uniforme. Lorsque le domaine n'est plus rectangulaire, nous avons proposé de remplacer la base des B-splines tensorielles par les fonctions à base radiale construites à partir d'un nuage de points dispersés dans le domaine. Du point de vue théorique, nous avons étudié l'existence, l'unicité et la régularité de la solution puis nous avons proposé quelques résultats sur l'estimation de l'erreur dans les espaces de type Sobolev ainsi que sur la convergence de la méthode. Dans la seconde partie de notre travail, nous nous sommes intéressés au problème inverse. Il s'agit d'un problème inverse non-linéaire dont la non-linéarité est liée aux paramètres optiques. On suppose qu'on dispose des mesures du flux lumineux aux bords du domaine étudié et des fonctions sources. On veut alors résoudre le problème inverse de façon à simuler numériquement l'indice de réfraction ainsi que les coefficients de diffusion et d'absorption. Du point de vue théorique, nous avons discuté certains résultats tels que la continuité et la dérivabilité, au sens de Fréchet, de l'opérateur mesurant le flux lumineux reçu aux bords. Nous avons établi les propriétés lipschitzienne de la dérivée de Fréchet en fonction des paramètres optiques. Du point de vue numérique nous nous somme intéressés au problème discret dans la base des B-splines et la base des fonctions radiales. En suite, nous avons abordé la résolution du problème inverse non-linéaire par la méthode de Newton-Gauss.

Mots clés: Équations de transport; approximation de diffusion; transformée de Fourier; B-splines; fonctions à base radiale; reconstruction d'un signal; quadrature de Gauss-Hermite; estimation de l'erreur et problème inverse.; PDE transport equations; Diffusion approximation; Fourier transform; Radial basis functions; Signal reconstruction; Gauss-Hermite quadrature; Error estimate; Inverse diffusion problem.

Domaines: Mathématiques [math]

Mohamed Addam. Approximation du problème diffusion en tomographie optique et problème inverse. Mathématiques [math]. Université du Littoral Côte d'Opale, 2009. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00579257⟩