Coding of the geodesic flow on hyperbolic surfaces with finite volume
Codage du flot géodésique sur les surfaces hyperboliques de volume fini
Résumé
This thesis focuses on the study of the objects linked to the Bowen-Series coding of the geodesic flow for hyperbolic surfaces of finite volume. It is first proved that the geodesic billiard associated with an "even corners" fundamental domain for a cofinite fuchsian group is conjugated with a bijection of the torus, called extended coding, one factor of which is the Bowen-Series transform. The sharpest property of that conjugacy is that it always only involves a finite number of objects. Some classical results about the Bowen-Series coding are then rediscovered : it is orbit-equivalent with the group, its periodic points are dense, and its periodic orbits are in bijection with conjugacy classes of primitive hyperbolic isometries ; which eventually links its Ruelle zeta function to the Selberg zeta function. The proofs of those results use a combinatorial lemma that abstracts the orbit-equivalence property to families of relations that can be defined on every set on which the group acts. The extended coding is also proved to be conjugated with a subshift of finite type, except for a countable set of points. Finally, it is shown that eigendistributions of the transfer operator for the eigenvalue 1 are the Helgason boundary values of eigenfunction of laplacian on the surface, plus that one can associate to each such eigendistribution a non-trivial eigenfunction of the transfer operator and that this process has a reciprocal in some cases.
Cette thèse traite de l'étude des objets reliés au codage de Bowen-Series du flot géodésique pour des surfaces hyperboliques de volume fini. On démontre d'abord que le billard géodésique associé à domaine fondamental "even corners" d'un groupe fuchsien cofini est conjugué à une bijection du tore, appelée codage étendu, dont l'un des facteurs est la transformation de Bowen-Series. L'intérêt principal de cette conjugaison est qu'elle ne fait toujours intervenir qu'un nombre fini d'objets. On retrouve ensuite des résultats classiques sur le codage de Bowen-Series : il est orbite-équivalent au groupe, ses points périodiques sont denses, et ses orbites périodiques sont en bijection avec les classes d'équivalence d'hyperboliques primitifs du groupe ; ce qui permet finalement de relier sa fonction zeta de Ruelle à la fonction zeta de Selberg. Les preuves de ces résultats s'appuient sur un lemme combinatoire qui abstrait la propriété d'orbite-équivalence à des familles de relations qui peuvent être définies sur tout ensemble sur lequel agit le groupe. Il est aussi possible de conjuguer le codage étendu à un sous-shift de type fini, sauf pour un ensemble dénombrable de points. Enfin, on prouve que les distributions propres pour la valeur propre 1 de l'opérateur de transfert sont les distributions de Helgason de fonctions propres du laplacien sur la surface, puis que l'on peut associer à toute telle distribution propre une fonction propre non triviale de l'opérateur de transfert et que ce procédé admet un inverse dans certains cas