Problèmes inverses et simulations numériques en viscoélasticité 3D.
Résumé
In this thesis, we considered various mathematical and numerical problems related to the system of viscoelasticity in three dimensions. In the first part, we focused on the linear system and more specifically on the inverse problem of recovering a viscoelastic coefficient. For this system, we proved a Carleman estimate (Chapter 1) and a stability result in the unique continuation (Chapter 2). We used these results to establish two stability estimates for the inverse problem, the first one related to a unique internal measurement and the second to a unique measurement on an arbitrarily small part of the boundary (Chapter 3). Finally, we proposed a method to solve the problem numerically and presented an application in medical imaging (Chapter 4). In the second part, we studied a nonlinear viscoelasticity system. We presented numerical methods to solve it and the implementation of these methods in three dimensions (Chapter 5). A biomedical application to the simulation of the brain shift was then considered (Chapter 6). Finally, we looked at some modelling issues by establishing a viscoelastic/viscoplastic model in large strains (Chapter 7).
Dans cette thèse, nous abordons plusieurs problèmes mathématiques et numériques relatifs aux équations de la viscoélasticité en trois dimensions. Dans la première partie, nous considérons le système linéaire et nous nous intéressons au problème inverse de récupération d'un coefficient viscoélastique. Pour ce système, nous démontrons une inégalité de Carleman (Chapitre 1) et un résultat de stabilité dans le prolongement unique (Chapitre 2). Nous utilisons ensuite ces résultats pour prouver deux inégalités de stabilité pour le problème inverse, l'une relative à une unique mesure interne et l'autre à une unique mesure sur une partie arbitrairement petite de la frontière (Chapitre 3). Finalement, nous proposons une méthode pour résoudre ce problème numériquement et présentons une application en imagerie médicale (Chapitre 4). Dans la deuxième partie, nous étudions le système de la viscoélasticité non linéaire. Nous présentons des méthodes numériques pour le résoudre et l'implémentation de ces dernières en trois dimensions sur des géométries complexes (Chapitre 5). Une application biomédicale à la simulation des déformations des structures cérébrales est ensuite décrite (Chapitre 6). Enfin, nous abordons une question de modélisation en proposant un modèle couplé viscoélastique/viscoplastique en grandes déformations (Chapitre7).
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