Équations des ondes avec des perturbations dépendantes du temps
Résumé
We study the wave equation $\partial_t^2 u-\Div_x(a(t,x)\nabla_xu)=0$ with time-periodic and scalar metric $a(t,x)$ equal to $1$ outside a compact set with respect to $x$. Our goal is to estimate the solutions of this equation with initial data lying in the energy space $\dot{H}^1({\R}^n)\times L^2({\R}^n)$. More precisely, we will establish global Strichartz estimates as well as local energy decay under some assumptions. We will distinguish the case of odd dimensions from the case of even dimensions. Set $n$ the space dimension. In the first part of our work, we deal with odd dimensions $n\geq3$. We assume that $a(t,x)$ is non-trapping and that there is no resonance $z\in\mathbb{C}$ with modulus greater than $1$. We show that this assumptions imply local energy decay and $L^2$ integrability with respect to time of the local energy. Then, we establish local Strichartz estimates for the solutions of $\partial_t^2 u-\Div_x(a(t,x)\nabla_xu)=0$. Combining these arguments, we obtain global Strichartz estimates. In the second part of our work, we deal with even dimensions $n\geq4$. Consider the cut-off resolvent $R_\chi(\theta)=\chi(\mathcal U(T)-e^{-i\theta})^{-1}\chi$ , where $\chi\in{\CI}$, $T$ is the period of $a(t,x)$ and $\mathcal U(T)$ is the propagator associate to the equation at time $T$. We assume that $a(t,x)$ is non-trapping and the cut-off resolvent $R_\chi(\theta)$ admit an analytic continuation to $\{\theta\in\mathbb{C}\ :\ \textrm{Im}(\theta) \geq 0\}$, for $n \geq 3$, odd, and to \\ $\{ \theta\in\mathbb C\ :\ \textrm{Im}(\theta)\geq0,\ \theta\neq 2k\pi-i\mu,\ k\in\mathbb{Z},\ \mu\geq0\}$ for $n \geq4$, even. Moreover, for $n \geq4$ even, we assume that $R_\chi(\theta)$ is bounded in some neighborhood of $\theta=0$. We prove that these assumptions imply local energy decay. Combining this argument with the results of the first part, we obtain global Strichartz estimates for any dimensions $n\geq3$.
On étudie l'équation des ondes $\partial_t^2 u-\Div_x(a(t,x)\nabla_xu)=0$ avec une métrique scalaire $a(t,x)$ périodique en temps et égale à $1$ en dehors d'un ensemble compact par rapport à $x$. Notre objectif est d'estimer les solutions de cette équation ayant des données initiales dans l'espace énergétique $\dot{H}^1({\R}^n)\times L^2({\R}^n)$. Plus précisément, nous établirons des estimations de Strichartz globales ainsi que la décroissance de l'énergie locale sous certaines hypothèses. Nous distinguerons le cas des dimensions impaires de celui des dimensions paires. Notons $n$ la dimension de l'espace. Dans la première partie de notre recherche, nous traitons le cas des dimensions $n\geq3$ impaires. Pour cela on suppose que $a(t,x)$ est non captif et que les résonances $z\in\mathbb{C}$ sont contenue dans le disque unité ouvert. Sous cette hypothèse on démontre la décroissance exponentielle de l'énergie locale et on en déduit l'intégrabilité $L^2$ en temps de l'énergie locale. Ensuite, on établit des estimations de Strichartz locales pour les solutions de $\partial_t^2 u-\Div_x(a(t,x)\nabla_xu)=0$. En combinant ces deux arguments, on établit des estimations de Strichartz globales en considérant les solutions tronquées en temps. Dans la deuxième partie de notre recherche, nous traitons le cas des dimensions $n\geq4$ paires. Considérons la résolvante tronquée $R_\chi(\theta)=\chi(\mathcal U(T)-e^{-i\theta})^{-1}\chi$ , où $\chi\in{\CI}$, $T$ est la période de $a(t,x)$ et $\mathcal U(T)$ est le propagateur associé à l'équation au temps $T$. Nous supposons que $a(t,x)$ est non captif et que la résolvante tronquée $R_\chi(\theta)$ admet un prolongement holomorphe sur $\{\theta\in\mathbb{C}\ :\ \textrm{Im}(\theta) \geq 0\}$, pour $n \geq 3$, impair, et sur $\{ \theta\in\mathbb C\ :\ Im(\theta)\geq0,\ \theta\neq 2k\pi-i\mu,\ k\in\mathbb{Z},\ \mu\geq0\}$ pour $n \geq4$, pair. De plus, pour $n \geq4$ pair, on suppose que $R_\chi(\theta)$ est bornée au voisinage de $\theta=0$. Sous cette hypothèse on démontre la décroissance de l'énergie locale. En combinant cet argument avec les résultats de la première partie, on obtient des estimations de Strichartz globales pour les dimensions $n\geq3$ quelconques.