Self-normalized large deviations for Markov chains
Grandes déviations autonormalisées pour des chaînes de Markov
Résumé
The main objective of this thesis is to state self-normalized large deviations principles, mainly for Markovian models. Self-normalization allows a weakening of the assumptions made to obtain large deviations principles (as an example, for empirical means of a random variables sequence ). The key is the statement of a partial large deviations principle for some couples of random variables. The method to achieve this is to obtain a weak large deviation principle and an exponential tightness property for the couple. Contraction technics are also developped to deduce a weak LDP for $\left( \int f dL_n\right)$ from a weak LDP for sequences of empirical probability measures $(L_n)_n$. In particular, we prove self-normalized results in the Markovian framework, which generalize Dembo and Shao's work in the i.i.d. case.
L'objectif de cette thèse est l'obtention de principes de grandes déviations autonormalisés, essentiellement pour des modèles markoviens. L'autonormalisation permet d'affaiblir les hypothèses requises pour assurer l'existence d'un Principe de grandes déviations portant par exemple sur les moyennes empiriques d'une suite de variables aléatoires. La démarche suivie est la recherche d'un principe de grandes déviations partiel pour certains couples de variables aléatoires à partir d'un principe de grandes déviations vague et d'une propriété de tension exponentielle partielle. Des techniques de transports sont développées pour établir des PGD vagues relatifs à des suites du type $(\int f dL_n)_n$, à partir de PGD pour des suites de lois empiriques $(L_n)_n$. On aboutit entre autres à des résultats autonormalisés dans un cadre markovien, généralisant ainsi les travaux de Dembo et Shao dans le cas i.i.d.
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