Construction et analyse de conditions aux limites artificielles pour des équations de Schrödinger avec potentiels et non linéarités

Pauline Klein 1, 2
2 CORIDA - Robust control of infinite dimensional systems and applications
IECN - Institut Élie Cartan de Nancy, LMAM - Laboratoire de Mathématiques et Applications de Metz, Inria Nancy - Grand Est
Résumé : La résolution numérique de l'équation de Schrödinger en domaine extérieur nécessite l'utilisation de conditions aux limites appropriées sur la frontière du domaine de calcul. Les conditions aux limites à utiliser sont directement reliées à la fonction de potentiel intervenant dans l'équation. Pour l'équation à potentiel nul, la condition aux limites exacte est connue, ainsi que des méthodes efficaces de discrétisation et d'implémentation numérique. L'objectif de cette thèse est d'étendre les méthodes mises en jeu à potentiel nul dans le cas d'un potentiel aussi général que possible, à l'image des situations physiques variées faisant intervenir un potentiel, linéaire ou non linéaire. Nous prenons le parti de renoncer à établir des conditions aux limites exactes, au profit d'une plus grande généralité de la méthode et d'une bonne adaptation à une implémentation numérique. En se basant sur le calcul pseudodifférentiel, on propose alors une recherche détaillée de méthodes permettant de prendre en compte le potentiel dans une condition aux limites artificielle (CLA). Cette thèse traite le cas de l'équation en dimension un ou deux avec potentiel linéaire ou non linéaire, ainsi que de l'équation stationnaire en dimension un. La construction de ces CLA repose sur l'analyse microlocale et le calcul symbolique associé aux opérateurs pseudodifférentiels fractionnaires. La discrétisation en temps est effectuée à l'aide de convolutions discrètes ou d'approximants de Padé, et la discrétisation en espace repose sur des éléments finis linéaires. On utilise la méthode de relaxation de Besse pour résoudre l'équation non linéaire. L'analyse mathématique des conditions construites dans cette thèse permet de démontrer dans certains cas des estimations a priori, sur le plan continu et sur le plan semi-discret. De nombreuses simulations numériques permettent de tester l'efficacité des conditions aux limites proposées et de les comparer entre elles.
Type de document :
Thèse
Mathématiques [math]. Université Henri Poincaré - Nancy 1, 2010. Français. 〈NNT : 2010NAN10098〉
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Contributeur : Pauline Klein <>
Soumis le : samedi 29 janvier 2011 - 10:32:00
Dernière modification le : jeudi 10 janvier 2019 - 17:01:44
Document(s) archivé(s) le : mardi 6 novembre 2012 - 12:45:10

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Pauline Klein. Construction et analyse de conditions aux limites artificielles pour des équations de Schrödinger avec potentiels et non linéarités. Mathématiques [math]. Université Henri Poincaré - Nancy 1, 2010. Français. 〈NNT : 2010NAN10098〉. 〈tel-01746335v2〉

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