Two Approximation Methods for Semi-Decentralized Optimal Control of Distributed Systems
Deux Méthodes d'Approximation pour un Contrôle Optimal Semi-Décentralisé pour des Systèmes Distribués
Résumé
In this thesis, we have developed two approaches to build semi-decentralized approached controllers. The thesis is divided into two distinct parts, each one dealing with its own specific method. First Part: it deals with semi-decentralized approximation of an optimal control for partial derivative equations in a bounded domain. In this part, we outline an optimal control computation method for linear distributed systems, with a bounded or not bounded input operator. Its construction depends on the functional computation of self adjoint operators and on Dunford-Schwartz formula. It is suited to computation architectures with very thin granularity and semi-decentralized coordination. Finally, it is illustrated by examples dealing especially with the internal stabilization of heat, of vibrations in a beam or even in a micro-cantilevers array ... Second Part: we deal with derivation of state-realizations of linear operators solutions to some operatorial linear differential equations in one-dimensional bounded domains. We have developed two approaches in the framework of diffusive realizations. One is with regular symbols and the other is with symbols singular on the real axis. Then, we have illustrated the theories and we have developed numerical methods in the context of an application to a Lyapunov equation issued from the optimal control theory for the heat equation. A practical interest of this approach is for real-time computation on processors with semi-decentralized architecture.
Dans cette thèse, nous avons développé deux approches pour la construction de contrôleurs approchés semi-décentralisés. La thèse est partagée en deux parties, chaque partie décrivant une approche précise. Première Partie: elle traite de l'approximation semi-décentralisée d'un contrôle optimal pour des équations aux dérivées partielles (EDPs) dans un domaine borné. Dans cette partie on présente une méthode de calcul de contrôle optimal pour des systèmes distribués linéaires avec un opérateur d'entré borné ou non borné. Sa construction repose sur le calcul fonctionnel des opérateurs auto-adjoints et sur la formule de Dunford- Schwartz. Elle est conçue pour des architectures de calcul à très fine granularité, avec coordination semi-décentralisée. Enfin, elle est illustrée par des exemples portant en particulier sur la stabilisation interne de la chaleur, la stabilisation des vibrations d'une poutre, la stabilisation des vibrations dans une matrice de micro-cantilevers... Deuxième Partie: elle est consacrée à l'obtention de réalisations d'état, d'opérateurs linéaires solutions de quelques équations opératorielles différentielles linéaires dans des domaines bornés mono-dimensionnels. Nous proposons deux approches dans le cadre de réalisations diffusives. La première utilise des symboles complexes et la seconde des symboles réels sur l'axe réel. Puis, on illustre la théorie et on développe des méthodes numériques pour le contexte d'une application à l'équation de Lyapunov issue de la théorie du contrôle optimal pour l'équation de la chaleur. Un intérêt pratique pour cette approche est le calcul en temps réel sur des processeurs organisés pour une architecture semi-décentralisée.
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