, f(x) = f (x H )+f(x H1 ) = f(x H1
, ) f(x H1 ) change avec f(x), alors que dans (2) f(e) est toujours le même car e est fixe
, Le professeur demande aux étudiants d'essayer sur leurs copies
, des contraintes supplémentaires pour l'application f (comme l'unicité, ou une application sans paramètre) et qu'ils ne semblent pas avoir une idée précise quant à l'image f(x G ) à déterminer Ceci a empêché, peut être, de voir l'utilité de l'hypothèse : dimG =1 pour avancer dans le travail. [14] E 10 : il n'a pas donné l'image de x H1 [20] E 10 : on n'a pas avancé, f(x H1 ) ou f(e)? f n'est pas encore totalement définie L'étudiant E 6 (qui est dans le même groupe que E 10 ) a aussi une idée similaire : [36] E 6 : il manque k [37] P : est-ce qu'il est nécessaire de donner une valeur à k ? [38] E 12 : c'est une constante [39] P : peux-tu expliquer ? Pas de réponse? L'étudiant E 12 , quant à lui, a fait une mauvaise estimation du résultat qu'il a obtenu par rapport à la réponse attendue. Mais, il a su rectifier convenablement son travail dès qu'il a constaté l'erreur commise. [14] E 10 : il n'a pas donné l'image de x H1 [15] E 12 : oui, mais c'est suffisant pour prouver que f existe et non nulle, Et on a aussi Kerf =H [16] P : je peux poser alors f(x H1 ) =1 K , pour tous les x H1 ? [17] E 12 : non, f ne sera pas linéaire [18] P : il faut donc préciser f(x H1 ), sinon f peut ne pas vérifier certaines contraintes Un
, bien que les étudiants de ces deux groupes aient réussi à fixer le but à atteindre dans cette première étape de l'exercice (définir une forme linéaire f sur [20] P : et pour la surjectivité ?
, Un cadre d'étude du raisonnement mathématique, 1996.
, Enseignement de l'analyse et fonctions de référence, 1993.
, Le défi de la transition Secondaire-Supérieur. Que peuvent nous apporter les recherches en didactique des mathématiques ? Actes du premier congrès francocanadien de sciences mathématiques, 2004.
, Une étude des processus de preuve en mathématique chez les élèves de collège, Thèse, 1988.
, Cognitive units, Connections and Mathematical Proof, Proceedings of PME 21, 1997.
, L'enseignement de l'analyse à la charnière lycée, 2000.
, Quelques apports de la théorie des situations à la didactique des mathématiques dans l'enseignement secondaire et supérieur. Note de synthèse pour une habilitation à diriger des recherches, 2005.
, Incompletitud de las organizaciones matematicas locales en las instituciones escolares, Recherches en didactiques des mathématiques, pp.205-250, 2004.
, La praxéologie comme unité d'analyse des processus didactiques, Margolinas, 2005.
, Le contrat didactique et le concept de milieu Actes de la Vème école d'été de didactique des mathématiques, pp.95-101, 1989.
, Un objet de savoir spécifique en jeu dans la résolution de problème : la fonctionnement mathématique Les objets du travail personnel en mathématiques des étudiants dans l'enseignement supérieur : comparaison de deux institutions, Recherches en Didactique des Mathématiques, pp.331-380, 2000.
, Les gestes d'étude en mathématiques d'élèves de Première Scientifique, Actes du séminaire national de didactique des mathématiques, pp.33-77, 2006.
, Les ressources autodidactes en mathématiques de très bons élèves de classes scientifiques, Ed.) Les connaissances ignorées, Approche pluridisciplinaire de ce que savent les élèves, pp.173-202, 2007.
, Approche didactique des processus différentiateurs relatifs à la résolution de problèmes (Eds) Perspectives en didactique des mathématiques p, pp.89-114, 2008.
, Travailler avec, travailler sur la notion de praxéologie mathématique pour décrire les besoins d'apprentissage ignorés par les institutions d'enseignement, Recherches en Didactique des Mathématiques, pp.28-2135, 2008.
, Courbes et fonctions au collège, 1999.
, Etude didactique pour la réalisation et l'utilisation d'un logiciel de représentations graphiques cartésiennes des relations binaires entre réels dans l, 1997.
, Rigueur et formalisme : à propos du curriculum secondaire, 1997.
, Analyse des pratiques enseignantes et didactique des mathématiques : l'approche anthropologique, Actes de l'université d'été de la Rochelle, pp.91-118, 1998.
, Le concept de rapport au savoir, rapport personnel, rapport institutionnel, rapport officiel, 1989.
, La sensibilité de l'activité mathématique aux ostensifs. Objet d'étude et problématique, Recherches en didactiques des mathématiques, p.p, 1999.
, Organiser l'étude. 3. Ecologie & Régulation Actes de la 11 ème école d'été de didactique des mathématiques, pp.41-56, 2003.
, Approche anthropologique du rapport au savoir et didactique des mathématiques, pp.81-104, 2003.
, L'utilisation des quantificateurs universel et existentiel en première année universitaire entre l'explicite et l'implicite, Thèse de Doctorat, 2004.
, Les problèmes d'articulation entre points de vue « cartésien » et « paramétrique » dans l'enseignement de l'algèbre linéaire, Thèse de Doctorat, 1998.
, Contribution à l'étude de l'enseignement à l'université des premiers concepts d'algèbre linéaire. Approche historique et didactique, 1990.
, L'enseignement de l'algèbre linéaire en question, 1997.
, Jeux de cadres et dialectique outil-objet, Recherches en Didactique des Mathématiques, vol.7, issue.2, pp.5-31, 1986.
, Reflective Abstraction in Advanced Mathematical Thinking, 1991.
DOI : 10.1007/0-306-47203-1_7
, APOS: A Constructivist Theory of Learning in Undergraduate Mathematics Education Research, The Teaching and Learning of Mathematics at University Level, pp.273-280, 2001.
DOI : 10.1007/0-306-47231-7_25
, The nature of the process conception of function, 1992.
, The concept of function : Aspects of epistemology and pedagogy, pp.85-106
, Logique et raisonnement mathématique Défense et illustration de la pertinence du calcul des prédicats pour une approche didactique des difficultés liées à l'implication, 1996.
, Méthodes de raisonnement et leurs modélisations logiques. Le cas de l'analyse, Quelles implications didactiques ? Recherches en Didactique des Mathématiques, pp.295-342, 2003.
, Registres de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée, Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, pp.37-65, 1993.
, Sémiosis et pensée humaine, 1995.
, Ecriture, raisonnement et découverte de la démonstration en mathématiques, Recherches en didactiques des mathématiques, pp.135-170, 2000.
, Ecriture et compréhension : pourquoi faire écrire des textes de démonstration par les élèves ?, Produire et lire des textes de démonstration, pp.183-205, 2001.
, Décrire, visualiser ou raisonner : quel "apprentissages premiers" de l'activité mathématique ? Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, p.p, 2003.
, Place de la logique dans l'activité mathématique des étudiants du premier cycle scientifique, Thèse de Doctorat, 1991.
, Enseignement du début de l'analyse réelle à l'entrée à l'université, 2008.
, Duality, Ambiguity, and Flexibility: A "Proceptual" View of Simple Arithmetic, Journal for Research in Mathematics Education, vol.25, issue.2, pp.115-141, 1994.
DOI : 10.2307/749505
, Entrée à l'université / Ressources en ligne. Eclairages théoriques et actions didactiques dans deux champs de recherche en didactique des mathématiques. Note de synthèse pour une habilitation à diriger des recherches, 2008.
, Des transformations des figures aux transformations ponctuelles : étude d'une séquence d'enseignement avec Cabri-géomètre. Relations entre aspects géométriques et fonctionnels en classe de Seconde, Thèse. Université Joseph Fourier, 1998.
, Questions de temporalités, Méthodes de recherhce en didactique(s) 2, P.U.S, 2007.
, Difficultés liées à l'apprentissage des concepts de sous-groupe normal et de groupe quotient, Recherche en didactique des mathématiques, vol.24, issue.1, 2004.
, To teach via problem solving, Professional Development Mathematics, pp.152-166, 1994.
, Mathematical reasoning in task solving, Educational Studies in Mathematics, issue.41, pp.165-190, 2000.
, Fonctionnalité des représentations graphiques dans la résolution de problèmes d'analyse à l'Univrsité, Recherches en didactiques des mathématiques, 2001.
, Aspects of the nature and state of research in mathematics education, Educational Studies in Mathematics, vol.40, issue.1, pp.1-24, 1999.
DOI : 10.1023/A:1003715913784
, Continuités et ruptures dans la transition Terminale S/DEUG Sciences en Analyse. Le cas de la notion de dérivée et son environnement, Thèse de doctorat, 2000.
, Graphiques et raisonnements : visualiser des fonctions, Audimath n°2, dossier de 1'enseignant de mathématiques. Centre national de documentation pédagogique, 1990.
, Outils d'analyse des contenus mathématiques à enseigner au lycée et à l'université, Recherches en Didactique des Mathématiques, vol.18, issue.2, pp.139-190, 1998.
, Mathematical problem solving, 1985.
, Reflections on doing and teaching mathematics, 1994.
, Mathematical Thinking and Problem Solving, pp.53-69
, Evaluation of a teaching design in linear algebra : the case of linear transformations, Recherches en didactiques des mathématiques, vol.19, pp.7-40, 1999.
, A Theory of Mathematical Growth through Embodiment, Symbolism and Proof. Plenary Lecture for the International Colloquium on Mathematical Learning from Early Childhood to Adulthood, 2005.
, The transition to formal thinking in mathematics, Mathematics Education Research Journal, vol.23, issue.3, 2008.
DOI : 10.1007/BF03217474
, Differing Modes of Proof and Belief in mathematics. International Conference on Mathematics : Understanding proving and proving to understand, 2002.
, L'enseignement des vecteurs, Bulletin AMQ, vol.XLII, issue.4, pp.36-47, 2002.
, Images and Definitions for the Concept of Function, Journal for Research in Mathematics Education, vol.20, issue.4, pp.356-366, 1989.
DOI : 10.2307/749441
, 4 on donne les vecteurs : u = (1,0,1,0) ; v = (0,1,-1,0)
, Soit l'application f : E 1 × E 2 ? E, définie par : ? (x,y) ? E 1 × E 2 , f((x,y)) = x + y Montrer que f est linéaire
, deux espaces vectoriels sur un même corps commutatif K et h une application linéaire de E dans F. On se donne un supplémentaire E' de
, On suppose qu'il existe une application linéaire v de F dans E telle que : hovoh = h. a) Montrer que Im(voh) est un supplémentaire de Kerh dans E b) Montrer l'équivalence : Imv = Im
, ) un corps commutatif dont les éléments neutres de l'addition et de la multiplication sont respectivement notés, pp.0-1
, deux lois de composition internes : (x, y) + (x', y') = (x + x', y + y') (x, y) × (x', y') = (x.x'-y.y', x.y'+x'.y)
, On suppose qu'il existe un endomorphisme f?L(E) tel que :fof = -id E
, On note F e = Vect(e, f(e)) le sev de E engendré par la famille (e, f(e)