High-Order Finite Elements for Hybrid Meshes - Application to the Resolution of Time-Harmonic and Time-Dependent Linear Hyperbolic Systems
Éléments finis d'ordre élevé pour maillages hybrides - Application à la résolution de systèmes hyperboliques linéaires en régimes harmonique et temporel
Résumé
In this thesis, we are interested in the construction of high-order finite elements adapted to hybrid meshes for the resolution of time-dependent and time-harmonic linear hyperbolic systems. We paid a special attention to the construction of pyramidal elements. We search optimal finite elements for three different formulations, the optimality being in the sense of the convergence in the norm of the space considered for the formulation. For H^1 and H(curl) formulations, optimal nodal and hp finite elements are constructed. The elementary matrices are evaluated with appropriate quadrature formula, and error estimates are performed to check the convergence of the constructed optimal elements. For the LDG (Local Discontinuous Galerkin) formulation, we present finite elements using orthogonal basis functions that allow us to design fast construction of the mass matrix and matrix-vector product. In the three cases, we present numerical properties of the elements, we check numerically that we get the theoretical convergence, and we compare our elements with other elements found in the literature. Finally, numerical experiments in 3D are conducted with time-dependent and time-harmonic equations (wave or Helmholtz equation, and Maxwell's equations). We show the efficiency of hybrid meshes compared to pure tetrahedral meshes or hexahedral meshes obtained by splitting tetrahedra into four hexahedra.
Dans cette thèse, nous nous intéressons à la construction d'éléments finis d'ordre élevé adaptés aux maillages hybrides, pour la résolution de systèmes hyperboliques linéaires en régimes harmonique et temporel. L'accent est plus particulièrement porté sur la construction d'éléments pyramidaux. On étudie trois formulations pour lesquelles on cherche des éléments finis "optimaux" au sens de la convergence dans la norme de l'espace considéré pour la formulation. Pour les formulations H^1 et H(rot), on construit des éléments finis "optimaux" nodaux et hp. Les matrices élémentaires sont évaluées grâce à des formules de quadrature adaptées et des estimations d'erreur sont effectuées pour vérifier la convergence des éléments optimaux construits. Pour la formulation discontinue LDG (Local Discontinuous Galerkin), on présente des éléments utilisant des fonctions de base orthogonales permettant de mettre au point une construction de la matrice de masse et un produit matrice-vecteur rapides. Dans le cas des trois formulations, on étudie les propriétés numériques des éléments construits, on vérifie que l'on retrouve bien numériquement la convergence théorique et on compare nos éléments avec d'autres éléments trouvés dans la littérature. Finalement, on présente des expériences numériques en 3D avec l'équation des ondes ou de Helmholtz, et les équations de Maxwell dans le cas des régimes temporels et harmoniques. On montre ainsi l'efficacité des maillages hybrides par rapport aux maillages purement tétraédriques ou aux maillages hexaédriques obtenus en découpant chaque tétraèdre d'un maillage purement tétraédrique en quatre hexaèdres.