Lévy processes and Wiener-hopf factorization
Simplifiez vos Lévy en titillant la factorisation de Wierner-Hopf
Résumé
This thesis is devoted to the fluctuation theory of Lévy processes, discipline which studies trajectories, from the point of view of their local and global extrema. The main tool for this, is the \wh\ factorisation, which relates the exponent of the Lévy process with the exponents of the two famous ladder processes (the first one describes maxima, the second one describes minima). We ``titille" the \wh\ factorisation using its inverse Fourier transform and its analytic extention. This allows us to re-proove several cassical results (theorems of Rogozin , Bertoin, Kesten-Erickson, and the strong law of large numbers) with a simple analytic method. This method lead us to a criterion for creeping, formalted with the Lévy measure. It allows to recognize Lévy processes which, with positive probability, could cross continuously each positive altitude. This result answers a question that has been open for about 30 years. We also obtain a criterion for creeping formulated with marginal distributions, a criterion for the existence of increase points for creeping processes, and a condition for two Lévy exponents to appear in a \wh\ factorisation. A study of the bivariate ladder process provides informations on the suprema process $S_t=\sup\{ X_s : s\leq t\}$, where $X$ is the Lévy process under consideration. We show that, assuming the finiteness of an exponential moment, the distribution of $S$ characterizes that of $X$. When $X$ has unbounded variations, we see that the inferior limite of $\frac{S_t}{t}$, when $t$ tends to $0$ or $+\infty$, is equal to $0$ or $+\infty$. Finally, we characterize the cases where $S$ is piece-wise continuous. In the last part of this thesis, we study the relief of trajectories. We call abrupt processes the Lévy processes which have infinite right and left derivatives at their extrema. We give a characterisation of such processes and we analyse the Dini derivatives along their trajectories.
Cette thèse est consacrée à la théorie des fluctuations des processus de Lévy, discipline qui consiste à observer les trajectoires en se focalisant plus précisément sur les extrema locaux et globaux. L'outil central pour cela est la factorisation de Wiener-Hopf qui relie l'exposant du processus de Lévy aux exposants des deux fameux subordinateurs d'échelles (le premier décrit les maxima, le second les minima). Nous ``titillons'' la factorisation de \wh\ en l'inversant par Fourier et en exploitant son prolongement analytique. Cela nous permet de redémontrer divers résultats classiques (Théorèmes de Rogozin, de Bertoin, de Kesten-Erickson, loi forte des grands nombres) avec une méthode analytique simple. Par ce même chemin, nous aboutissons à un critère de ``reptation" basé uniquement sur la mesure de Lévy. Ce critère permet de reconnaitre les processus de Lévy qui, avec une probabilité non nulle, traverse chaque altitude continuement. Ce résultat répond à une question restée ouverte pendant près de 30 ans. Nous obtenons également un critère de reptation basé sur les lois marginales, un critère d'existence des points de croissance pour un processus rampant vers le haut et une condition pour que des exposants de subordinateurs apparaissent dans une factorisation de \wh. L'étude du subordinateur d'échelle bivarié nous renseigne sur le processus des suprema $S_t=\sup\{ X_s : s\leq t\}$ (où $X$ désigne notre processus de Lévy). Nous montrons que, moyennant la finitude d'un moment exponentiel, la loi de $S$ caractérise celle de $X$. Quand $X$ est à variation infinie, nous voyons que la limite inférieure de $\frac{S_t}{t}$, quand $t$ tend vers $0$ ou $+\infty$, vaut soit $0$ soit $+\infty$. Enfin, nous caractérisons des cas où $S$ est continu par morceau. Dans la dernière partie de cette thèse, nous étudions le relief des trajectoires, qualifiant d'abruptes celles qui ont des dérivées infinies à gauche et à droite des extrema locaux. Nous donnons une caractérisation des processus abrupts et étudions les dérivées de Dini le long de leurs trajectoires.
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