Darmon's points and Shimura varieties

Points de Darmon et variétés de Shimura

Jerome Gartner (1)

1 IMJ - Institut de Mathématiques de Jussieu

This thesis deals with rational points on elliptic curves. Darmon and Logan proposed a conjectural construction of rational points on modular elliptic curves defined over a totally real number field. This construction goes farther than Heegner points' classical construction. This thesis generalize Darmon's construction. The first chapter essentially recalls some basic facts concerning the cohomology of quaternionic Shimura varieties. In the second chapter is built a differential form, whose set of periods is a lattice, under a conjecture due to Yoshida. The end of chapter two focus on special cycles, which homological classes are torsion. These new objects allow us to generalize Darmon's conjecture in the beginning of chapter 3. We state for this family of points a conjectural Gross-Zagier formula and try to relate them with some kind of Gross-Kohnen-Zagier theorem. In the last chapters we explicit the former constructions. This thesis ends with a survey of numerical evidences for Darmon's conjecture.

Cette thèse s'intéresse à la recherche de points rationnels sur les courbes elliptiques. Darmon et Logan ont proposé une construction conjecturale de points rationnels sur des courbes elliptiques modulaires définies sur un corps de nombres totalement réel. Cette construction va au delà de la construction classique des points de Heegner. C'est sur la généralisation de ces travaux que porte cette thèse. Après un premier chapitre de rappels concernant essentiellement les variétés de Shimura, on construit, dans le chapitre deux une forme différentielle dont l'ensemble des périodes est, sous une conjecture due à Yoshida, un réseau. On y définit aussi un ensemble de cycles dont la classe d'homologie est de torsion. A l'aide de ces données, on énonce au chapitre suivant une conjecture généralisant celle de Darmon et Logan. On s'interesse aussi aux propriétés de ces nouveaux points, principalement en lien avec les théorèmes "classiques" de Gross-Zagier et Gross-Kohnen-Zagier. Le chapitre 4 tente de rendre holomorphes les opérations du chapitre 2, et le chapitre 5 de les rendre plus explicites. Cette thèse comporte une annexe concernant les vérifications informatiques de la conjecture de Darmon.

Mots clés: Courbes elliptiques; points de Heegner; formule de Gross-Zagier; points de Stark-Heegner; variétés de Shimura; algèbres de quaternions.; algèbres de quaternions

Domaines: Mathématiques [math]

Jerome Gartner. Points de Darmon et variétés de Shimura. Mathématiques [math]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2011. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00555470⟩