Symplectic and Hamiltonian properties of holomorphic coadjoint orbits
Propriétés symplectiques et hamiltoniennes des orbites coadjointes holomorphes
Résumé
This thesis studies the symplectic structure of holomorphic coadjoint orbits, and their projections. A holomorphic coadjoint orbit O is an elliptic coadjoint orbit which is endowed with a natural invariant Kählerian structure. These coadjoint orbits are defined for a real semi-simple connected non-compact Lie group G with finite center, such that G/K is a Hermitian symmetric space, where K is a maximal compact subgroup of G. Holomorphic coadjoint orbits are a generalization of the Hermitian symmetric space G/K. In this thesis, we prove that the McDuff's symplectomorphism on Hermitian symmetric spaces, has an analogous for holomorphic coadjoint orbits. Then, using this symplectomorphism and recent GIT arguments from Ressayre, we compute the equations of the projection of the O, relatively to the maximal compact subgroup K.
L'objet de cette thèse est l'étude de la structure symplectique des orbites coadjointes holomorphes, et de leurs projections. Une orbite coadjointe holomorphe O est une orbite coadjointe elliptique d'un groupe de Lie réel semi-simple, connexe, non compact et à centre fini, provenant d'un espace symétrique hermitien G/K, telle que O puisse être naturellement munie d'une structure kählérienne G-invariante. Ces orbites sont une généralisation de l'espace symétrique hermitien G/K. Dans cette thèse, nous prouvons que le symplectomorphisme de McDuff se généralise aux orbites coadjointes holomorphes, décrivant la structure symplectique de l'orbite O par le produit direct d'une orbite coadjointe compacte et d'un espace vectoriel symplectique. Ce symplectomorphisme est ensuite utilisé pour déterminer les équations de la projection de l'orbite O relative au sous-groupe compact maximal K de G, en faisant intervenir des résultats récents de Ressayre en Théorie Géométrique des Invariants.
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