Boundary-Domain Element Methods applied to Small-Strain elastoplasticity: Theory and Numerical Implementation

Contribution à l'étude des méthodes des équations intégrales et à leur mise en œuvre numérique en élastoplasticité

Bertrand Burgardt (1, 2)

1 Laboratoire Mécanique et matériaux
2 GeM - Institut de Recherche en Génie Civil et Mécanique

This study deals with Boundary-Domain Element Methods (BDEM) applied to small-strain elastoplasticity. The governing equations are obtained by using the Somigliana displacement identity with initial strains and unlike in Finite Element Methods (FEM), the main unknown of the resulting formulation is the strain or the stress field in the potentially plastic region. In order to solve the problem, two numerical procedures (Collocation and Galerkin methods) are implemented. It is worth noting that the regularity requirements of the unknown fields are not identical in both approaches. An implicit scheme is adopted for constitutive time integration, which leads to the well-known Return Mapping Algorithm ; moreover the Consistent Tangent Operator (CTO) is inserted in the iterative Newton-Raphson method. An unified presentation of the regularisation techniques at regular points of the boundary is given. These concepts are extended to singular boundary points by introducing the "reconstituted displacement gradient". As a result, a new integral representation of the strain field, even valid for singular boundary points, is proposed and implemented in a Collocation method. This evaluation of the boundary strain gives rise to a new Traction Boundary Integral Equation (TBIE), which can be written at boundary nodes. It is also shown that the governing equations, which take into account the Somigliana identity, result from the stationarity conditions of a fully regularised functional. This result gives an energetic meaning to the BDEM formulation. The numerical implementation of the resulting Galerkin scheme is described and a simple quadrature rule is presented to evaluate the singular double integrals. This procedure however needs to be optimised in future work. Some numerical results validate the proposed formulations and algorithms.

Cette étude traite des méthodes des équations intégrales appliquées à la résolution d'un problème élastoplastique sous l'hypothèse des petites perturbations. L'introduction de l'identité de Somigliana avec déformations initiales permet d'obtenir une formulation du problème directement pilotée en déformations ou en contraintes dans la zone potentiellement plastique, ce qui constitue une différence fondamentale avec les méthodes des éléments finis de domaine. La résolution numérique du système non-linéaire est réalisée à l'aide de deux méthodes distinctes (Collocation et Galerkin), pour lesquelles les conditions de régularités des champs inconnus diffèrent. Dans les deux cas, l'intégration locale de la loi de comportement est effectuée au moyen d'un algorithme de type Retour Radial et la notion d'opérateur tangent cohérent (CTO) est introduite dans le schéma itératif de Newton-Raphson. Après avoir présenté une méthode systématique de régularisation des opérateurs intégraux en des points réguliers de la frontière, nous étendons ces résultats à des géométries singulières, ce qui conduit à une représentation intégrale originale des déformations en tout point du domaine fermé. Cette expression donne lieu à une méthode de collocation simple et cohérente, rétablissant en outre la dualité entre les équations intégrales en déplacement et en vecteur-contrainte. Nous montrons également que le système d'équations régissant le problème dérive de la stationnarité d'une fonctionnelle ne comportant que des intégrales régulières et admet un opérateur tangent global symétrique. La mise en oeuvre numérique de la méthode de Galerkin qui en résulte est décrite et nous présentons une règle de quadrature simple et systématique des intégrales doubles, celle-ci devant néanmoins être optimisée à long terme. Des exemples numériques permettent de valider les formulations et les algorithmes proposés.

Keywords: Boundary Integral Method

Keywords: Méthode des équations intégrales

Domains: Mechanics [physics.med-ph]

Bertrand Burgardt. Contribution à l'étude des méthodes des équations intégrales et à leur mise en œuvre numérique en élastoplasticité. Mécanique [physics.med-ph]. Ecole Centrale de Nantes (ECN), 1999. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00550209⟩