Analytic structures for the index theory of SL(3,C)

Résumé : Si G est un groupe de Lie connexe, l'anneau de représentations de Kasparov, KK^G(C,C) contient un élément particulièrement important---l'élément gamma---qui établit un lien entre l'anneau de représentations de Kasparov de G et l'anneau de représentations de son sous-groupe compacte maximal K. Dans les preuves de la conjecture de Baum-Connes avec coefficients pour les groupes G=SO(n,1) [Kasparov] et G=SU(n,1) [Julg-Kasparov], une partie fondamentale est la construction explicite de l'élément gamma comme élément de la K-homologie G-équivariante pour l'espace G/B, où B est le sous-groupe de Borel de G. Dans cette thèse, nous décrirons des constructions analytique qui peuvent être utiles pour telle construction de gamma pour le groupe de Lie de rang deux G=SL(3,C). L'inspiration est le complexe de Bernstein-Gel'fand-Gel'fand---un complexe différentiel naturel de fibrés homogènes sur G/B. Les raisons de considérer ce complexe sont expliquées en détails. Pour G=SL(3,C), l'espace G/B admet deux fibrations canoniques, qui réapparaît souvent dans l'analyse suivante. La géométrie locale de G/B se comporte comme la géométrie du groupe de Heisenberg en dimension trois, noté H. Donc, nous étudions l'algèbre d'opérateurs différentiels sur H. Nous définissons une famille à deux paramètres d'espaces de Sobolev H^(m,n)(H), en utilisant les deux fibrations de G/B. Nous introduisons les opérateurs laplaciens longitudinaux $\Delta_X$ et $\Delta_Y$. Nous montrons que ces opérateurs satisfont une condition d'ellipticité longitudinal par rapport aux espaces H^(m,n)(H) pour quelques valeurs (m,n), mais par contre nous donnons un contre-exemple à cette propriété pour un autre choix de (m,n). Ce contre-exemple est un obstacle de taille pour une approche pseudodifférentielle à l'element gamma de SL(3,C). Au lieu de cela, nous considérons l'analyse harmonique du sous-groupe compacte K=SU(3). En utilisant la théorie spectrale des opérateurs laplaciens longitudinaux K-invariants sur G/B, nous construisons une C*-catégorie $\mathcal{A}$ et des idéaux $\mathcal{K}_X$ et $\mathcal{K}_Y$ liés aux fibrations canoniques. Nous expliquons pourquoi celles-là sont les structures prometteuses pour la construction de l'élément gamma.
Type de document :
Thèse
Mathematics [math]. Penn State University, 2006. English


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Contributeur : Robert Yuncken <>
Soumis le : lundi 7 mars 2011 - 12:08:03
Dernière modification le : lundi 7 mars 2011 - 15:06:58
Document(s) archivé(s) le : mercredi 8 juin 2011 - 06:40:32

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Robert Yuncken. Analytic structures for the index theory of SL(3,C). Mathematics [math]. Penn State University, 2006. English. <tel-00574163>

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