\chapter{Amplification de spin}

Dans ce manuscrit, nous désignons par $S_k$ le $k^{\mbox{\footnotesize{ème}}}$ spin d'une chaîne et par $\hat{1}_k$, $\hat{X}_k$, $\hat{Y}_k$ et $\hat{Z}_k$, l'opérateur identité et les opérateurs de Pauli agissant sur le spin $S_k$.


\section{Intérêt des chaînes de spins}


\subsection{Problème du transfert de spin}
Le transfert d'un état quantique d'un bout à l'autre d'une chaîne de spins, a attiré une attention considérable depuis le papier de Bose \cite{Bose-2003}. Dans ce dernier, un état quantique initial est stocké sur un spin situé à l'un des bouts de la chaîne, tandis que tous les autres spins  sont dans l'état down. On laisse par la suite ce système évoluer librement, et après un certain temps, suffisant pour que l'onde de spin qui est déclenchée atteigne le bout de la chaîne, l'état du dernier spin est lu. De façon générale, le dernier spin se retrouve intriqué avec le reste de la chaîne, et si l'on ignore le reste de la chaîne, on se retrouve avec un état mélangé (cf. figure \ref{fig:Transfert-de-spin}).
\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=9cm]{Transfert-de-spin.eps}
\caption{Transfert d'un spin d'un bout à l'autre d'une chaîne linéaire.}
\label{fig:Transfert-de-spin}
\end{figure}
Bose a montré que la fidélité d'un tel transfert à travers une chaîne de spins avec des couplages de Heisenberg fixes entre plus proches voisins, excède la valeur maximale de $2/3$ qu'il est possible d'atteindre classiquement (cf. \cite{Horodecki-1999}), et ce pour des chaînes allant jusqu'à 80 spins (cf. figure  \ref{fig:Transfert-de-spin-Fidélité-maximale-en-fonction-de-N}, où est représentée en fonction de la longueur $N$ de la chaîne la valeur maximale $\overline{F}_{\mbox{max}}$ atteinte au cour du temps par la fidélité de transfert le long de la chaîne (définie par $\overline{F}_{\mbox{max}}(t)=\frac{1}{4\pi}\int d\Omega \langle \psi_{in} | \rho^{OUT}(t)|\psi_{in}\rangle$) pour une fenêtre temporelle fixe suffisamment importante).


\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=9cm]{Transfert-de-spin-Fidélité-maximale-en-fonction-de-N.eps}
\caption{Fidélités maximales de transfert d'un spin d'un bout à l'autre d'une chaîne linéaire, en fonction de la taille de la chaîne (cf. \cite{Bose-2003}). Le trait horizontal rouge représente la valeur classique maximale pour un tel transfert de $2/3$.}
\label{fig:Transfert-de-spin-Fidélité-maximale-en-fonction-de-N}
\end{figure}


\subsection{Transfert d'état parfait}
 Ce travail a été généralisé dans plusieurs directions \cite{Christandl-2005,Chiara-2005,Karbach-2005,Yung-2005,Furman-2006,Kay-2006,Lyakhov-2007,Franco-2008,Wiesniak-2008}. Des efforts substantiels ont notamment été faits pour accroître la fidélité du transfert d'état. Un transfert d'état parfait a même été prédit pour des chaînes dont les couplages augmentent comme la racine carrée de la position le long de la chaîne (relativement à son centre) conduisant de façon effective à la rotation d'un spin collectif large \cite{Christandl-2004} (cf. figure \ref{fig:Transfert-de-spin-parfait-Couplages}, où sont montrés les couplages entre plus proches voisins pour une chaîne de $6$ spins). Il a également été montré comment la diminution du couplage entre les spins terminaux et le reste de la chaîne, permet de réaliser un transfert d'état parfait, au prix cependant d'un ralentissement du transfert \cite{Wojcik-2005}.

\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=9cm]{Transfert-de-spin-parfait-Couplages.eps}
\caption{Couplages entre plus proches voisins permettant un transfert de spin parfait pour une chaîne de $6$ spins (cf. \cite{Christandl-2005}).}
\label{fig:Transfert-de-spin-parfait-Couplages}
\end{figure}



\subsection{Détection d'un spin unique}

Grâce aux techniques actuelles d'imagerie à résonance magnétique (I.R.M.), nous sommes capables de sonder la structure interne tridimensionnelle de la matière. Cependant, descendre en dessous de résolutions de l'ordre du micromètre, reste encore aujourd'hui un véritable challenge. Communément, le plus petit élément de volume détectable contient $10^{12}$ spins nucléaires (pour des techniques de microscopie I.R.M.) ou $10^7$ spins électroniques (pour des techniques de microscopie à résonance de spin électronique). On le voit, détecter de faibles quantités de spins, voire de façon ultime, la présence d'un spin unique, s'avère particulièrement difficile et nécessite la mise en place de méthodes plus puissantes. La microscopie à force de résonance magnétique (M.F.R.M.)
est capable d'une telle prouesse, et apparaît comme un dispositif de lecture idéal pour un ordinateur quantique qui utiliserait le spin comme bit quantique.


\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=11cm]{Détection-d-un-spin-unique.eps}
\caption{Procédé de détection d'un spin unique (cf. \cite{Rugar-Budakian-Mamin-Chui-2004}).}
\label{fig:Détection-d-un-spin-unique}
\end{figure}

Une telle expérience de M.F.R.M. a été proposée par Rugar, Budakian, Mamin et Chui dans un article de Nature de Juillet 2004 (cf. figure \ref{fig:Détection-d-un-spin-unique}) . Les auteurs utilisent tout d'abord un échantillon d'oxyde de silicium (SiO$_2$) irradié par rayons $\gamma$, procédé qui entraîne la localisation de spins électroniques en des points précis du matériau. Puis ils disposent une tige en silicium, possédant en son extrémité une pointe ferromagnétique (de SmCo, située $125$ nm au dessus de l'oxyde de silicium). Le champs magnétique engendré par la pointe ferromagnétique, ajouté à un champs magnétique externe, définissent alors un domaine de résonance magnétique pour le spin électronique (en forme de bol, comme cela apparaît sur le schéma), où est vérifiée la relation $B(x,y,z)=\frac{\omega}{\gamma}$, où $\omega$ est la pulsation du champs externe, et $\gamma$ le rapport gyromagnétique de l'électron. La tige est par la suite mise en oscillation, entraînant un déplacement d'avant en arrière de la région de résonance. Si le spin est rencontré, il se retrouve alors inversé, exerçant en retour une force sur la tige qui se traduit par un décalage de la fréquence d'oscillation de cette dernière, écart que l'on peut mesurer, traduisant ainsi la présence de l'électron. Cependant, la force exercée par l'électron sur la pointe ferromagnétique est extrêmement faible : pour un gradient de champs de l'ordre du gauss par nanomètre pour la pointe, la force est de l'ordre de l'atto-newton ($10^{-18} N$), ce qui est approximativement un million de fois plus faible que les forces mises en jeu dans les expériences de microscopie à force atomique (M.F.A.). Détecter un spin unique reste donc encore aujourd'hui un véritable challenge.





\subsection{Mesure d'un spin unique}

Les points quantiques (quantum dots en anglais) sont des boîtes de semi-conducteurs de l'ordre du nanomètre capables de confiner en leur sein un nombre donné d'électrons ($1$, $2$, etc. ). Il a été montré \cite{Hanson-2007} que la lecture de l'état de spin up ou down d'un électron unique confiné dans un tel système était possible. Une mesure directe du spin électronique est particulièrement difficile en raison de la faiblesse du moment magnétique de l'électron, et une méthode ingénieuse a donc été proposée qui consiste à corréler l'état du spin électronique, à différents états de charges du point quantique. Mesurer la charge du point quantique (chose beaucoup plus aisée à réaliser) permet alors de déterminer dans quel état (up ou down) est le spin. Ce procédé (appelé conversion spin-charge) fonctionne sur le principe suivant : supposons que notre point quantique ne comporte qu'un unique électron, et qu'il existe une différence d'énergie entre l'état de spin down et l'état de spin up de ce dernier (nous désignons par $\ket{ES}$ (excited-state) l'état le plus énergétique des deux, et par $\ket{GS}$ (ground-state) l'état fondamental). Supposons que notre point quantique se situe à côté d'un réservoir de potentiel électrochimique $\mu_{res}$, de telle façon que l'électron puisse par effet tunnel sortir du point quantique lorsqu'il est dans l'état $\ket{ES}$ uniquement (cf. figure  \ref{fig:Quantum-dots-Conversion-spin-charge}). Selon que nous mesurons ou non un électron en sortie du point quantique, l'électron est alors respectivement dans l'état $\ket{ES}$ ou dans l'état $\ket{GS}$ . Nous voyons donc qu'avec un tel procédé nous disposons d'une méthode nous permettant de discriminer entre les deux états de spins up ou down d'un électron unique.  

\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=9cm]{Quantum-dots-Conversion-spin-charge.eps}
\caption{Diagramme énergétique du procédé de conversion spin-charge (cf. \cite{Hanson-2007}).}
\label{fig:Quantum-dots-Conversion-spin-charge}
\end{figure}


\newpage

\subsection{Philosophie de l'amplification de spin}

Comme nous venons de le voir détecter la présence d'un spin unique n'est pas chose aisée, mais en effectuer la mesure ne l'est pas plus. En effet si l'utilisation des points quantiques rend possible de discerner l'état de spin up de celui de spin down, il ne permet pas pour autant de déterminer l'état d'un système qui serait dans une superposition des deux. Il s'avère donc indispensable de trouver une solution à ce problème de la mesure d'un spin unique. Le phénomène d'amplification de spin propose de contourner le problème en convertissant l'information initialement portée par le spin dont on souhaite mesurer l'état, en un état de polarisation d'un ensemble macroscopique de spins. 

Supposons que le spin dont on souhaite réaliser la mesure soit dans un état $$\ket{\Lambda_1}=\alpha \ket{\red\downarrow_1\black}+\beta\ket{\uparrow_1}~,~|\alpha|^2+|\beta|^2=1\, ,$$ et que l'on dispose d'un ensemble supplémentaire de $N-1$ spins initialement dans l'état down $\ket{\Lambda_A}=\ket{\red\downarrow_2\black\ldots
\red\downarrow_{N}\black}=\ket{\red\downarrow_A\black}$, que l'on qualifiera de système amplificateur. Notre objectif est d'agir sur le système total initial  $$\ket{\Lambda^{IN}}=\ket{\Lambda_1}\ket{\Lambda_A}= \alpha \ket{\red\downarrow_1\black}\ket{\red\downarrow_A\black} + \beta\ket{\uparrow_1}\ket{\red\downarrow_A\black}$$ 
\noindent au moyen d'une transformation unitaire $\hat{U}$, afin de faire évoluer ce dernier vers un état de Greenberger-Horne-Zeilinger (état GHZ)
\begin{eqnarray*}
\ket{\Lambda^{OUT}}&=&\hat{U}\ket{\Lambda^{IN}}  \\
&=& \alpha \ket{\red\downarrow_1\black}\ket{\red\downarrow_A\black} + \beta \ket{\uparrow_1}\ket{\uparrow_A}.
\end{eqnarray*}

Une réalisation possible de cette transformation $\hat{U}$ est une porte quantique CNOT entre deux qubits représentés respectivement par le spin objet de notre mesure et notre dispositif de mesure (le système amplificateur), flippant l'état du second qubit lorsque le premier qubit est dans l'état $\ket{\uparrow_1}$, et ne faisant rien lorsque le premier qubit est dans l'état $\ket{\red\downarrow_1\black}$. Il est important de souligner que $\hat{U}$ n'est pas définie de façon unique. Lee et Khitrin \cite{Lee-Khitrin-2005} ont montré qu'une telle opération unitaire pouvait s'écrire sous la forme $\hat{U}=\mbox{CNOT}_{N-1,N}\ldots\mbox{CNOT}_{1,2}$, où $\mbox{CNOT}_{m,n}$ est une porte CNOT agissant sur le $n^{\mbox{\footnotesize{ème}}}$ qubit avec comme qubit de contrôle le $m^{\mbox{\footnotesize{ème}}}$ qubit. L'avantage d'une telle transformation unitaire est que si notre système se trouve initialement dans l'état $\ket{\red\downarrow_1\black}\ket{\uparrow_2}\ldots
\ket{\uparrow_{N}}$, $\mbox{CNOT}_{1,2}$ fait tout d'abord flipper le $2^{\mbox{\footnotesize{ème}}}$ spin, puis $\mbox{CNOT}_{2,3}$ le $3^{\mbox{\footnotesize{ème}}}$ spin, etc., et nous observons alors la propagation d'un front de spins. Une telle évolution unitaire a pour avantage de ne faire intervenir que des relations entre plus proches voisins indépendamment de la taille du système qui peut dès lors être arbitrairement grand.

Lee et Khitrin ont été les premiers à proposer un système physique présentant un tel effet de \textit{Domino quantique}, où un spin initialement flippé dans un état donné, conduit à la propagation d'un front de spins. Sur les figures \ref{fig:HLK-Polarisations-individuelles-ttilde-0}, \ref{fig:HLK-Polarisations-individuelles-ttilde-50} et \ref{fig:HLK-Polarisations-individuelles-ttilde-100} (extraites de \cite{Lee-Khitrin-2005}),  nous pouvons observer les résultats trouvés par Lee et Khitrin pour une chaîne linéaire de $100$ spins où sont représentées pour différentes valeurs de $\tilde{t}=\omega_1 t$ (où $\hbar\omega_1$ est l'amplitude du champs dans lequel est plongé la chaîne), les polarisations individuelles moyennes de chaque spin de la chaîne. Nous constatons bien la propagation d'un front de spins du début de la chaîne vers la fin de cette dernière qui concoure à amplifier l'état initial de $S_1$ sur l'ensemble de la chaîne.

\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=9cm]{HLK-Polarisations-individuelles-ttilde-0.eps}
\caption{Polarisations individuelles moyennes pour $\tilde{t}=0$.}
\label{fig:HLK-Polarisations-individuelles-ttilde-0}
\end{figure}
\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=9cm]{HLK-Polarisations-individuelles-ttilde-50.eps}
\caption{Polarisations individuelles moyennes pour $\tilde{t}=50$.}
\label{fig:HLK-Polarisations-individuelles-ttilde-50}
\end{figure}
\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=9cm]{HLK-Polarisations-individuelles-ttilde-100.eps}
\caption{Polarisations individuelles moyennes pour $\tilde{t}=100$.}
\label{fig:HLK-Polarisations-individuelles-ttilde-100}
\end{figure}





\subsection{Équivalence entre transfert de spin et amplification de spin}

Kay a montré qu'il existait une équivalence profonde entre le problème de transfert de spin et celui d'amplification de spin, permettant ainsi de transférer les connaissances acquises dans l'étude de l'un des domaines à l'autre domaine \cite{Kay-2007}. En effet, dans les deux cas, la même représentation de l'opérateur de Hamilton peut être obtenue en changeant les couplages et les fonctions de base en même temps. Pour l'amplification de spin, on considère une base de fonctions dont les $k$ premiers spins sont down (les autres up), et un hamiltonien qui flippe seulement le spin adjacent au domaine défini par les spins down, induisant ainsi un effet de domino. Pour le transfert de spin, les fonctions de base intéressantes correspondent aux états possédant une unique excitation localisée sur l'un des $N$ spins, et l'hamiltonien consiste uniquement en des couplages d'échange entre plus proches voisins. Nous présentons plus en détail cette équivalence dans la section \ref{sec:Equivalence-Amplification-de-spin-Transfert-de-spin}.


\newpage


\subsection{Influence de la topologie, de la géométrie et des conditions aux frontières}

Récemment, un grand intérêt s'est porté sur les effets géométriques et topologiques dans les réseaux de spins. Le transfert d'état quantique a été étendu à des réseaux plus compliqués, comme par exemple des hypercubes \cite{Christandl-2005}, des réseaux étoilés à 1D \cite{Kay-2007}, des réseaux étoilés à 3D \cite{Deng-2008} (cf. figure \ref{fig:Réseau-de-spin-Etoile}). Des portes quantiques topologiques ont été également proposées dans laquelle la chaîne est fermée en une boucle, et traversée par un flux de Aharonov-Bohm approprié \cite{Kay-2005}. Très récemment, les effets de la topologie ont été exploités pour contrôler localement la dynamique dans des réseaux de spins \cite{Burgarth-2009}.

\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=9cm]{Réseau-de-spin-Etoile-1D.eps}
\includegraphics[width=9cm]{Réseau-de-spin-Etoile-3D.eps}
\caption{Réseaux de spins 1D et 3D effectuant la mesure du spin en rouge (cf. \cite{Kay-2007} et \cite{Deng-2008}).}
\label{fig:Réseau-de-spin-Etoile}
\end{figure}

\newpage

Dans ce chapitre, nous étudions l'influence des conditions aux frontières sur l'amplification de spin dans les chaînes de spins. Par conditions aux frontières nous entendrons dans ce manuscrit à la fois le fait qu'une chaîne soit ouverte (chaînes linéaires) ou fermée (chaînes circulaires), mais
également les différentes façons que nous avons de fermer une chaîne linéaire en une chaîne circulaire (fermeture qui dépend de la nature des couplages que l'on autorise entre les premiers et derniers spins de la chaîne linéaire de départ une fois celle-ci refermée).

On pourrait penser que ces conditions aux frontières jouent un rôle négligeable dans la limite des très longues chaînes (i.e. pour $N\to\infty$). En effet, l'effet de ces dernières s'évanouit dans la limite thermodynamique dans la plupart des situations en physique. Cependant des exceptions bien connues existent en la présence de corrélations à longue portée, comme par exemple lors d'une transition de phase quantique \cite{Braun-1998}. Mais de façon surprenante, il s'avère que dans les chaînes de spins, bien loin de toute transition de phase, les conditions aux frontières peuvent modifier de façon drastique le comportement de la dynamique. La présence ou l'absence d'un simple couplage entre le premier et le dernier spin peut conduire à des polarisations totales moyennes (fonctions du temps) macroscopiquement différentes, même dans la limite de chaînes arbitrairement longues. Nous montrons qu'il s'opère une \textit{bifurcation} dans l'espace de Hilbert qui explique ce comportement macroscopiquement différent. Dépendant des conditions aux frontières, des fonctions de base peuvent être atteintes qui diffèrent tant par leurs propriétés physiques que par la dimension de leur base en fonction de $N$. Nous montrons également qu'il existe différentes façons de fermer une chaîne linéaire en une chaîne circulaire, qui non seulement modifient de façon drastique le comportement physique de la chaîne, mais encore conduit à des représentations matricielles non équivalentes de l'hamiltonien, et à des dynamiques différentes ne parcourant pas la même partie de l'espace de Hilbert total.

\subsection{Approche semi-classique de l'amplification de spin}

Il est bien connu que les calculs quantiques et classiques sont très différents. Cette situation se retrouve notamment dans les manifestations du chaos sur un système quantique qui montrent de profondes différences avec celles du chaos classique. Néanmoins, il a été possible d'acquérir une
bonne compréhension du chaos quantique à partir du chaos classique en utilisant des méthodes semi-classiques. Celles-ci permettent de remplacer les propagateurs quantiques exacts par des sommes
sur des chemins classiques, pondérées par un facteur de phase et un poids approprié (cf. le livre de Fritz Haake \cite{Haake-2010}). Ces techniques semi-classiques sont d'autant plus précises que les actions accumulées le long des
chemins sont larges devant $\hbar$. Un critère pratique est souvent la valeur des nombres quantiques comme la valeur absolue du moment cinétique en unité de $\hbar$ (que l'on peut relier à la dimension de l'espace de Hilbert). En ajustant cette dimension, une description semi-classique
peut faire le pont entre le monde quantique et le monde classique.



Pour étudier les chaînes dans la limite des grands $N$, nous introduisons une telle approche semi-classique, dont la précision augmente avec $N$ (se reporter notamment à l'article \cite{Roubert-2010} pour plus de détails). Celle-ci nous permet notamment de dériver une expression analytique des polarisations totales moyennes dans le cas de systèmes pour lesquels  la dimension des bases dans lesquelles se déroule la dynamique évolue linéairement avec la taille de la chaîne (voir section \ref{sec:Linear_Mean_Polarization} et \ref{sec:Circular-chain-Mean-polarization}).





\subsection{Introduction de la base des $\ket{\Gamma_{k,l}}$}
\label{sec:Base-des-Gamma-kl}

Dans toute la suite de ce chapitre sur l'amplification de spin, nous allons étudier différents systèmes et caractériser les bases dans lesquelles se déroule la dynamique. A cette fin, nous prenons le temps d'introduire pour une chaîne de $N$ spins la base des états $\ket{\Gamma_{k,l}}$ ($k\in[1,N-1]$, $l\in[1,N]$), définis comme les états comportant $k$ spins down consécutifs (on considère dans le cadre de cette définition que $S_1$ et $S_N$ sont consécutifs) dont le dernier (en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre) correspond au spin $S_k$. Ci-dessous nous donnons par exemple pour une chaîne de 5 spins, les différents états $\ket{\Gamma_{k,l}}$ (dans l'ordre $\ket{\Gamma_{1,1}},\ldots,\ket{\Gamma_{1,5}},\ldots,\ket{\Gamma_{4,1}},\ldots,\ket{\Gamma_{4,5}}$) :

\begin{eqnarray*}
&&~~~~\ket{\red \downarrow_1 \black \uparrow_2\uparrow_3\uparrow_4\uparrow_5}
~~~~\ket{ \uparrow_1 \red \downarrow_2 \black \uparrow_3\uparrow_4\uparrow_5}
~~~~\ket{ \uparrow_1 \uparrow_2 \red \downarrow_3 \black \uparrow_4\uparrow_5}
~~~~\ket{ \uparrow_1 \uparrow_2\uparrow_3 \red \downarrow_4 \black\uparrow_5}
~~~~\ket{ \uparrow_1  \uparrow_2\uparrow_3\uparrow_4\red \downarrow_5\black}\\
&&~~~~\ket{ \red\downarrow_1\black\uparrow_2\uparrow_3\uparrow_4\red\downarrow_5\black}
~~~~\ket{ \red\downarrow_1\downarrow_2\black\uparrow_3\uparrow_4\uparrow_5}
~~~~\ket{ \uparrow_1\red\downarrow_2\downarrow_3\black\uparrow_4\uparrow_5}
~~~~\ket{ \uparrow_1\uparrow_2\red\downarrow_3\downarrow_4\black\uparrow_5}
~~~~\ket{ \uparrow_1\uparrow_2\uparrow_3\red\downarrow_4\downarrow_5\black}\\
&&~~~~\ket{ \red\downarrow_1\black\uparrow_2\uparrow_3\red\downarrow_4\downarrow_5\black}
~~~~\ket{ \red\downarrow_1\downarrow_2\black\uparrow_3\uparrow_4\red\downarrow_5\black}
~~~~\ket{ \red\downarrow_1\downarrow_2\downarrow_3\black\uparrow_4\uparrow_5}
~~~~\ket{ \uparrow_1\red\downarrow_2\downarrow_3\downarrow_4\black\uparrow_5}
~~~~\ket{ \uparrow_1\uparrow_2\red\downarrow_3\downarrow_4\downarrow_5\black}\\
&&~~~~\ket{ \red\downarrow_1\black\uparrow_2\red\downarrow_3\downarrow_4\downarrow_5\black}
~~~~\ket{ \red\downarrow_1\downarrow_2\black\uparrow_3\red\downarrow_4\downarrow_5\black}
~~~~\ket{ \red\downarrow_1\downarrow_2\downarrow_3\black\uparrow_4\red\downarrow_5\black}
~~~~\ket{ \red\downarrow_1\downarrow_2\downarrow_3\downarrow_4\black\uparrow_5}
~~~~\ket{ \uparrow_1\red\downarrow_2\downarrow_3\downarrow_4\downarrow_5\black}  ~.
\end{eqnarray*}

Chacun des systèmes étudiés dans les sections à venir possède une base qui est un sous-ensemble de l'ensemble des $N(N-1)$ états $\ket{\Gamma_{k,l}}$ que nous venons de définir. Cependant, comme nous le verrons dans les sections \ref{sec:Chaîne-linéaire-HL} (pour le système $\hat{H}^{(L)}$) et \ref{seq:Chaîne-circulaire-HC3} (pour le système $\hat{H}^{(C)}_3$), pour certains systèmes le nombre d'états parcourus par la dynamique est linéaire par rapport à la taille de la chaîne (i.e.~les bases sont de dimension $\mathcal{O}(N)$). Pour ces derniers nous préférerons utiliser comme base de référence, la base des états $\ket{\Lambda_k}$ ($k\in[1,N-1]$) définis comme les états possédant $k$ spins down consécutifs en partant de $S_1$, i.e. $\ket{\Lambda_k}=\ket{\red\downarrow_1\ldots\downarrow_k\black\uparrow_{k+1}\ldots\uparrow_N}$ qui ne sont autres que les éléments $\ket{\Gamma_{k,k}}$ ($k\in[1,N-1]$) de la base précédente.






 
\section{Chaîne linéaire}
\label{sec:Chaîne-linéaire-HL}
\subsection{Modèle physique de Lee et Khitrin}

Lee et Khitrin dans un article de 2005 \cite{Lee-Khitrin-2005}, ont présenté un exemple de modèle physique permettant d'implémenter l'amplification de spin au moyen d'une chaîne linéaire d'Ising unidimensionnelle de $N_L$ spins possédant des interactions constantes entre plus proches voisins et irradiée à résonance par un champs faible transverse monochromatique. Initialisant le système dans l'état où tous les spins sont up, le flip du spin $S_1$ permet de déclencher la propagation d'un front de spins (on parle d'effet \textit{domino quantique}) conduisant à l'amplification de l'état de $S_1$ sur l'ensemble des autres spins de la chaîne. Ce système est décrit par l'hamiltonien  
\begin{eqnarray}
\hat{H}=\frac{\hbar\omega_0}{2} \sum_{k=1}^{N_L} \hat{Z}_k + \hbar \omega_1 \sum_{k=1}^{N_L} \hat{X}_k \cos( \omega_0 t) + \frac{ J}{4}\sum_{k=1}^{N_L} \hat{Z}_k \hat{Z}_{k+1} ,
\end{eqnarray}
où $ \hbar\omega_0$ est la différence d'énergie entre les niveaux excité et au repos d'un spin isolé , $J$ est la constante d'interaction entre plus proches voisins, et $\hbar \omega_1 \ll J \ll \hbar \omega_0$ est l'amplitude de l'irradiation. Si l'on considère la dynamique dans un référentiel tournant à la fréquence $\omega_0/2\pi$ autour de l'axe $Oz$, nous obtenons un nouvel hamiltonien $\hat{H}_{\mbox{\footnotesize{rot}}}=\hat{U}_{rot}^{+}\hat{H}\hat{U}_{rot}- \hat{H}_0$, où $\hat{U}_{rot}=\exp(-i \hat{H}_0 t/\hbar )$ avec $\hat{H}_0= \frac{\hbar \omega_0}{2} \sum_{k=1}^{N_L} \hat{Z}_k$. En utilisant l'approximation des ondes tournantes (approximation RWA) qui nous permet de ne conserver que les termes faiblement oscillants dans l'expression de $\hat{H}_{\mbox{\footnotesize{rot}}}$, nous obtenons
\begin{eqnarray}
\hat{H}_{\mbox{\footnotesize{rot}}} = \hat{H}_x+\hat{H}_{zz}=\frac{\hbar \omega_1}{2}\sum_{k=1}^{N_L} \hat{X}_k  + \frac{J}{4}\sum_{k=1}^{N_L} \hat{Z}_k \hat{Z}_{k+1}
\end{eqnarray}
qui n'est autre que l'hamiltonien d'une chaîne de Ising unidimensionnelle placée dans une champs transverse monochromatique de pulsation $\omega_1$.
Afin de mieux comprendre la dynamique associée à ce système, nous nous plaçons en représentation d'interaction, i.e. $$\hat{H}_I(t)=\exp(-i \hat{H}_{zz} t/\hbar)\hat{H}_{x}\exp(i \hat{H}_{zz}t/\hbar)~.$$

Pour $ \hbar \omega_1 \ll J $, on peut ne considérer que la partie indépendante du temps de l'hamiltonien $\hat{H}_I(t)$, une procédure appelée \textit{approximation séculaire} et adoptée par Lee et Khitrin \cite{Lee-Khitrin-2005}. Cette dernière approximation nous conduit à l'hamiltonien effectif séculaire


\begin{eqnarray}
\hat{H}^{LK}= \frac{\hbar\omega_1}{4}\sum_{k=2}^{N_L-1} \hat{X}_k(\hat{1}_{k-1}  \hat{1}_{k+1}- \hat{Z}_{k-1} \hat{Z}_{k+1})~.
\end{eqnarray}

\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\includegraphics[width=9cm]{Spin-Flip.eps}
\caption{Chaîne unidimensionnelle d'Ising sous condition d'irradiation résonnante. Le spin entouré, en résonance, se voit flippé dans l'état down.}
\label{fig:Spin-Flip}
\end{figure}


Cet hamiltonien a la signification physique suivante : lorsque le spin $S_k$ est entouré par deux voisins ($S_{k-1}$ et $S_{k+1}$) de signes opposés, c'est seulement alors que l'opérateur $(\hat{1}_{k-1}  \hat{1}_{k+1}- \hat{Z}_{k-1} \hat{Z}_{k+1})$ prend une valeur non nulle, permettant l'action de l'opérateur $\hat{X}_k$ qui flippe alors le spin $S_k$. Nous pouvons observer sur la figure \ref{fig:Spin-Flip} le comportement d'une chaîne linéaire placée dans les conditions décrites par Lee et Khitrin, et initialisée dans l'état $\ket{\Lambda_1}=\ket{\red\downarrow_1\black\uparrow_2\ldots\uparrow_{N_L}}$.
Pour un tel système, la dynamique n'évolue plus dans l'espace de Hilbert total (engendré par les $2^{N_L}$ vecteurs de la base computationnelle) mais dans un sous-espace de ce dernier de taille $N_L-1$. En effet, si nous désignons par  $\left| \Lambda_k \right \rangle= \left|\color{red}\downarrow_1
\ldots\downarrow_k \color{black}\uparrow_{k+1} \ldots \uparrow_{N_L} \right\rangle$, avec  $k\in [0,N_L]$, l'état dont les $k$ premiers spins sont dans l'état down et tous les autres dans l'état up, nous voyons que
$\hat{H}^{LK}$  couple $\ket{\Lambda_1}$ à $\ket{\Lambda_2}$, puis de
façon générale, $\ket{\Lambda_k}$ à $\ket{\Lambda_{k-1}}$ et  $\ket{\Lambda_{k+1}}$ pour $k\in[2,N_L-2]$, et enfin $\ket{\Lambda_{N_L-1}}$ à $\ket{\Lambda_{N_L-2}}$. La dynamique repart ensuite dans le sens opposé (avec $\ket{\Lambda_k}$ couplé à $\ket{\Lambda_{k-1}}$ et  $\ket{\Lambda_{k+1}}$ pour $k$ allant cette fois de $N_L-2$ à $2$), jusqu'à revenir à $\ket{\Lambda_2}$ qui n'est couplé en retour qu'avec l'état $\ket{\Lambda_1}$. Il est à noter que les états où tous les spins sont dans l'état up ou dans l'état down sont des états propres de $\hat{H}^{LK}$ de valeur propre $0$ et sont donc stationnaires. L'action de $\hat{H}^{LK}$ est résumé par l'équation (\ref{eq:HLK}) ci-dessous

\begin{eqnarray}
\label{eq:HLK}
\hat{H}^{LK}\ket{\Lambda_k} =
\left\{
    \begin{array}{lll}
        0 &\mbox{si}& k=0 \mbox{ ou } k=N_L\\
        \frac{\hbar \omega_1}{2} \ket{\Lambda_2} & \mbox{si} & k=1\\
        \frac{\hbar \omega_1}{2}(\ket{\Lambda_{k-1}} + 
        \ket{\Lambda_{k+1}}) &   
         \mbox{si} & k\in[2,N_L-2]\\
        \frac{\hbar \omega_1}{2} \ket{\Lambda_{N_L-2}}& \mbox{si} & k=N_L-1\\
    \end{array}
\right. ~.
\end{eqnarray}

Nous pouvons donc déclencher la propagation d'un front de spins
en flippant uniquement le spin initial d'une chaîne dont tous les spins sont initialement dans le même état (up ou down). En d'autres mots, le système agit comme un amplificateur de spin qui amplifie l'état initial d'un spin en début de chaîne en un état macroscopique de polarisation de la chaîne toute entière. Il est à noter que la restriction de la dynamique au sous-espace des $N_L-1$ états $\ket{\Lambda_k }$, est conséquente au fait que le spin initialement excité se trouve en début de chaîne. Un même spin situé en milieu de chaîne conduit en effet à une dynamique complètement différente dans laquelle la base visitée est de taille  quadratique relativement à la taille du système (en $\mathcal{O}(N_L^2)$). Nous renvoyons le lecteur aux sections 
\ref{seq:Circular-Chain-Closing-by-Spin-identification} et \ref{seq:Circular-chain-Closing-by-adding-a-coupling} où sont étudiées des chaînes circulaires (décrites par les hamiltoniens $\hat{H}^{(C)}_1$ et $\hat{H}^{(C)}_2$) dans lesquelles la propagation simultanée de deux fronts de spins à droite et à gauche du spin $S_1$ (seul spin initialement dans l'état down) équivaut à implémenter cette condition.  









\subsection{Équivalence entre le problème d'amplification de spin et le problème de transfert de spin}
\label{sec:Equivalence-Amplification-de-spin-Transfert-de-spin}

\subsubsection{Modèle de Lee-Khitrin généralisé}


Dans la présente section nous nous intéressons au cas plus général d'un système dans lequel les couplages entre plus proches voisins ne sont pas nécessairement identiques entre tous les spins. Dans un tel système, l'hamiltonien d'une chaîne linéaire a alors pour expression  ($J_{k}$ désignant le couplage entre les spins $S_k$ et $S_{k+1}$, cf. figure 
\ref{fig:Chaine-lineaire-Couplages-variables}) 
\begin{eqnarray}
\hat{H}^{(L)}_G = \frac{1}{2}\sum_{k=2}^{N_L-1} J_{k-1}\hat{X}_k (\hat{1}_{k-1} \hat{1}_{k+1} - \hat{Z}_{k-1} \hat{Z}_{k+1})~.
\end{eqnarray}
\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=9cm]{Chaîne-linéaire-Couplages-variables.eps}
\caption{Chaîne linéaire avec couplages entre plus proches voisins non constants.}
\label{fig:Chaine-lineaire-Couplages-variables}
\end{figure}



$\hat{H}^{(L)}_G$ a sur les états $\ket{\Lambda_k}$ l'action suivante
\begin{eqnarray}
\label{eq:HLG}
\hat{H}^{(L)}_G \ket{\Lambda_k} =
\left\{
    \begin{array}{lll}
       0 & \mbox{si} & k=0 \mbox{ ou } k=N_L\\
        J_1\ket{\Lambda_2} & \mbox{si} & k=1\\
       J_{k-1}\ket{\Lambda_{k-1}} + 
        J_k\ket{\Lambda_{k+1}} &   
         \mbox{si} & k\in[2,N_L-2]\\
        J_{N_L-2}\ket{\Lambda_{N_L-2}}& \mbox{si} & k=N_L-1\\
    \end{array}
\right. ~,
\end{eqnarray}


\noindent et nous pouvons donner une réécriture de $\hat{H}^{(L)}_G$ sous la forme $\hat{H}^{(L)}_G=\sum_{k=1}^{N_L-2}J_k
 \ket{\Lambda_k} \bra{\Lambda_{k+1}} + h.c.$, ce qui nous conduit (dans la base des $\ket{\Lambda_k}$, $k\in[1,N_L-1]$) à la représentation matricielle
\begin{eqnarray}
\label{eq:HLG-Représentation-matricielle}
\tilde{H}^{(L)}_G=\left(
\begin{array}{ccccccc}
   0 & J_1      &\,      &\,   & \, & \,& \, \\
   J_1 & 0& J_2&  \,   &  \, & \, & \,\\
   \,&J_2 &0 &J_3  &\, & \, & \,\\
   \,&\, & \ddots &0  &\ddots & \,  & \,\\
   \,& \,  &\, &J_{N_L-4}  &0 & J_{N_L-3} & \,   \\
   \,& \, &\, & \, &J_{N_L-3}  &0 & J_{N_L-2} \\
   \,& \, &\,&\,& \,   &J_{N_L-2} &0\\
\end{array}
\right)~.
\end{eqnarray}




\subsubsection{Modèle de transfert de spin généralisé}


Il est intéressant de montrer à ce point comment le problème d'amplification de spin dans une chaîne linéaire peut être rapproché de celui de transfert de spin (dans lequel l'état d'un spin initial situé en début de chaîne est transféré à l'extrémité finale de cette dernière). Si nous nous plaçons dans la base des états $\ket{\Phi_k}=\ket{\uparrow_1\ldots\uparrow_{k-1}
\textcolor{red}{\downarrow_{k}}\uparrow_{k+1}\ldots\uparrow_{N_L-1}}$, $k\in[1,N_L-1]$, à une seule excitation, et choisissons de considérer le cas d'une chaîne linéaire de longueur $N_L-1$ (afin que les bases parcourues par les dynamiques soient dans les deux cas de même taille, tant pour le problème d'amplification de spin que pour celui de transfert de spin), l'hamiltonien du système réalisant le transfert de spin est alors donné par
\begin{eqnarray}
\hat{H}^{(L)}_T = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{N_L-2}J_k (\hat{X}_k \hat{X}_{k+1} +\hat{Y}_k \hat{Y}_{k+1})~.
\end{eqnarray}
Nous pouvons vérifier que $\hat{H}^{(L)}_T$ a sur les $\ket{\Phi_k}, k\in [1,N_L-1]$, la même action qu'avait $\hat{H}^{(L)}_G$ sur les $\ket{\Lambda_k},k\in[1,N_L-1]$, à savoir

\begin{eqnarray}
\hat{H}^{(L)}_T \ket{\Phi_k} =
\left\{
    \begin{array}{lll}
       J_1\ket{\Phi_2} & \mbox{si} & k=1\\
      J_{k-1}\ket{\Phi_{k-1}} + 
        J_k\ket{\Phi_{k+1}} &   
         \mbox{si} & k\in[2,N_L-2]\\
        J_{N_L-2}\ket{\Phi_{N_L-2}}& \mbox{si} & k=N_L-1\\
    \end{array}
\right. ~.
\end{eqnarray}

\subsubsection{Équivalence entre les deux systèmes}

La dynamique observée pour $\hat{H}^{(L)}_T$ est donc la même que pour $\hat{H}^{(L)}_G$ et les deux problèmes suivants sont donc équivalents : étudier l'amplification de spin dans une chaîne linéaire de $N_L$ spins, ou le transfert de spin dans une chaîne linéaire de $N_L-1$ spins \cite{Kay-2007}. Cette connexion profonde entre deux types de problèmes apparemment différents, que l'on rencontre souvent dans des domaines variés de la physique où des systèmes différents se retrouvent gouvernés par des lois identiques, est particulièrement intéressante car elle permet de transposer certains des résultats obtenus dans un autre domaine au domaine étudié et de développer certaines intuitions qui n'auraient pas émergé aisément sans cela.








\subsection{Propagateur quantique en terme de fonctions de Bessel}

A partir de cette section nous ne nous intéressons plus qu'au cas d'une chaîne linéaire de $N_L$ spins avec couplages constants entre plus proches voisins ($J_k=J$, $k\in[1,N_L-2]$), i.e.
\begin{eqnarray}
\hat{H}^{(L)} = \frac{J}{2}\sum_{k=2}^{N_L-1} \hat{X}_k (\hat{1}_{k-1} \hat{1}_{k+1} - \hat{Z}_{k-1} \hat{Z}_{k+1})~.
\end{eqnarray}

Dans la base des $\ket{\Lambda_k}$, $k\in[1,N_L-1]$, nous obtenons par exemple dans le cas $N_L=9$ la représentation matricielle de $\hat{H}^{(L)}$ suivante 


\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=8cm]{HL-Représentation-matricielle-NL-9.eps}
\caption{Représentation matricielle de  $\hat{H}^{(L)}$ dans la base des $\ket{\Lambda_k}$, $k\in[1,N_L-1]$, pour $N_L=9$.}
\label{fig:HL-Représentation-matricielle-NL-9}
\end{figure}





\subsubsection{Vecteurs propres et valeurs propres de $ \hat{H}^{(L)}$}
 
Dans le sous-espace de Hilbert dans lequel se déroule la dynamique, $\hat{H}^{(L)}$ est équivalent à un modèle de liaisons fortes pour une chaîne unidimensionnelle ouverte (\textit{tight-binding model}) avec couplages constants entre plus proches voisins. Les fonctions propres de $\hat{H}^{(L)}$ sont donc les ondes de Bloch (\ref{eq:HL-Vecteurs-propres-Ondes-de-Bloch}) et les valeurs propres sont donnés par (\ref{eq:HL-Valeurs-propres}).
\begin{eqnarray}
\label{eq:HL-Vecteurs-propres-Ondes-de-Bloch}
\left|\psi_p^{(L)}\right\rangle = \sqrt{\frac{2}{N_L}}\sum_{k=1}^{N_L-1}\sin\left( \frac{p \pi k }{N_L}\right)\left|\Lambda_k \right\rangle 
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\label{eq:HL-Valeurs-propres}
\lambda_p^{(L)} = 2J \cos \left(\frac{p \, \pi}{N_L}\right), p\in[1,N_L-1]
\end{eqnarray}

La connaissance des valeurs propres et des vecteurs propres de $\hat{H}^{(L)}$ nous permet d'obtenir une expression analytique des éléments matriciels du propagateur quantique (dans la base des $\ket{\Lambda_k}$), à savoir

\begin{eqnarray}
\label{eq:Linear-chain-Propagator}
U_{k,k_{0}}^{(L)}(t) &=&\left\langle \Lambda_k \right\vert
e^{-i \hat{H}^{(L)} t/\hbar}\left\vert\Lambda_{k_0}\right\rangle   \nonumber \\
&=&\sum_{p=1}^{N_L-1}\left\langle\Lambda_{k} \right\vert \left. \psi^{(L)}
_{p}\right\rangle e^{-i\lambda _{p}^{(L)} t/\hbar}\left\langle \psi^{(L)}_{p}\right\vert
\left. \Lambda_{k_0} \right\rangle  \nonumber \\
&=&\sum_{p=1}^{N_L-1}F^{(L)}_{k,k_{0}}(p \, , \tilde{t}) \\
F^{(L)}_{k,k_0}\left(p \, , \tilde{t} \right) &\equiv &\frac{2}{N_L} \sin\left(\frac{p \pi k }{N_L}\right)\sin\left(\frac{p \pi k_0 }{N_L}\right) e^{- i \tilde{t} \cos\left(\frac{p \pi}{N_L } \right) } \nonumber ~,
\end{eqnarray}

\noindent où nous avons défini $\tilde{t}=2 J t/\hbar $ (que l'on peut assimiler à une variable temporelle que l'on aurait adimensionnée). Dans toute la suite du manuscrit, les différentes grandeurs physiques observées, telles que les polarisations individuelles ou totales moyennes et les fidélités de polarisation, seront toujours tracées en fonction de $\tilde{t}$. En dépit de la simplification exponentielle du problème (la dynamique ne se déroulant non pas dans l'espace de Hilbert total de dimension $2^{N_L}$, mais uniquement dans un sous-espace de ce dernier de dimension $N_L-1$), les $(N_L-1)^2$ éléments matriciels du propagateur $\hat{U}^{(L)}(\tilde{t})$ contiennent toujours chacun une somme de ${\cal O}(N_L)$ termes (cf. l'équation (\ref{eq:Linear-chain-Propagator})). Nous montrons dans les sections suivantes qu'une approximation très précise de $\hat{U}^{(L)}(\tilde{t})$ peut être obtenue ne faisant intervenir qu'un nombre très restreint de termes de cette somme (le nombre augmentant avec le domaine temporel pour lequel on souhaite étudier la dynamique).



\newpage 

\subsubsection{Représentation de $\hat{U}^{(L)}(\tilde{t})$ en terme de fonctions de Bessel }
\label{sec:HL-Représentation-de-UL-en-terme-de-fonctions-de-Bessel}


Nous pouvons remarquer dans un premier temps que  $F^{(L)}_{k,k_{0}}(p \, , \tilde{t})=F^{(L)}_{k,k_{0}}(-p \, ,\tilde{t} )$, et que  $%
F^{(L)}_{k,k_{0}}(0\, ,\tilde{t})=F^{(L)}_{k,k_{0}}(N_L\, ,\tilde{t})=0$. Ces propriétés nous permettent de doubler le domaine de sommation qui apparaît dans l'expression du propagateur $\hat{U}^{(L)}(\tilde{t})$ de l'équation (\ref{eq:Linear-chain-Propagator}) et d'utiliser la formule de sommation de Poisson, obtenant
\begin{eqnarray}
U^{(L)}_{k,k_{0}}(\tilde{t}) &=&\frac{1}{2}\sum_{p\, =-N_L}^{N_L-1}F^{(L)}_{k,k_{0}}(p\, ,\tilde{t}) \nonumber \\
&=&\frac{1}{2}\sum_{m \, = -\infty }^{\infty }\int_{-N_L-\frac{1}{2}
}^{N_L-\frac{1}{2}}e^{ 2 i \pi m p}F^{(L)}_{k,k_{0}}(p\, ,\tilde{t})~dp ~.
\end{eqnarray}

En utilisant que $F^{(L)}_{k,k_{0}}(p\, ,\tilde{t})=F^{(L)}_{k,k_{0}}(2N_L+p\, ,\tilde{t})$, i.e.~que tous les éléments de matrice ont une  $2 N_L$ périodicité en $p$, et que les intégrales sont donc sur une période de l'intégrande, il nous est possible de décaler le domaine d'intégration comme nous le souhaitons. En utilisant que la fonction de Bessel est définie par 
$$
J_k(\tilde{t})=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} e^{-i(k p - \tilde{t}\sin(p))}dp ~,
$$
et en posant $x=p \pi/N_L$, nous arrivons à une expression des éléments matriciels du propagateur en terme de fonctions de Bessel, à savoir

\begin{eqnarray*}
U^{(L)}_{k,k_{0}}(\tilde{t})&=&\frac{1}{2}\sum_{m=-\infty }^{\infty }\int_{0}^{2 N_L}e^{2 i \pi
m p}F^{(L)}_{k,k_{0}}(p\, ,\tilde{t}) ~ dp   \\
&=&-\frac{1}{4\pi }\sum_{m=-\infty }^{\infty }\int_{0}^{2\pi}e^{2 i N_L m x- i\tilde{t} \cos x}\left[ e^{i\left( k+k_{0}\right) x}+e^{-i\left(k+k_{0}\right) x}\right]dx  \\
&\,& + \frac{1}{4\pi }\sum_{m=-\infty }^{\infty }\int_{0}^{2\pi}e^{2 i N_L m x- i  \tilde{t}\cos x}\left[ e^{i\left( k-k_{0}\right) x}+e^{-i\left( k-k_{0}\right) x}\right] dx   \\
&=&-\frac{1}{2}\sum_{m=-\infty }^{\infty } \left( -i\right)
^{k+k_{0}+2 N_L m}J_{k+k_{0}+2 N _L m}\left(\tilde{t}\right)   \\
&\,& -\frac{1}{2}\sum_{m=-\infty }^{\infty }\left( -i\right) ^{-\left( k+k_{0}+2 N_L m\right)
}J_{-\left( k+k_{0}+2 N_L m\right) }\left(\tilde{t}\right)    \\
&\,& + \frac{1}{2}\sum_{m=-\infty }^{\infty }\left( -i\right) ^{k-k_{0}+2 N_L m}J_{k-k_{0}+2 N_L m} \left(\tilde{t}\right)   \\
&\,& +\frac{1}{2}\sum_{m=-\infty }^{\infty }\left( -i\right)
^{-\left( k-k_{0}+2 N_L m\right) }J_{-\left( k-k_{0}+2 N_L m\right) }\left(\tilde{t}\right)  .  \\
\end{eqnarray*}

Si nous utilisons l'égalité $J_{-k}(\tilde{t})=\left( -1\right) ^{k}J_{k}\left( \tilde{t}\right) $, nous pouvons simplifier ce résultat, et obtenons
\begin{eqnarray}
U^{(L)}_{k,k_{0}}(\tilde{t})&=&\left( -i\right) ^{k-k_{0}}\sum_{m=-\infty }^{\infty }\left(
-1\right) ^{N_L m} J_{k-k_{0}+2 N_L m}\left(\tilde{t}\right)  \nonumber \\
&\,& - \left( -i\right) ^{k-k_{0}}\sum_{m=-\infty }^{\infty }\left( -1\right)^{k_{0}+ N_L m}J_{k+k_{0}+2 N_L m}\left( \tilde{t}\right).
\end{eqnarray}
Dans le cas particulier où $k_{0}=1$ (i.e.~le système démarre dans l'état $\ket{\Lambda_1}$), et en utilisant l'identité $J_{k-1}(\tilde{t})+J_{k+1}(\tilde{t})=2\left( 
k/\tilde{t}\right) J_{k}(\tilde{t})$, nous obtenons pour tout $k\in[1,N_L-1]$
\begin{eqnarray}
\label{eq:Linear-chain-Propagator-in-terms-of-Bessel-functions}
U^{(L)}_{k,1}(\tilde{t})=\frac{2\left( -i\right) ^{k-1}}{\tilde{t}}\sum_{m=-\infty }^{\infty
}\left( -1\right) ^{N_L m}\left( k+2 N_L m\right) J_{k+ 2 N_L m}(\tilde{t})~.
\end{eqnarray}
 
L'équation (\ref{eq:Linear-chain-Propagator-in-terms-of-Bessel-functions})
satisfait la condition initiale
$U^{(L)}_{k,1}(0)=\delta_{k,1}$. Pour des temps inférieurs ou égaux à $N_L$ (une unique propagation de gauche à droite), et en utilisant que $ \left|J_k\left(\tilde{t}\right)\right| \ll 1$ lorsque
$k \gg \left|\tilde{t}\right|$ et $k\gg 1$, $U_{k,1}^{(L)}(\tilde{t})$ peut être approximé par le terme $m=0$, i.e.
\begin{eqnarray}
\label{eq:Linear-chain-Propagator-in-terms-of-Bessel-functions-one-term}
U^{(L)}_{k,1}(\tilde{t}) \simeq \frac{2\left( -i\right) ^{k-1}}{\tilde{t}}k J_{k}(\tilde{t}).
\end{eqnarray} 
La figure \ref{fig:Chaîne-linéaire-Comparaison-Exact-Bessel-Une-fonction}, montre un exemple de la dépendance temporelle de $U^{(L)}_{k,1}(\tilde{t})$ pour
$N_L=20$ et $k=5$. Des désaccords visibles (de l'ordre de $5\%$) entre le propagateur exact (obtenu numériquement à partir de l'équation (\ref{eq:Linear-chain-Propagator})) et son approximation par une unique fonction de Bessel (équation (\ref{eq:Linear-chain-Propagator-in-terms-of-Bessel-functions-one-term})) n'apparaissent qu'à partir de $\tilde{t} \gtrsim 27$.

\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=8cm]{Chaîne-linéaire-Comparaison-Exact-Bessel-Une-fonction.eps}
\caption{Approximation par une unique fonction de Bessel ($m=0$ dans l'équation (\ref{eq:Linear-chain-Propagator-in-terms-of-Bessel-functions}), courbe rouge pointillée) de $U^{(L)}_{k,1}(\tilde{t})$ (équation (\ref{eq:Linear-chain-Propagator}), courbe bleue continue) pour $k=5, N_L=20$. }
\label{fig:Chaîne-linéaire-Comparaison-Exact-Bessel-Une-fonction}
\end{figure}
Chaque terme additionnel dans l'équation (\ref{eq:Linear-chain-Propagator-in-terms-of-Bessel-functions}) augmente la largeur du domaine où l'approximation est valide de $N_L$ (si on considère $k$ termes dans la somme de l'équation (\ref{eq:Linear-chain-Propagator-in-terms-of-Bessel-functions}), l'approximation est valide pour $\tilde{t}\apprle k N_L$). Par exemple, toujours avec $N_L=20$ et $k=5$, si l'on considère deux fonctions de Bessel supplémentaires (termes $m=\pm 1$), nous n'observons cette fois de déviations par rapport au propagateur exact qu'à partir de $\tilde{t}\gtrsim 65$ comme nous pouvons le constater sur la figure \ref{fig:Chaîne-linéaire-Comparaison-Exact-Bessel-Deux-fonctions}.

\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=8cm]{Chaîne-linéaire-Comparaison-Exact-Bessel-Deux-fonctions.eps} 
\caption{Approximation avec trois fonctions de Bessel ($m=-1,0,1$ dans l'équation (\ref{eq:Linear-chain-Propagator-in-terms-of-Bessel-functions}), courbe rouge pointillée) de $U^{(L)}_{k,1}(\tilde{t})$ (équation (\ref{eq:Linear-chain-Propagator}), courbe bleue continue) pour $k=5, N_L=20$.}
\label{fig:Chaîne-linéaire-Comparaison-Exact-Bessel-Deux-fonctions}
\end{figure}


Physiquement, ces termes ($m=\pm 1, \pm 2, \ldots$, dans l'équation (\ref{eq:Linear-chain-Propagator-in-terms-of-Bessel-functions})) correspondent à des fronts de spins réfléchis par les frontières droite et gauche de la chaîne. Nous comprenons donc pourquoi pour des temps pour lesquels les fronts de spins n'ont pas le temps d'atteindre ces frontières, ces termes ne sont pas nécessaires à la description de la dynamique.

 





















\subsection{Approximation semi-classique du propagateur : l'approximation WKB}
\label{sec:HL-Propagateur-semiclassique-Approximation-WKB}

Afin de pouvoir obtenir une expression analytique de la polarisation totale moyenne (pour des temps suffisamment faibles pour que le front de spins n'atteigne pas la fin de la chaîne, i.e. pour $\tilde{t} \lesssim N_L$), une autre simplification de l'équation (\ref{eq:Linear-chain-Propagator-in-terms-of-Bessel-functions-one-term})  s'impose. A partir de \cite{Abramowitz-Stegun-1970} (terme principal de la formule 9.3.15), nous obtenons une approximation de la fonction de Bessel (que nous qualifions d'approximation WKB), donnée par l'équation (\ref{eq:Bessel-WKB})


\begin{eqnarray}
\label{eq:Bessel-WKB}
J_k^{WKB}(\tilde{t}) &=&\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{1}{\sqrt[4]{\tilde{t}^2-k^2}}\cos\left(\phi_k(\tilde{t})\right) \mbox{ : } k<\tilde{t}  \label{JWKB}\\
\phi_k(\tilde{t})&=& k\arccos \left(\frac{k}{\tilde{t}}\right)-\sqrt{\tilde{t}^2-k^2}+\frac{\pi}{4}~.\nonumber
\end{eqnarray}



Ce nom d'approximation WKB (pour Wentzel-Kramers-Brillouin) est motivé par le fait que la fonction de Bessel est approximée par une somme de deux fonctions exponentielles dont l'amplitude et la phase varient lentement, de façon analogue avec la méthode bien connue de l'approximation WKB (une autre approximation de $U_{k,1}^{(L)}(\tilde{t})$ peut également être obtenue en considérant une  solution semi-classique à l'équation de Schrödinger, i.e.~en calculant un propagateur de Van Vleck, résultat  présenté dans la section \ref{seq:Circular-chain-Van-Vleck-Approach} pour des chaînes circulaires). L'approximation WKB présente cependant le défaut de s'effondrer au voisinage du point tournant (qui correspond ici à $k=\tilde{t}$). Dans la figure \ref{fig:Compafig:Comparaison-Bessel-exact-WKB} nous pouvons constater que l'approximation WKB de la fonction de Bessel $J_k(100)$, tracée comme fonction de $k$ (courbe rouge pointillée), ne coïncide avec la fonction exacte (courbe bleue continue) que jusqu'à une certaine valeur $k_m=\tilde{t}-\Delta$ pour ensuite diverger au voisinage de $k=\tilde{t}=100$.


\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=8cm]{Comparaison-Bessel-Exact-WKB.eps} 
\caption{Comparaison de la fonction de Bessel exacte (courbe bleue continue) avec son approximation WKB (courbe rouge pointillée) issue de l'équation (\ref{JWKB}).}
\label{fig:Compafig:Comparaison-Bessel-exact-WKB}
\end{figure}


Pour $k>\tilde{t}$,
$\phi_k(\tilde{t})$ devient complexe et l'équation (\ref{JWKB}) doit être remplacée par une fonction décroissant exponentiellement. Une nouvelle approximation de la fonction de Bessel est donc nécessaire si nous souhaitons faire le lien entre les deux régimes, et nous utilisons qu'au voisinage du point tournant, les fonctions de Bessel peuvent être approximées  par une fonction de Airy (\cite{Abramowitz-Stegun-1970}: équation 9.3.23) suivant
\begin{eqnarray}
J_k(\tilde{t}) \approx \left(\frac{2}{\tilde{t}}\right)^{\frac{1}{3}}Ai(z), ~ z = \left(\frac{2}{\tilde{t}}\right)^{\frac{1}{3}} (k-\tilde{t}) ~.
\end{eqnarray}

Cette nouvelle approximation nous permet de déterminer précisément le domaine pour lequel l'approximation WKB est valide, et celui pour lequel elle ne l'est pas. Comme nous pouvons le voir sur la figure \ref{fig:Compafig:Comparaison-Bessel-exact-WKB}, la fonction de Bessel exacte et son approximation WKB coïncident pratiquement jusqu'au dernier maximum de $J_k(\tilde{t})$. Après cela, l'approximation WKB tend vers l'infini comme $(\tilde{t}-k)^{-\frac{1}{4}}$ alors que  $J_k(\tilde{t})$ tend vers $0$. La valeur maximale $k_m$ pour laquelle l'approximation WKB est valide est par conséquent donnée par la position du dernier maximum de la fonction de Airy $Ai(z)$, lequel a lieu pour $z_m=1.01879$ (et donc pour $k_m\approx 96.25$ dans le cas de $J_k(100)$). La largeur de la \textit{mauvaise} région où l'approximation WKB n'est pas valable, est donc donnée par $\Delta(\tilde{t}) =
\tilde{t}-k_m=(\tilde{t}/2)^{\frac{1}{3}}~z_m \approx 0.8~\tilde{t}^{\frac{1}{3}}$, qui croît avec le temps mais lentement comparé à $\tilde{t}$.

















\subsection{Comportement des polarisations individuelles moyennes}
\label{sec:HL-Polarisations-individuelles-moyennes}

Avant de s'intéresser à la polarisation totale moyenne de la chaîne, il est intéressant d'observer le comportement des polarisations individuelles moyennes de chaque spin. La polarisation individuelle du spin $S_k$ est définie par l'action de l'opérateur $\hat{Z}_k$ sur les états $\ket{\Lambda_m}$, à savoir
\begin{eqnarray}
&~&p_k^m = 
\bra{\Lambda_m} \hat{Z}_k \ket{\Lambda_m} = 
\left\{
\begin{array}{ccc}
1 & \mbox{si} & k > m \\
-1 & \mbox{si} & k \leq m
\end{array} 
\right.\\
&~&\ket{\Lambda_m}=\ket{\color{red}\downarrow_1\ldots\downarrow_m\color{black}\uparrow_{m+1}\ldots\uparrow_{N_L}}\nonumber~.
\end{eqnarray}

Si notre système est initialement dans l'état $\ket{\Lambda_1}=\ket{\Lambda_1(0)}$, à l'instant $\tilde{t}$ ce dernier a évolué dans l'état $\ket{\Lambda_1(\tilde{t})}=\sum_{m=1}^{N_L-1} c_m^{(L)}(\tilde{t}) \ket{\Lambda_m}=\sum_{m=1}^{N_L-1} U^{(L)}_{m,1}(\tilde{t}) \ket{\Lambda_m}$ (étant donné que  $c_m^{(L)}(\tilde{t})= \sum_{l=1}^{N_L-1} U^{(L)}_{m,l}(\tilde{t})c_l^{(L)}(0)$ et $c_l^{(L)}(0)=\delta_{l,1}$). Finalement nous obtenons la dépendance temporelle des polarisations individuelles moyennes donnée par 
\begin{eqnarray}
\label{eq:HL-Polarisations-individuelles-moyennes}
\left\langle p_k(\tilde{t}) \right\rangle &=& \bra{\Lambda_1(\tilde{t})} \hat{Z}_k \ket{\Lambda_1(\tilde{t})}\\ \nonumber
&=& \sum_{m=1}^{N_L-1} \left| U^{(L)}_{m,1}(\tilde{t})\right|^2 \bra{\Lambda_m}\hat{Z}_k\ket{\Lambda_m} \\ \nonumber
&=&\sum_{m=1}^{N_L-1} \left| U^{(L)}_{m,1}(\tilde{t})\right|^2 p_k^m ~.
\end{eqnarray}

Sur la figure \ref{fig:HL-Polarisations-Individuelles-01}, nous pouvons observer l'évolution temporelle des polarisations individuelles moyennes pour une chaîne de $N_L=20$ spins. Nous constatons que la dynamique observée est bien celle d'un front de spins se propageant du début de la chaîne vers la fin de cette dernière, contribuant ainsi à amplifier sur l'ensemble de la chaîne l'état du spin initial et réalisant donc par là l'amplification de spin souhaitée.

\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=7cm]{HL-Polarisation-individuelle-Pk-w1t-0.eps} 
\includegraphics[width=7cm]{HL-Polarisation-individuelle-Pk-w1t-10.eps} 
\includegraphics[width=7cm]{HL-Polarisation-individuelle-Pk-w1t-20.eps}
\includegraphics[width=7cm]{HL-Polarisation-individuelle-Pk-w1t-21_9.eps} 
\caption{Evolution temporelle des polarisations individuelles moyennes pour une chaîne de $N_L=20$ spins, pour $\tilde{t}=0, 10, 20$ et $21.9$ où le changement de la polarisation totale est maximal.}
\label{fig:HL-Polarisations-Individuelles-01}
\end{figure}













\subsection{Comportement linéaire de la polarisation totale moyenne}
\label{sec:Linear_Mean_Polarization}

Nous nous intéressons maintenant à la polarisation non plus d'un spin individuel mais de la chaîne prise dans son ensemble. L'observation temporelle de la polarisation totale moyenne a pour intérêt particulier de nous montrer la vitesse avec laquelle se propage la polarisation du spin $S_1$ sur l'ensemble de la chaîne. L'opérateur de polarisation totale est défini par $\hat{P}^{(L)}  =  \sum_{k=1}^{N_L} \hat{Z}_k $. Avec un système initialement dans l'état $\ket{\Lambda_1}$, et en utilisant que $\bra{\Lambda_m} \hat{P}^{(L)} \ket{\Lambda_m} = N_L-2m $ (puisque $\ket{\Lambda_m}$ possède $m$ spins down et $N_L-m$ spins up), nous obtenons alors une polarisation totale moyenne dont la dépendance temporelle est donnée par
\begin{eqnarray}
\label{eq:Linear-chain-Exact-polarization}
\langle P^{(L)}\left(\tilde{t}\right)\rangle 
&=& \bra{\Lambda_1(\tilde{t})} \hat{P}^{(L)} \ket{\Lambda_1(\tilde{t})} \\ \nonumber 
&=& \sum_{m=1}^{N_L-1} \bra{\Lambda_m}\hat{P}^{(L)}\ket{\Lambda_m}  \left| U^{(L)}_{m,1}(\tilde{t})\right|^2 \\ \nonumber
&=&\sum_{m=1}^{N_L-1}\left(N_L-2m\right)\left|U_{m,1}^{(L)}(\tilde{t})\right|^2 ~.
\end{eqnarray}

Afin d'obtenir une approximation de l'expression 
(\ref{eq:Linear-chain-Exact-polarization}), nous utilisons les résultats obtenus précédemment (équations (\ref{eq:Linear-chain-Propagator-in-terms-of-Bessel-functions-one-term})
 et (\ref{eq:Bessel-WKB})) pour obtenir une approximation WKB du propagateur et donc de $\langle P^{(L)}\left(\tilde{t}\right)\rangle$. Ce faisant, nous devons faire attention de n'utiliser cette dernière que dans son domaine de validité (i.e. pour $m\apprle \tilde{t}-\Delta(\tilde{t})$). En définissant $[x]$ comme la partie entière de $x$, nous obtenons alors l'équation (\ref{eq:Linear-chain-WKB-Polarization-01})

\begin{eqnarray}
\label{eq:Linear-chain-WKB-Polarization-01}
\left \langle P_{WKB}^{(L)}(\tilde{t}) \right \rangle  &=& \sum_{m<\tilde{t}} (N_L-2m) \left|U^{(L)}_{m,1}(\tilde{t}) \right|^2 \nonumber \\
 &=& \sum_{m=1}^{[\tilde{t}-\Delta(\tilde{t})]} (N_L-2m) \left|U^{(L)}_{m,1}(\tilde{t}) \right|^2 \nonumber \\
&& + \sum_{m=[\tilde{t}-\Delta(\tilde{t})]+1}^{[\tilde{t}]} (N_L-2m) \left|U^{(L)}_{m,1}(\tilde{t}) \right|^2 \nonumber \\
&=& \frac{8}{\pi \tilde{t}^2}\sum_{m=1}^{[\tilde{t}-\Delta(\tilde{t})]} (N_L-2m)\frac{m^2  }{\sqrt{\tilde{t}^2-m^2}} \frac{1+\cos(2 \phi_m(\tilde{t}))}{2} \nonumber \\
&& + \sum_{m=[\tilde{t}-\Delta(\tilde{t})]+1}^{[\tilde{t}]} (N_L-2m) \left|U^{(L)}_{m,1}(\tilde{t}) \right|^2
\end{eqnarray}

En utilisant que dans l'intervalle où l'approximation WKB est valide les termes de la somme de (\ref{eq:Linear-chain-WKB-Polarization-01}) sont des fonctions lisses de $m$, et que la somme peut dès lors être approximée par une intégrale, nous obtenons la réécriture suivante 

\begin{eqnarray}
\label{eq:Linear-chain-WKB-Polarization-02}
\left \langle P_{WKB}^{(L)}(\tilde{t}) \right \rangle&\simeq& \frac{4}{\pi \tilde{t}^2}   \int_{0}^{\tilde{t}}  (N_L-2m)\frac{m^2}{\sqrt{\tilde{t}^2-m^2}} dm \nonumber\\
&& - \frac{4}{\pi \tilde{t}^2}   \int_{\tilde{t}-\Delta(\tilde{t})}^{\tilde{t}}  (N_L-2m)\frac{m^2}{\sqrt{\tilde{t}^2-m^2}} dm \nonumber \\
&& + \frac{4}{\pi \tilde{t}^2}\sum_{m=1}^{[\tilde{t}-\Delta(\tilde{t})]} (N_L-2m)\frac{m^2 }{\sqrt{\tilde{t}^2-m^2}} \cos(2\phi_m(\tilde{t})) \nonumber \\
&& + \sum_{m=[\tilde{t}-\Delta(\tilde{t})]+1}^{[\tilde{t}]}(N_L-2m)\left|U^{(L)}_{m,1}(\tilde{t}) \right|^2 ~.
\end{eqnarray}

La première intégrale dans (\ref{eq:Linear-chain-WKB-Polarization-02}) est proportionnelle à  $\tilde{t}$ et vaut  $N_L -\frac{16 \tilde{t} }{3\pi}$. La seconde intégrale est de l'ordre $ \sqrt{\tilde{t} \Delta(\tilde{t})}\approx
\tilde{t}^{2/3}$  (rappelons que $\Delta(\tilde{t}) \propto \tilde{t}^{1/3}$), qui est petit comparé à $\tilde{t}$ dès que $\tilde{t}$ est suffisamment important. La somme contenant  $\cos\left(2 \phi_m(\tilde{t})\right)$ contient beaucoup de termes de signes opposés qui s'annulent mutuellement et nous pouvons donc la négliger. Enfin, la dernière somme peut être majorée par le nombre de termes $\Delta(\tilde{t})$ fois la valeur maximale des termes de la somme
$(N_L-2\tilde{t}) \left[ 2 \left(\frac{2}{\tilde{t}}\right)^{1/3} Ai(z_m)\right]^2
\propto t^{1/3}$. Le résultat est à nouveau $ \propto \tilde{t}^{2/3}$ et peut à nouveau être négligé relativement à $\tilde{t}$ quand $\tilde{t}$ est suffisamment important. L'erreur relative qui est faite si l'on néglige les trois derniers termes de l'équation  (\ref{eq:Linear-chain-WKB-Polarization-02}) décroît alors comme $\tilde{t}^{-1/3}$, pour $\tilde{t}$ suffisamment large (ce qui est le cas si l'on considère des chaînes arbitrairement longues), et finalement nous obtenons l'approximation suivante
\begin{eqnarray}
\label{eq:Linear-chain-WKB-Polarization-Linear-term}
\left \langle P_{WKB}^{(L)}(\tilde{t})\right \rangle \simeq N_L -\frac{16 \tilde{t} }{3\pi} ~.
\end{eqnarray}
 Alors que cette approximation pourrait sembler grossière, elle montre un très bon accord avec le résultat exact (pour des temps suffisamment importants pour que $\tilde{t}^{1/3} \ll \tilde{t}^{2/3} \ll \tilde{t}$, mais  suffisamment faibles pour ne pas permettre pas au front de spins d'atteindre la fin de la chaîne). E.g., pour $N_L = 50$ et $\tilde{t}=40$, la représentation de Bessel (qui est exacte ici) donne $\left\langle P^{(L)}(\tilde{t})\right\rangle=-17.922$ tandis que le résultat WKB donne  $\left \langle P_{WKB}^{(L)}(\tilde{t})\right \rangle \approx N_L-\frac{16}{3\pi}\tilde{t}\approx -17.9601$, i.e.~reproduit le résultat de Bessel à $3$ chiffres significatifs prêts. Dans la figure \ref{fig:Comparaison-Polarisation-Exacte-Approximation-WKB-Terme-linéaire}, nous comparons la polarisation totale moyenne exacte (issue de l'équation
(\ref{eq:Linear-chain-Exact-polarization})) avec son approximation semi-classique (issue de l'équation (\ref{eq:Linear-chain-WKB-Polarization-Linear-term})) pour une chaîne de $50$ spins. De l'équation (\ref{eq:Linear-chain-WKB-Polarization-Linear-term}) nous dérivons pour des temps $\tilde{t} \apprle N_L$ la vitesse de spin-flip : $ \left| v^{(L)}\right|  = \frac{16}{3 \pi}\approx 1.70$. 
\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=5cm]{Comparaison-Polarisation-Exacte-Approximation-WKB-Terme-linéaire.eps}
\caption{Comparaison entre les polarisations totales moyennes : résultat exact (équation (\ref{eq:Linear-chain-Exact-polarization}), courbe bleue continue) et terme linéaire de l'approximation WKB (équation(\ref{eq:Linear-chain-WKB-Polarization-Linear-term}), courbe rouge pointillée), pour $N_L=50$.}
\label{fig:Comparaison-Polarisation-Exacte-Approximation-WKB-Terme-linéaire}
\end{figure}





















\newpage

\section{Chaînes circulaires}
\label{sec:Chaines-circulaires}

Nous nous penchons maintenant sur le cas des chaînes circulaires, et nous interrogeons sur les différentes façons qu'il existe de les obtenir à partir d'une chaîne linéaire, en implémentant des conditions particulières de fermeture. Une chaîne linéaire de $N_L$ spins peut être fermée de plusieurs façons en une chaîne circulaire :

\begin{enumerate}
\item Par identification des spins $S_{N_L + 1}$ et $S_1$ : dans ce système, seuls les spins $S_2$ à $S_{N_L}$ sont susceptibles de flipper, le spin $S_1$ restant dans l'état down (cf. équation (\ref{eq:Circular-chain-Hamiltonian-Closing-by-Spin-Identification})),
\item Par identification de $S_{N_L + 1}$ et $S_1$, et introduction d'un terme additionnel autorisant $S_1$ à flipper également : dans ce système, tous les spins peuvent flipper  (cf. équation (\ref{eq:Circular-hamiltonian-Closing-by-adding-a-coupling})), 
\item Par introduction d'un couplage particulier entre les premiers et les derniers spins de la chaîne linéaire : deux tels exemples sont développés dans les sections 
  \ref{seq:Chaîne-circulaire-HC3} (cf. équation (\ref{eq:Circular-chain-Closed-by-particular-coupling-Hamiltonian}))
et  \ref{sec:HC4} (cf. équation (\ref{eq:HC4-Hamiltonien})).
\end{enumerate}

Dans tous les systèmes étudiés par la suite, $S_1$ désigne le spin à partir duquel tous les autres sont numérotés (en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre). De plus lorsque nous parlons de chaînes circulaires, nous noterons $N_C$ le nombre de spins.

\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=15cm]{Chaînes-circulaires.eps} 
\caption{Fermeture de la chaîne linéaire (correspondant à $\hat{H}^{(L)}$) en des chaînes circulaires (correspondant de gauche à droite à $\hat{H}^{(C)}_1$,$\hat{H}^{(C)}_2$ et $\hat{H}^{(C)}_3$).}
\label{fig:Chaînes-circulaires}
\end{figure}









\newpage


\subsection{$\hat{H}^{(C)}_1$ : Fermeture par identification de $S_{N_L+1}$ et $S_1$}


\label{seq:Circular-Chain-Closing-by-Spin-identification}
La façon la plus simple de fermer une chaîne linéaire en une chaîne circulaire consiste à identifier $S_{N_L+1}$ avec $S_1$ (obtenant ainsi une chaîne circulaire de $N_C=N_L$ spins). Cela impose des conditions aux frontières équivalentes sur la fonction d'onde solution de l'équation de Schrödinger mais également implique l'apparition d'un terme supplémentaire par rapport à l'hamiltonien de la chaîne linéaire (puisque nous autorisons $S_{N_C}$ à flipper en fonction des états de $S_{N_C-1}$ et de $S_{N_C+1}=S_1$). Nous devons donc ajouter le terme $k=N_C$ à l'hamiltonien $\hat{H}^{(L)}$, i.e.
\begin{eqnarray}
\label{eq:Circular-chain-Hamiltonian-Closing-by-Spin-Identification}
\hat{H}_1^{(C)} = \frac{J}{2}\sum_{k=2}^{N_C}\hat{X}_k \left( \hat{1}_{k-1}  \hat{1}_{k+1} - \hat{Z}_{k-1} \hat{Z}_{k+1}\right).\label{H1c}
\end{eqnarray}

Il est à noter que $S_1$ ne peut toujours pas flipper puisque aucun terme ne contient $\hat{X}_1$ (dans la section \ref{seq:Circular-chain-Closing-by-adding-a-coupling} nous considérons la situation d'une symétrie de rotation implémentée au niveau de l'hamiltonien où l'introduction d'un terme de flip additionnel permet également à $S_1$ de flipper). 

\subsubsection{Étude de la dynamique et couplages entre états}

Si nous initialisons le système dans l'état $\left|\Gamma_{1,1}\right\rangle = \left| \color{red}\downarrow_1 \color{black}\uparrow_2 \ldots
\uparrow_{N_C} \right\rangle $, la dynamique se retrouve restreinte 
à l'intérieur d'un sous-espace comportant $N_C(N_C-1)/2$ états de base $\left|
\Gamma_{k,l}\right \rangle $ ($k \in [1, N_C-1]$ et $l \leq k$), où les $\left| \Gamma_{k,l} \right\rangle $ sont les états définis dans la section \ref{sec:Base-des-Gamma-kl}.

Nous ordonnons les états $\left|\Gamma_{k,l}\right\rangle$ dans l'ordre lexicographique : $
\left|\Gamma_{1,1}\right\rangle=\ket{\tilde{\Gamma}_1}$, $\left|\Gamma_{2,1}\right\rangle=\ket{\tilde{\Gamma}_2}$ ,
$\left|\Gamma_{2,2}\right\rangle=\ket{\tilde{\Gamma}_3}$ ,  $\left|\Gamma_{3,1}\right\rangle =\ket{\tilde{\Gamma}_4}$, etc., 
i.e.~nous introduisons un indice unique $L(k,l)=k(k-1)/2 + l$.
Les états $\ket{\tilde{\Gamma}_L}$, $L\in[1,N_C(N_C-1)/2]$, peuvent être arrangés sous la forme d'un triangle (voir figure \ref{fig:HC1-Triangle-des-états} pour une chaîne circulaire de $N_C=5$ spins) dont les liens traduisent les états reliés les uns aux autres par la dynamique.

\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=8cm]{HC1-Triangle-des-états.eps} 
\caption{Couplages des états  $\ket{\Gamma_{k,l}}$ pour $N_C=5$.}
\label{fig:HC1-Triangle-des-états}
\end{figure}




\newpage

\noindent $\hat{H}_1^{(C)}$ couple un état $\ket{\tilde{\Gamma}_{L}}$ à au plus 4 voisins dans le triangle : celui au dessus, celui au dessus et à gauche, celui en dessous, celui en dessous et à droite. Selon la région du triangle, ces 4 états n'existent pas forcément. De façon générale nous obtenons pour une chaîne circulaire de $N_C$ spins (et donc une base de $N_C(N_C-1)/2$ états) les couplages suivants :\\

\begin{itemize}
\item l'état $\ket{\tilde{\Gamma}_1}$ situé en haut du triangle est couplé aux états $\ket{\tilde{\Gamma}_2}$ et $\ket{\tilde{\Gamma}_3}$
\item l'état dans le coin en bas à gauche $\ket{\tilde{\Gamma}_{(N_C-1)(N_C-2)/2+1}}$ est couplé à l'état $ \ket{\tilde{\Gamma}_{(N_C-2)(N_C-3)/2+1}}$
\item l'état en bas à droite $\ket{\tilde{\Gamma}_{N_C(N_C-1)/2}}$ est couplé à l'état $\ket{\tilde{\Gamma}_{(N_C-1)(N_C-2)/2}}$
\item les états $\ket{\tilde{\Gamma}_{L}}$ situés sur la frontière gauche,  avec $L=k(k-1)/2+1$ et $k\in\left[2, N_C-2\right]$,  sont couplés
aux états $\ket{\tilde{\Gamma}_{L-k+1}}$, $\ket{\tilde{\Gamma}_{L+k}}$,  $\ket{\tilde{\Gamma}_{L+k+1}}$
\item les états $\ket{\tilde{\Gamma}_L}$ situés sur la frontière droite, avec $L=k(k-1)/2+k$ et $k\in\left[2, N_C-2\right]$, sont couplés  
aux états  $\ket{\tilde{\Gamma}_{L-k}}$,  $\ket{\tilde{\Gamma}_{L+k}}$,  $\ket{\tilde{\Gamma}_{L+k+1}}$
\item les états $\ket{\tilde{\Gamma}_L}$ situés sur la base du triangle, avec $L=(N_C-1)(N_C-2)/2+ l$ et $l=\left[ 2,N_C-2\right]$,
sont couplés aux états $\ket{\tilde{\Gamma}_{L-N_C+1}}$, $\ket{\tilde{\Gamma}_{L-N_C+2}}$  
\item les états $\ket{\tilde{\Gamma}_L}$ situés strictement à l'intérieur du triangle, avec $L=k(k-1)/2+ l$, $k\in\left[3, N_C-2\right]$ et $ 1 <l <k$, sont couplés
aux états $\ket{\tilde{\Gamma}_{L-k}}$, $\ket{\tilde{\Gamma}_{L-k+1}}$,$\ket{\tilde{\Gamma}_{L+k}}$, $\ket{\tilde{\Gamma}_{L+k+1}}$
\end{itemize}


\subsubsection{Étude de la structure matricielle}


\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=9cm]{HC1-Représentation-matricielle-en-escalier.eps} 
\caption{Représentation matricielle de $\hat{H}^{(C)}_1$ pour $N_C=5$ et disposition des éléments non-nuls suivant des structures en escaliers.}
\label{fig:HC1-Hamiltonien-et-escaliers}
\end{figure}

Dans la base des $\ket{\tilde{\Gamma}_L}$ nous obtenons une représentation matricielle de $\hat{H}_1^{(C)}$ dont les termes non-nuls se disposent selon une structure en escaliers. Par exemple pour $N_C = 5$ (correspondant à $10$ états de base), nous obtenons la représentation matricielle de la figure \ref{fig:HC1-Hamiltonien-et-escaliers}. La structure générale de la matrice d'un système de $N_C$ spins peut être facilement dérivée. Tout d'abord la matrice est réelle et symétrique, et il est donc suffisant de décrire comment se construit la partie triangulaire supérieure $(\tilde{H}_1^{(C)})_{L,L'}$ avec $L'>L$. Pour remplir cette partie de la matrice nous devons savoir pour un état de la base, à quels états situés en dessous de lui dans le triangle des états il est connecté. Chacun des états (de la première ligne à l'avant-dernière ligne du triangle) n'est connecté qu'à deux états consécutifs situés en dessous de lui dans le triangle (l'état directement en dessous et celui en dessous et à droite), et par conséquent chaque ligne du triangle supérieur droit de $\tilde{H}_1^{(C)}$ ne comporte que deux états consécutifs non nuls. Ensuite, chaque ligne $k$ du triangle des états comporte $k$ éléments, et pour deux états consécutifs $\ket{\tilde{\Gamma}_L}$ et  $\ket{\tilde{\Gamma}_{L+1}}$, il existe un unique élément couplé à la fois aux deux états, ce qui explique que l'on observe des structures en escaliers à $k$ marches. De plus, comme le triangle des états ne comporte que  $N_C-1$ lignes et que chaque ligne à l'exception de la dernière donne un escalier, il y a en tout $N_C-2$ escaliers (à $1$, $2$, $3$, $\ldots$ marches). Enfin, d'une structure en escaliers à la suivante, il y a un décalage d'une ligne et d'une colonne, étant donné que le dernier élément d'une ligne n'est pas connecté au premier élément de la ligne suivante.

Une remarque est nécessaire concernant la structure globale de la distribution des éléments non-nuls de $\tilde{H}^{(L)}$. Considérons pour chaque structure en escaliers le premier élément, i.e.~$(\tilde{H}_1^{(C)})_{1,2}$,
$(\tilde{H}_1^{(C)})_{2,4}$, $(\tilde{H}_1^{(C)})_{4,7}$, etc.~Les coordonnées matricielles (ligne, colonne) de ces éléments sont données par l'index $L$ des éléments de la frontière gauche du triangle des états $X_k = \frac{k(k-1)}{2}+1$ et des élément situés en-dessous de ces derniers $Y_k =\frac{k(k+1)}{2}+1$. Si nous traçons les points  $(X_k,Y_k)$ dans un plan, nous obtenons une droite dont la pente $\frac{Y_{k+1}-Y_k}{X_{k+1}-X_k} = 1+\frac{1}{k}$ converge pour  $k \rightarrow \infty$ vers $1$. Cela signifie que pour  $N_C \gg 1$, la représentation matricielle de $\hat{H}_1^{(C)}$ est très proche d'une matrice comportant 4 diagonales d'éléments non nuls parallèles à la diagonale principale, même si une courbure demeure pour ces 4 diagonales pour tout $k$ fini (dans la section suivante où nous étudions une autre façon de fermer la chaîne linéaire, nous observons pour la représentation matricielle de $\hat{H}^{(C)}_2$ dans la base de la dynamique des diagonales parfaitement droites et parallèles à la diagonale principale).


\subsubsection{Expression des éléments matriciels du propagateur}

Ne disposant pas d'une méthode analytique évidente permettant de diagonaliser $\hat{H}_1^{(C)}$, nous diagonalisons ce dernier par des méthodes numériques, et dérivons le propagateur en utilisant que ce dernier s'exprime par
\begin{eqnarray}
\label{eq:UC1}
U^{(C1)}_{L,L_0}(\tilde{t}) = \sum_{p=1}^{N_C(N_C-1)/2}e^{-i \tilde{t}\lambda_p^{(C1)}}\braket{\tilde{\Gamma}_L}{\psi_p^{(C1)}}\braket{\psi_p^{(C1)}}{\tilde{\Gamma}_{L_0}}~, 
\end{eqnarray} 
 
\noindent avec  $\lambda_m^{(C1)}$ et $\ket{\psi_m^{(C1)}}$ les valeurs propres et  vecteurs propres de $\hat{H}^{(C)}_1/2J$ trouvés numériquement (en posant toujours $\tilde{t}=2 J t/\hbar$).











\subsection{$\hat{H}^{(C)}_2$ : Chaîne circulaire complètement périodique}
\label{seq:Circular-chain-Closing-by-adding-a-coupling}

Une autre façon de fermer le système est d'imposer des conditions aux frontières périodiques $S_{N_C+k} = S_k$, $k \in \left[1,N_C\right]$. Cela nécessite entre autres que $S_1$ puisse flipper comme tous les autres spins, et que soit donc ajouté un terme de flip supplémentaire $\hat{X}_1$ contrôlé par 
$S_{N_C}$ et $S_2$. L'hamiltonien de ce système devient alors
 
\begin{eqnarray}
\label{eq:Circular-hamiltonian-Closing-by-adding-a-coupling}
\hat{H}_2^{(C)} &=& \frac{J}{2}\sum_{k=1}^{N_C} \hat{X}_k \left( \hat{1}_{k-1} \hat{1}_{k+1} - \hat{Z}_{k-1} \hat{Z}_{k+1}\right) ~ .
\end{eqnarray}

En autorisant $S_1$ à flipper la dynamique accède à toute une base d'états supplémentaires (par rapport à ceux caractérisant la dynamique de $\hat{H}^{(C)}_1$). Plus exactement, la nouvelle dynamique visite l'ensemble des états comportant $k$ spins down consécutifs ($k \in \left[1,N_C-1\right]$), où pour chaque $k$ nous avons la liberté de choisir le point de départ de la séquence des spins down parmi les $N_C$ spins, ce qui a pour conséquence de porter la dimension de la partie accessible de l'espace de Hilbert à $N_C( N_C-1)$ états, c'est à dire à la base complète  
des états $\ket{\Gamma_{k,l}}$  de la section \ref{sec:Base-des-Gamma-kl}.


\subsubsection{Couplages entre les états de la dynamique}
\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=9cm]{HC2-Couplages-entre-états-Structures-polygonales.eps} 
\caption{Couplages entre les états $\ket{\widehat{\Gamma}_L}$, $L\in[1,N_C(N_C-1)]$ pour $N_C=5$.}
\label{fig:HC2-Couplages-entre-états-Structures-polygonales}
\end{figure}

Il est intéressant de noter que les couplages entre les états de base peuvent être obtenus en arrangeant les états sur les sommets de $(N_C-1)$ polygones à  $N_C$ côtés imbriqués comme l'on peut l'observer sur la figure \ref{fig:HC2-Couplages-entre-états-Structures-polygonales} pour $N_C=5$.
Sur cette figure  une ligne pleine représente le couplage entre deux états. Nous numérotons les états selon l'ordre lexicographique, i.e.~$\ket{\Gamma_{1,1}} = \ket{\widehat{\Gamma}_1}$, $\ket{\Gamma_{1,2}} = \ket{\widehat{\Gamma}_2}$,$\ldots$,  $\ket{\Gamma_{1,5}} = \ket{\widehat{\Gamma}_5}$, $\ket{\Gamma_{2,1}} = \ket{\widehat{\Gamma}_6}$, etc.~Les états sont disposés sur les polygones de la façon suivante : en partant de l'état situé sur le sommet supérieur du polygone le plus extérieur, on parcourt chaque sommet du polygone. Puis l'on se déplace sur le polygone suivant, situé plus à l'intérieur, en se déplaçant sur son premier sommet situé au centre du dernier lien parcouru sur le précédent polygone, et ainsi de suite. 




\subsubsection{Étude de la structure matricielle}

En utilisant la numérotation lexicographique précédente, nous obtenons une représentation matricielle de $\hat{H}_2^{(C)}$ dans la base des $\ket{\widehat{\Gamma}_L}$, $L\in[1,N_C(N_C-1)]$ qui dévoile une structure très simple. Par exemple pour  $N_C=5$ nous obtenons la représentation matricielle de la figure \ref{fig:HC2-Représentation-matricielle-NC-5}.

\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=9cm]{HC2-Représentation-matricielle-NC-5.eps} 
\caption{Représentation matricielle de $\hat{H}^{(C)}_{2}$ dans la base des $\ket{\widehat{\Gamma}_L}$, $L\in[1,N_C(N_C-1)]$, pour $N_C=5$.}
\label{fig:HC2-Représentation-matricielle-NC-5}
\end{figure}



La structure générale correspondant à un système de $N_C$ spins peut à nouveau être dérivée aisément. De la même façon que pour $\tilde{H}^{(C)}_1$, la matrice étant réelle et symétrique, il est suffisant de considérer le triangle supérieur droit $(\tilde{H}_2^{(C)})_{L,L'}$  avec $L'>L$, i.e. pour un état $\ket{\widehat{\Gamma}_L}$, nous nous intéressons uniquement aux couplages qu'il possède avec des états situés sur des polygones plus intérieurs que celui sur lequel il se trouve. Chaque état (à l'exception de ceux situés sur le polygone le plus intérieur) n'étant couplé qu'à deux états, nous n'observons que 2 éléments par ligne. Ensuite, les $N_C-1$ premiers états d'un polygone étant connectés à des états du polygone plus intérieur qui se suivent dans l'ordre lexicographique (par exemple, pour $N_C=5$, $\ket{\widehat{\Gamma}_1}$ est connecté à $\ket{\widehat{\Gamma}_6}$ et $\ket{\widehat{\Gamma}_7}$, $\ket{\widehat{\Gamma}_2}$ à $\ket{\widehat{\Gamma}_7}$ et $\ket{\widehat{\Gamma}_8}$, $\ket{\widehat{\Gamma}_3}$ à $\ket{\widehat{\Gamma}_8}$ et $\ket{\widehat{\Gamma}_9}$, $\ket{\widehat{\Gamma}_4}$ à $\ket{\widehat{\Gamma}_9}$ et $\ket{\widehat{\Gamma}_{10}}$), nous observons des structures en escaliers comportant $N_C-1$ marches. Enfin, le dernier élément de chaque polygone étant couplé au premier et au dernier état du polygone plus intérieur (par exemple $\ket{\widehat{\Gamma}_5}$ est connecté à $\ket{\widehat{\Gamma}_6}$ et $\ket{\widehat{\Gamma}_{10}}$), cela explique la présence des termes encadrés en rouge $ (\tilde{H}_2^{(C)})_{k N_C,k N_C + 1}$ et $ (\tilde{H}_2^{(C)})_{k N_C, (k+1)N_C}$ avec
$k\in\left[1, N_C-2\right]$.


\subsubsection{Lien entre les états de $\hat{H}^{(C)}_1$ et de $\hat{H}^{(C)}_2$}

Il est intéressant de noter la correspondance entre les états de la dynamique de $\hat{H}^{(C)}_1$ (les $\ket{\tilde{\Gamma}_L}$, pour $L\in[1,N_C(N_C-1)/2]$) et ceux de la dynamique de $\hat{H}^{(C)}_2$ (les 
$\ket{\widehat{\Gamma}_L}$, pour $L\in[1,N_C(N_C-1)]$). Si nous regardons la figure \ref{fig:HC2-Couplages-Lien-avec-HC1}, nous nous rendons compte que les états $\ket{\widehat{\Gamma}_L}$ se divisent en deux parties (ceux entourés en rouge, et ceux entourés en bleu) d'états symétriques (au sens où tous les spins sont inversés, par exemple $\ket{\widehat{\Gamma}_1}$ et $\ket{\widehat{\Gamma}_{20}}$,  $\ket{\widehat{\Gamma}_{12}}$ et $\ket{\widehat{\Gamma}_{9}}$, etc.). Les états $\ket{\widehat{\Gamma}_L}$ encadrés en rouge correspondent aux états rencontrés dans la dynamique de $\hat{H}^{(C)}_1$ (par exemple $\ket{\tilde{\Gamma}_1}=\ket{\widehat{\Gamma}_1}$, $\ket{\tilde{\Gamma}_2}=\ket{\widehat{\Gamma}_6}$, $\ket{\tilde{\Gamma}_3}=\ket{\widehat{\Gamma}_7}$, etc.), et ceux encadrés en bleu, aux états symétriques de ces derniers.




\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=7cm]{HC2-Couplages-Lien-avec-HC1.eps}
\caption{Couplages entre les états $\ket{\widehat{\Gamma}_{L}}$, $L\in[1,N_C(N_C-1)]$, pour $N_C=5$. Les états entourés en rouge sont les symétriques des états entourés en bleu.}
\label{fig:HC2-Couplages-Lien-avec-HC1}
\end{figure}

\subsubsection{Expression des éléments matriciels du propagateur}


De façon identique à $\hat{H}^{(C)}_1$,
ne disposant toujours pas d'une méthode analytique évidente permettant de diagonaliser $\hat{H}_2^{(C)}$, nous diagonalisons ce dernier par des méthodes numériques et dérivons les éléments matriciels du propagateur $\hat{U}^{(C2)}(\tilde{t})$ en utilisant que
\begin{eqnarray}
\label{eq:UC2}
U^{(C2)}_{L,L_0}(\tilde{t}) = \sum_{p=1}^{N_C(N_C-1)}e^{-i \tilde{t}\lambda_p^{(C2)}}\braket{\widehat{\Gamma}_L}{\psi_p^{(C2)}}\braket{\psi_p^{(C2)}}{\widehat{\Gamma}_{L_0}}~,
\end{eqnarray} 
\noindent avec  $\lambda_m^{(C2)}$ et $\ket{\psi_m^{(C2)}}$ les valeurs propres et  vecteurs propres de $\hat{H}^{(C)}_2/2J$ trouvés numériquement.


\subsubsection{Motivation de l'étude de $\hat{H}^{(C)}_3$}

Le fait que les deux façons les plus intuitives de fermer une chaîne linéaire en une chaîne circulaire conduisent à des sous-espaces effectifs de l'espace de Hilbert de dimension $\mathcal {O}(N_C^2)$ au lieu de $\mathcal{O}(N_L)$ est particulièrement intéressant et sera exploré plus en détail dans les sections suivantes. Dans le même temps, on se demande naturellement s'il n'existe pas des façons de fermer la chaîne linéaire qui conduisent à une dynamique possédant une base effective d'états propres de dimension $\mathcal{O}(N_C)$. Dans les sections \ref{seq:Chaîne-circulaire-HC3} et \ref{sec:HC4}, nous étudions deux tels systèmes. 







\subsection{$\hat{H}^{(C)}_3$ : Fermeture par un couplage particulier entre $S_{N_C-1}$, $S_{N_C}$, $S_1$, $S_2$}
\label{seq:Chaîne-circulaire-HC3}


Dans cette section nous montrons qu'il existe une façon de fermer la chaîne linéaire pour laquelle le système évolue dans un sous-espace de Hilbert dont la dimension croît linéairement avec la taille du système. Nous considérons un système avec les mêmes interactions entre plus proches voisins que  $\hat{H}_2^{(C)}$ pour les spins $S_2$ à  
$S_{N_C-1}$, et possédant un couplage additionnel entre les spins $S_{N_C-1}$, $S_{N_C}$, $S_1$ et $S_2$ qui induit l'action suivante : si les spins $S_{N_C-1}$ et  $S_2$ sont identiques, alors les spins $S_{N_C}$ et $S_1$ sont flippés, sinon rien ne se passe. L'hamiltonien d'un tel système s'écrit
\begin{eqnarray}
\label{eq:Circular-chain-Closed-by-particular-coupling-Hamiltonian}
\hat{H}_3^{(C)} &=& \frac{J}{2}\sum_{k=2}^{N_C-1} \hat{X}_k \left( \hat{1}_{k-1}  \hat{1}_{k+1} - \hat{Z}_{k-1} \hat{Z}_{k+1}\right) \nonumber \\
&&+ \frac{J}{2} \hat{X}_{N_C}\hat{X}_1 \left(\hat{1}_{N_C-1} \hat{1}_2 + \hat{Z}_{N_C-1}\hat{Z}_2\right)~ .
\end{eqnarray}


\subsubsection{Étude de la dynamique}

Notons $\left| \overline{\Lambda_k} \right \rangle= 
\left|\uparrow_1\ldots\uparrow_k \color{red}\downarrow_{k+1} \ldots \downarrow_{N_C}\color{black}
\right\rangle  $ avec $ k
\in\left[1 \, , N_C-1\right] $ les états miroirs des  états $\left| \Lambda_k\right\rangle$ (dans le sens où tous les spins sont inversés). Si nous supposons à nouveau notre système  initialisé dans l'état $\ket{ \Lambda_1} = \ket{\color{red}\downarrow_1\color{black} \uparrow_2 \ldots \uparrow_{N_C}}$, ce dernier évolue vers les états $\ket{\Lambda_2}   =
\ket{\color{red}\downarrow_1 \downarrow_2 \color{black}\uparrow_3 \ldots \uparrow_{N_C}}$ et $\ket{\overline{\Lambda}_{N_C-1}}= \ket{\uparrow_1
\uparrow_2\ldots\uparrow_{N_C-1} \color{red}\downarrow_{N_C}\color{black}}$. Ensuite, de façon générale, pour $ k \in \left[ 2\, , N_C - 2\right]$, $\ket{\Lambda_k}$
est couplé à   $\ket{ \Lambda_{k-1}}$ et $\ket{\Lambda_{k+1} }$, et $\ket{\overline{\Lambda_k}}$ est couplé à 
$\ket{\overline{\Lambda_{k-1}}}$ et
$\ket{\overline{\Lambda_{k+1}}}$. Enfin l'état $\ket{\Lambda_{N_C-1}}$ est couplé à l'état $\ket{\Lambda_{N_C-2}}$ et à l'état $\ket{\overline{\Lambda_{1}}}$. La dynamique se déroule donc dans la base fermée des $2(N_C-1)$ états $\ket{\Lambda_k}$ et $\ket{\overline{\Lambda_k}}$. Afin de mieux appréhender la dynamique de ce système, nous observons cette dernière dans la figure \ref{fig:HC3-Couplages-entre-états} pour une chaîne de $N_C=5$ spins.

\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=7cm]{HC3-Couplages-entre-états.eps} 
\caption{Couplages entre les états$\ket{\Lambda_k}$ et  $\ket{\overline{\Lambda_k}}$ pour $N_C=5$. }
\label{fig:HC3-Couplages-entre-états}
\end{figure}





Il est important de remarquer une différence fondamentale avec la dynamique des systèmes précédemment étudiés ($\hat{H}^{(C)}_1$ et $\hat{H}^{(C)}_2$), à savoir que cette fois ci l'état avec tous les spins up et l'état avec tous les spins down ne sont pas des états propres de $\hat{H}_3^{(C)}$, ce qui a une conséquence sur l'amplification de spin qui sera discutée dans la section \ref{seq:Comparison-between-Linear-chain-Circular-Chains}. Si nous numérotons à présent les états dans l'ordre lexicographique (en ordonnant les $\ket{\overline{\Lambda}_k}$ après les $\ket{\Lambda_k}$, i.e. $\ket{\Lambda_1}=\ket{\tilde{\Lambda}_1},\ldots,\ket{\Lambda_{N_C-1}}=\ket{\tilde{\Lambda}_{N_C-1}},
\ldots,\ket{\overline{\Lambda}_1}=\ket{\tilde{\Lambda}_{N_C}},\ldots,\ket{\overline{\Lambda}_{N_C-1}}=\ket{\tilde{\Lambda}_{2(N_C-1)}}$,
la représentation matricielle de  $\hat{H}_3^{(C)}$ dans la base des $\ket{\tilde{\Lambda}_k}$ présente une forme très similaire à celle de $\hat{H}^{(L)}$ dans la base des $\ket{\Lambda_k}$ (si l'on s'arrange pour que les bases soient de même taille, i.e. $N_L-1=2(N_C-1)$). Nous en donnons un exemple dans la figure \ref{fig:HC3-Représentation-matricielle-NC-5} pour $N_C=5$ (à comparer avec la représentation matricielle de $\hat{H}^{(L)}$ de la figure \ref{fig:HL-Représentation-matricielle-NL-9} pour $N_L=9$).


\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=7cm]{HC3-Représentation-matricielle-NC-5.eps} 
\caption{Représentation matricielle de $\hat{H}^{(C)}_3$ dans la base des $\ket{\tilde{\Lambda}_k}$, $k
\in \left[1,2(N_C-1)\right]$, pour $N_C=5$.}
\label{fig:HC3-Représentation-matricielle-NC-5}
\end{figure}



\subsubsection{Vecteurs propres et valeurs propres de $\hat{H}^{(C)}_3$}


\noindent De façon générale pour une chaîne de $N_C$ spins, les valeurs propres et vecteurs propres de $\hat{H}^{(C)}_3$ sont donnés pour $p \in \left[1,2(N_C-1)\right]$ par  
\begin{eqnarray}
\label{eq:HC3_Eigensystem}
&&\lambda_p^{(C3)} = 2J\cos(\frac{p \, \pi}{N_C-1}) \nonumber \\
&&\left|\psi_p^{(C3)}\right\rangle =\frac{1}{ \sqrt{2(N_C-1)}}\sum_{k=1}^{2(N_C-1)}e^{i\frac{p \pi k }{N_C-1}}\ket{\tilde{\Lambda}_k} ~.
\end{eqnarray}
Finalement nous obtenons l'expression des éléments matriciels du propagateur quantique dans la base des $\ket{\tilde{\Lambda}_k}$
\begin{eqnarray}
U_{k,k_0}^{(C3)}\left(t\right) &=&\langle \tilde{\Lambda}_k |
e^{-i \hat{H}_3^{(C)} t/\hbar}|  \tilde{\Lambda}_{k_{0}}\rangle \nonumber \\
&=&\sum_{p=1}^{2(N_C-1)}\langle  \tilde{\Lambda}_k|\psi^{(C3)}
_{p}\rangle e^{-i t\lambda _{p}^{(C3)}/\hbar}\langle \psi^{(C3)}_{p}|
\tilde{\Lambda}_{k_{0}}\rangle  \nonumber \\
&=&\sum_{p=1}^{2(N_C-1)}F^{(C3)}_{k,k_{0}}(p \, , \tilde{t}) ~, 
\nonumber
\end{eqnarray}
avec $F^{(C3)}_{k,k_{0}}(p \, , \tilde{t}) \equiv \frac{1}{2(N_C-1)} e^{i \frac{p \pi (k-k_0)}{N_C-1}}e^{-i \tilde{t} \cos \frac{p \pi}{N_C-1}}$ et toujours $\tilde{t}=2Jt/\hbar$.



\subsubsection{Représentation de $\hat{U}^{(C)}_3(\tilde{t})$ en terme de fonctions de Bessel}



En utilisant que $ F^{(C3)}_{k,k_{0}}(p \ + 2(N_C-1) \, , \tilde{t})  =F^{(C3)}_{k,k_{0}}(p \, , \tilde{t})$, nous pouvons utiliser à nouveau la formule de sommation de Poisson 
\begin{eqnarray}
U_{k,k_0}^{(C3)}\left(\tilde{t}\right) &=&\sum_{m=-\infty}^{\infty} \int_0^{2(N_C-1)} e^{2 i \pi m p} F^{(C3)}_{k,k_{0}}(p \, , \tilde{t})\,dp\nonumber \\
&=&\sum_{m=-\infty}^{\infty}(-i)^{k-k_0+2m(N_C-1)}J_{k-k_0+2m(N_C-1)}(\tilde{t}) ~,
\end{eqnarray}

\noindent et dans le cas particulier où le système commence dans l'état $\ket{\tilde{\Lambda}_1}$ nous obtenons
\begin{eqnarray}
\label{eq:Circular-chain-H3-Propagator-in-terms-of-Bessel-functions}
U_{k,1}^{(C3)}\left(\tilde{t}\right) &=& (-i)^{k-1} \sum_{m=-\infty}^{\infty}(-1)^{m (N_C-1)}J_{k-1+2 m (N_C-1)}\left(\tilde{t}\right) .
\end{eqnarray}






\subsubsection{Approximation semi-classique du propagateur : l'approximation WKB}

La fonction de Bessel s'évanouissant exponentiellement rapidement lorsque son index est grand devant son argument, si nous décidons d'étudier la dynamique sur une fenêtre temporelle donnée, la somme infinie
(\ref{eq:Circular-chain-H3-Propagator-in-terms-of-Bessel-functions}) se réduit dès lors aux seuls termes qui demeurent non négligeables. En particulier, si $\tilde{t}<N_C-1$, seul le terme $m=0$ survit  pour $k\in[1,N_C-1]$ (propagation d'un front de spins vers la droite couplant les états $\ket{\Lambda_k}$), et seul le terme $m=-1$ survit pour  $k\in [N_C,2(N_C-1)]$  (propagation d'un front de spins vers la gauche couplant les états $\ket{\overline{\Lambda_k}}$). Nous obtenons dès lors les simplifications suivantes
\begin{eqnarray}
&~&U_{k,1}^{(C3)}(\tilde{t})\approx (-i)^{k-1}J_{k-1}(\tilde{t})\mbox{, }\,\,\,k\in[1,N_C-1]\nonumber\\
&~&U_{k,1}^{(C3)}(\tilde{t})\approx (-1)^{N_C-1}(i)^{k-1}J_{2N_C-k-1}(\tilde{t})\mbox{, }\,\,\,k\in[N_C,2(N_C-1]\,.\nonumber
\end{eqnarray}
Si $k \gg 1$ (respectivement $2N_C-k-1 \gg 1$) ces fonctions de Bessel peuvent être alors remplacées par leurs approximations WKB (cf. équation (\ref{eq:Bessel-WKB})), de façon équivalente à ce qui a été fait dans le cas de la chaîne linéaire.







\subsubsection{Approche alternative : propagateur de Van Vleck}
\label{seq:Circular-chain-Van-Vleck-Approach}

Avant de s'intéresser au phénomène d'amplification de spin (au travers de l'étude de la polarisation totale moyenne) nous présentons une approche différente et davantage physique, qui permet de dériver la même approximation semi-classique du propagateur quantique pour $k\in \left[1,N_C-1 \right]$ et $k-1<\tilde{t}$. Dans cette approche nous cherchons à dériver l'hamiltonien classique associé à $\hat{H}^{(C)}_3$. L'action de $\hat{H}^{(C)}_3$ sur un état de base, donné par $\hat{H}_3^{(C)} \ket{ \tilde{\Lambda}_k} = J \left( \ket{\tilde{\Lambda}_{k-1}} +\ket{ \tilde{\Lambda}_{k+1} }\right)$, peut être récrite en terme d'opérateurs de décalage en faisant passer la variable d'index $k$ d'une variable discrète à une variable continue, i.e.~

\begin{eqnarray*}
\hat{H}^{(C)}_3 \ket{\tilde{\Lambda}(k)} &=&J \left( \ket{ \tilde{\Lambda}(k-1) }+\ket{\tilde{\Lambda}(k+1)}\right) \\
&=& J \left( e^{-\partial/ \partial_k} \ket{\tilde{\Lambda}(k)}+e^{\partial/ \partial_k}\ket{\tilde{\Lambda}(k)}\right)~.
\end{eqnarray*}

Le fait de passer à une variable continue est raisonnable dans la limite des chaînes très longues qui peuvent être considérées comme la limite classique. Si nous notons $\phi = -i \hbar ~\partial/ \partial_k$ le moment canoniquement conjugué à la coordonnée $k$, nous pouvons écrire  $H_3^{Cl} \ket{\tilde{\Lambda}(k)} = J \left( e^{-i\phi/\hbar} +e^{i \phi/\hbar} \right) \ket{\tilde{\Lambda}(k)}  = 2J\cos(\tilde{\phi})\ket{\tilde{\Lambda}(k)} $, où nous avons défini $\tilde{\phi}\equiv\phi/\hbar$. Dans la limite classique nous obtenons donc l'hamiltonien classique correspondant $H_3^{Cl} = 2J\cos(\tilde{\phi})$. 
$H_3^{Cl}$ ne dépendant pas de $k$, le moment est une intégrale du mouvement reliée à l'énergie classique du système par $E = cte = 2J \cos(\tilde{\phi}) $. La trajectoire du mouvement suit alors l'équation canonique $\dot{k}(t)=\frac{\partial H_3^{Cl}}{\partial \phi}=-\frac{2J}{\hbar}\sin(\tilde{\phi})$, et nous obtenons finalement que $k(\tilde{t}) = k_0-\tilde{t}\sin(\tilde{\phi})$ avec $\tilde{t}=2Jt/\hbar$. Nous trouvons dès lors deux chemins classiques
\begin{eqnarray*}
\tilde{\phi}_1(k,k_0,\tilde{t})&=&-\arcsin(\frac{k-k_0}{\tilde{t}})\\
\tilde{\phi}_2(k,k_0,\tilde{t})&=&\pi+\arcsin(\frac{k-k_0}{\tilde{t}})~,
\end{eqnarray*}
\noindent dont les énergies classiques associées, en définissant $\tilde{E}(k,k_0,\tilde{t})\equiv E(k,k_0,\tilde{t})/2J$, sont 
\begin{eqnarray*}
\tilde{E}_1(k,k_0,\tilde{t}) &=& \cos(\tilde{\phi}_1(k,k_0,\tilde{t}))=\sqrt{1 -
  \left(\frac{k-k_0}{\tilde{t}}\right)^2}\\
\tilde{E}_2(k,k_0,\tilde{t}) &=& \cos(\tilde{\phi}_2(k,k_0,\tilde{t}))=-\sqrt{1 -
  \left(\frac{k-k_0}{\tilde{t}}\right)^2}~.
\end{eqnarray*}
 

\noindent L'action classique étant  définie par $
S(k,k_0,t) = \int_{k_0}^{k} \phi(\tilde{k},k_0,t) d \tilde{k} - E(k,k_0,t)t $, si nous définissons $\tilde{S}(k,k_0,\tilde{t})\equiv S(k,k_0,\tilde{t})/\hbar$, nous obtenons les actions classiques associées aux deux chemins classiques $\tilde{\phi}_1$ et $\tilde{\phi}_2$, à savoir
\begin{eqnarray*}
\tilde{S}_1(k,k_0,\tilde{t})&=&
-(k-k_0)\arcsin(\frac{k-k_0}{\tilde{t}})-\sqrt{\tilde{t}^2-(k-k_0)^2}\\
\tilde{S}_2(k,k_0,\tilde{t})&=& (k-k_0)(\pi +
\arcsin(\frac{k-k_0}{\tilde{t}}))+\sqrt{\tilde{t}^2-(k-k_0)^2}~.
\end{eqnarray*}

\noindent Le propagateur semi-classique de Van Vleck est obtenu en sommant sur tous les chemins classiques, i.e.~
\begin{eqnarray}
U^{VV}_{k,k_0}(\tilde{t}) = \sum_{\alpha} \sqrt{\frac{1}{2i\pi}\left|\frac{\partial^2 \tilde{S}_{\alpha}(k,k_0,\tilde{t})}{\partial k \partial k_0}\right|}\exp(i\left(\tilde{S}_{\alpha}(k,k_0,\tilde{t}) - \nu_{\alpha}\frac{\pi}{2}\right)) ~,
\end{eqnarray}  
où $ \nu_{\alpha}$ est l'index de Morse pour le chemin classique $\alpha$. Pour le cas des temps faibles que l'on considère, nous avons seulement deux chemins classiques avec $ \nu_1 = -1$ et $\nu_2=0$ et nous obtenons alors
\begin{eqnarray}
\label{eq:Circular-chain-Van-Vleck-Propagator}
&&U^{VV}_{k,k_0}(\tilde{t}) = U^{VV,(1)}_{k,k_0}(\tilde{t})+U^{VV,(2)}_{k,k_0}(\tilde{t})\\ \nonumber
&&U^{VV,(1)}_{k,k_0}(\tilde{t})=\sqrt{\frac{i}{2\pi\sqrt{\tilde{t}^2-(k-k_0)^2}}}
\exp(-i X)\\ \nonumber
&&U^{VV,(2)}_{k,k_0}(\tilde{t})=\sqrt{\frac{1}{2 i \pi\sqrt{\tilde{t}^2-(k-k_0)^2}}}
(-1)^{k-k_0} \exp(i X) \nonumber
\end{eqnarray} 
où  $X= (k-k_0)\arcsin(\frac{k-k_0}{\tilde{t}})+\sqrt{\tilde{t}^2-(k-k_0)^2}$. On peut facilement vérifier que l'expression (\ref{eq:Circular-chain-Van-Vleck-Propagator}) avec $k_0=1$ est parfaitement identique à l'approximation WKB de  $U^{(C3)}_{k,1}(\tilde{t}) = (-i)^{k-1} J_{k-1}(\tilde{t})  $
avec $J^{WKB}_{k-1}(\tilde{t})$ donné par l'équation (\ref{eq:Bessel-WKB}). 







\subsubsection{Comportement linéaire de la polarisation totale moyenne}
\label{sec:Circular-chain-Mean-polarization} 


L'opérateur de polarisation totale gardant la même expression que dans le cas de la chaîne linéaire, i.e.  $\hat{P}^{(C)}
= \sum_{k=1}^{N_C} \hat{Z}_k$, et utilisant que $\langle \tilde{\Lambda}_k | \hat{P}^{(C)} | \tilde{\Lambda}_k \rangle =
(N_C-2k)$ pour  $k \in [1,N_C-1]$ et  $\langle\tilde{\Lambda}_k|\hat{P}^{(C)} |  \tilde{\Lambda}_k \rangle=
-(3N_C-2k-2)$ pour $k \in [N_C,2(N_C-1)]$,  si nous plaçons le système initialement dans l'état $\ket{\tilde{\Lambda}_1}$ nous obtenons l'expression de la polarisation totale moyenne en fonction du temps donnée par 
\begin{eqnarray}
\label{eq:Circular-chain-Basis-ONC-Exact-Propagator}
\langle P^{(C3)}(\tilde{t})\rangle &=& \sum_{k=1}^{N_C-1}\left(N_C-2k\right)\left|U_{k,1}^{(C3)}(\tilde{t})\right|^2 \nonumber \\
&-& \sum_{k=N_C}^{2(N_C-1)}\left(3N_C-2k-2\right)\left|U_{k,1}^{(C3)}(\tilde{t})\right|^2~.
\end{eqnarray}
Comme précédemment, l'approximation WKB de la polarisation totale moyenne est obtenue en remplaçant le propagateur exact dans l'équation (\ref{eq:Circular-chain-Basis-ONC-Exact-Propagator}) par son approximation WKB $U_{k,1}^{WKB}(\tilde{t})^{(C3)}$, i.e.

\begin{eqnarray}
\label{eq:PC3-Calcul}
\langle P^{(C3)}_{WKB}(\tilde{t})  \rangle
&=& \sum_{k<\tilde{t}+1} (N_C-2k)\left| U^{WKB}_{k,1}(\tilde{t})^{(C3)}\right|^2 \\ \nonumber
&-&  \sum_{k>2(N_C-1) - \tilde{t}+1} (3N_C-2k-2)\left| U^{WKB}_{k,1}(\tilde{t})^{(C3)}\right|^2\\ \nonumber
&=&\sum_{k<\tilde{t}+1} (N_C-2k)\left| J^{WKB}_{k-1}(\tilde{t})\right|^2 \\ \nonumber
&-&  \sum_{k>2(N_C-1) - \tilde{t}+1} (3N_C-2k-2)\left| J^{WKB}_{2(N_C-1)-k+1}(\tilde{t})\right|^2\\ \nonumber
&=&\sum_{k<\tilde{t}+1} (N_C-2k)\frac{2}{\pi}\frac{\cos^2\left(\phi(k+1,\tilde{t})\right)}{\sqrt{\tilde{t}^2-(k-1)^2}} \\ \nonumber
&-&  \sum_{k>2(N_C-1) - \tilde{t}+1} (3N_C-2k-2) \frac{2}{\pi }\frac{\cos^2\left(\phi(2(N_C-1)-k+1,\tilde{t})\right)}{\sqrt{\tilde{t}^2-\left(2(N_C-1)-k+1\right)^2}} ~.
\end{eqnarray}
En négligeant dans la limite $N_C \gg 1$ les termes qui peuvent l'être au voisinage du point tournant (cf. la discussion sur l'estimation des termes négligés dans l'expression de la polarisation totale moyenne dans le cas de la chaîne linéaire de la section \ref{sec:Linear_Mean_Polarization}), nous obtenons que le terme dominant est égal à 
$$(N_C-1)-\frac{4}{\pi}\int_{0}^{\tilde{t}} \frac{m}{\sqrt{\tilde{t}^2-m^2}}=(N_C-1)-\frac{4}{\pi}\tilde{t}$$
et finalement nous parvenons à l'approximation
\begin{eqnarray}
\label{eq:Circular-chain-WKB-polarization-Linear-term}
\left \langle P_{WKB}^{(C3)}(\tilde{t}) \right \rangle  \simeq (N_C-1) -\frac{4}{\pi}\tilde{t}~.
\end{eqnarray}
Rappelons que dans le cas de $\langle P^{(L)}(\tilde{t}) \rangle$, le terme dominant était 
$$N_L-\frac{4}{\pi \tilde{t}^2}\int_{0}^{\tilde{t}} \frac{2 m^3}{\sqrt{\tilde{t}^2-m^2}}=N_L-\frac{16}{3\pi}\tilde{t}~.$$

\noindent De l'équation (\ref{eq:Circular-chain-WKB-polarization-Linear-term}) nous déduisons la vitesse de spin-flip $\left| v^{(C3)}\right| =
\frac{4}{\pi}\approx 1.27$, laquelle est inférieure de $25\%$ à celle obtenue dans le cas de la chaîne linéaire $\left| v^{(L)}\right| = \frac{16}{3\pi} \approx 1.7$. Un simple couplage différent en fin de chaîne peut donc modifier de façon importante et macroscopique la dynamique de la chaîne toute entière, même dans la limite de chaînes arbitrairement longues. Dans la section 
\ref{seq:Comparison-between-Linear-chain-Circular-Chains} nous examinons les différences entre les dynamiques de $\hat{H}^{(L)}$, $\hat{H}^{(C)}_1$, $\hat{H}^{(C)}_2$ et $\hat{H}^{(C)}_3$, et en recherchons l'origine physique. Cependant, avant de réaliser cette étude, nous présentons un dernier modèle de chaîne circulaire qui a la particularité d'autoriser une dynamique identique à celle de la chaîne linéaire malgré les différences de topologie qui existent entre les deux systèmes.








\subsection{$\hat{H}^{(C)}_4$ : Existence d'une chaîne circulaire dynamiquement équivalente à une chaîne linéaire}
\label{sec:HC4}

Considérons la situation où les spins $S_2$ à
$S_{N_C-2}$ sont couplés avec les mêmes interactions entre plus proches voisins que 
$\hat{H}^{(L)}$, mais où l'on a le couplage suivant entre les spins $S_{N_C-2}$, $S_{N_C-1}$, $S_{N_C}$ et $S_1$ : si les spins  $S_{N_C-2}$ et $S_1$ sont identiques et différents de $S_{N_C}$, alors le spin $S_{N_C-1}$ est flippé, sinon, rien ne se passe. L'hamiltonien d'un tel système est donné par
\begin{eqnarray}
\label{eq:HC4-Hamiltonien}
\hat{H}^{(C)}_4&=&\frac{J}{2}\sum_{k=2}^{N_C-2} \hat{X}_k \left(\hat{1}_{k-1} \hat{1}_{k+1}- \hat{Z}_{k-1} \hat{Z}_{k+1}\right) \\ \nonumber
&+& \frac{J}{4}
\hat{X}_{N_C-1}\left(\hat{1}_{N_C-2} \hat{1}_1+\hat{Z}_{N_C-2} \hat{Z}_1\right)\left(\hat{1}_{N_C}
  \hat{1}_1-\hat{Z}_{N_C} \hat{Z}_1\right)\,.
\end{eqnarray}

Nous pouvons vérifier que dans l'espace de Hilbert total engendré par les $2^{N_C}=2^{N_L}$ vecteurs de la base computationnelle les représentations matricielles de $\hat{H}^{(L)}$ et $\hat{H}^{(C)}_4$ diffèrent (cf. figure \ref{fig:HL-HC4-Comparaison-représentations-matricielles-dans-la-base-computationnelle-NC-NL-4}). Néanmoins, si l'on démarre dans l'état $\ket{\Lambda_1}$, les parties de l'espace de Hilbert visitées par les deux dynamiques sont identiques. Nous nous retrouvons donc dans la situation intéressante où la différence de topologie entre les deux chaînes ne se manifeste que dans un sous-espace de l'espace de Hilbert total, tandis que dans le sous-espace qui est pertinent en ce qui concerne l'amplification de spin, les représentations matricielles de $\hat{H}^{(L)}$ et de $\hat{H}^{(C)}_4$ dans la base des états visités sont identiques.

\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[height=5cm]{HL-Représentation-matricielle-Base-Computationnelle-NL-4.eps}
\includegraphics[height=5cm]{HC4-Représentation-matricielle-Base-Computationnelle-NC-4.eps}
\caption{Comparaison entre les représentations matricielles de $\hat{H}^{(L)}$ et $\hat{H}^{(C)}_4$ dans la base computationnelle (les termes différents sont encadrés en rouge).}
\label{fig:HL-HC4-Comparaison-représentations-matricielles-dans-la-base-computationnelle-NC-NL-4}
\end{figure}






























\newpage

\section{Comparaison de l'efficacité de l'amplification de spin pour les différents systèmes}
\label{seq:Comparison-between-Linear-chain-Circular-Chains}

Dans la présente section, nous nous intéressons tout d'abord à définir une mesure de la fidélité avec laquelle l'amplification de spin est implémentée pour une chaîne de spins donnée (section \ref{sec:Définition-fidélité-totale-de-polarisation}). Puis,
nous observons les différences qui existent entre les différents systèmes étudiés du point de vue des fidélités de polarisation, des polarisations totales moyennes, des  polarisations individuelles moyennes et des vitesses de spin-flip (section  \ref{sec:Comparaison-entre-les-systèmes}). Enfin, nous nous interrogeons sur l'origine physique des différences observées (section \ref{sec:Recherche-des-causes-des-différences-observées}).










\subsection{Définition d'une fidélité totale de polarisation}
\label{sec:Définition-fidélité-totale-de-polarisation}
Afin de déterminer l'efficacité avec laquelle est réalisée l'amplification de spin, il nous est nécessaire d'introduire une mesure de la fidélité avec laquelle se fait cette dernière, mesure que nous appelons : fidélité totale de polarisation et que nous définissons par $F^{(X)}(\tilde{t}) = F_{\downarrow}^{(X)}(\tilde{t})+F_{\uparrow}^{(X)}(\tilde{t}) = \sum_{k=1}^{N_X} F_{\downarrow,k}^{(X)}(\tilde{t}) +  \sum_{k=1}^{N_X} F_{\uparrow,k}^{(X)}(\tilde{t})$ avec $X\in\left\{L,C1,C2,C3\right\}$. Si nous considérons les états
$|\Lambda_{\downarrow}(0)\rangle=|\Lambda_{\downarrow}\rangle=\left|\color{red}\downarrow_1\color{black}\uparrow_2\ldots\uparrow_{N_X}\right\rangle$ 
et $|\Lambda_{\uparrow}(0)\rangle=|\Lambda_{\uparrow}\rangle=\left|\uparrow_1\ldots\uparrow_{N_X}\right\rangle$, nous définissons 

\begin{eqnarray}
F_{\downarrow,k}^{(X)}(\tilde{t}) &\equiv& \bra{\Lambda_{\downarrow}(\tilde{t})}  \color{red}\downarrow_m\color{black}\rangle\langle\color{red}\downarrow_m\color{black} 
\ket{\Lambda_{\downarrow}(\tilde{t})} \\ \nonumber
&=& \bra{\Lambda_{\downarrow}(\tilde{t})} \left(
\frac{\hat{1}-\hat{Z}_m}{2}\right) 
\ket{\Lambda_{\downarrow}(\tilde{t})} ~,\\ \nonumber
F_{\uparrow,k}^{(X)}(\tilde{t}) &\equiv& \bra{\Lambda_{\uparrow}(\tilde{t})}  
\uparrow_m\rangle\langle\uparrow_m 
\ket{\Lambda_{\uparrow}(\tilde{t})} \\ \nonumber
&=& \bra{\Lambda_{\uparrow}(\tilde{t})} \left(
\frac{\hat{1}+\hat{Z}_m}{2}\right) 
\ket{\Lambda_{\uparrow}(\tilde{t})} ~,\\ \nonumber
\end{eqnarray}

et finalement obtenons
\begin{eqnarray}
F_{\downarrow}^{(X)}(\tilde{t}) &=&\frac{N_X}{2} - \frac{1}{2}\bra{\Lambda_{\downarrow}(\tilde{t}) }P^{(X)}(\tilde{t})\ket{\Lambda_{\downarrow}(\tilde{t})}~,\\
F_{\uparrow}^{(X)}(\tilde{t}) &=&
\frac{N_X}{2} + \frac{1}{2} \bra{\Lambda_{\uparrow}(\tilde{t}) }P^{(X)}(\tilde{t})\ket{\Lambda_{\uparrow}(\tilde{t})}~.\\ \nonumber
\end{eqnarray}

$F_{\downarrow,k}^{(X)}(\tilde{t})$ et $F_{\uparrow,k}^{(X)}(\tilde{t})$ ($F_{\downarrow}^{(X)}(\tilde{t})$ et $F_{\uparrow}^{(X)}(\tilde{t})$) peuvent être considérées respectivement comme les fidélités individuelles (les fidélités globales) avec lesquelles l'information initialement portée par le spin $S_1$ (selon que ce dernier est dans l'état down ou dans l'état up) se retrouve transcrite sur le spin $S_k$ (sur l'ensemble de la chaîne). Il s'agit là d'une généralisation de la fidélité considérée usuellement dans les problèmes de transfert de spin où l'on calcule la fidélité de l'état du spin en bout de chaîne respectivement à l'état du spin initial \cite{Bose-2003}. Il est à noter que le comportement des différents systèmes relativement à cette mesure est inégal. En effet, si
 $\hat{H}^{(L)}$, $\hat{H}_1^{(C)}$,  et $\hat{H}_2^{(C)}$ conservent l'état de base $|\Lambda_{\uparrow}\rangle$, ce n'est pas le cas de $\hat{H}_3^{(C)}$. Ceci implique en particulier que dans le cas de $\hat{H}^{(L)}$, $\hat{H}_1^{(C)}$,  et $\hat{H}_2^{(C)}$, nous obtenons une relation directe entre fidélités totales de polarisation et polarisations totales moyennes  $\langle P^{(X)}(\tilde{t})\rangle = \bra{\Lambda_{\downarrow}(\tilde{t})}\hat{P}^{(X)} \ket{\Lambda_{\downarrow}(\tilde{t})}$ donnée par $F^{(X)}(\tilde{t})=\frac{3N_X}{2}-\frac{1}{2}\langle P^{(X)}(\tilde{t})\rangle$ (où nous avons utilisé que $\bra{\Lambda_{\uparrow}(\tilde{t})}\hat{P}^{(X)} \ket{\Lambda_{\uparrow}(\tilde{t})}=N_X$, $X\in\left\{L,C1,C2\right\}$), alors que dans le cas de $\hat{H}^{(C)}_3$ nous ne pouvons obtenir une valeur simple du terme $\bra{\Lambda_{\uparrow}(\tilde{t})}\hat{P}^{(X)} \ket{\Lambda_{\uparrow}(\tilde{t})}$ que nous sommes obligés de conserver en l'état. Notons que les fidélités totales de polarisation ont comme valeurs initiales $N_L+1$ ($N_C+1$) et sont bornées par $2N_L$ ($2N_C$) pour des chaînes linéaires (circulaires).

\subsection{Étude comparative des différents systèmes}
\label{sec:Comparaison-entre-les-systèmes}
\subsubsection{Fidélités totales de polarisation - Polarisations totales moyennes}
\label{sec:Comparaison-Fidélités-totales-de-polarisation-Polarisations-totales-moyennes}



Dans un premier temps, nous nous intéressons à des chaînes de faible taille ($N_L=N_C=8$). Ce choix est justifié car il nous permet de comparer simultanément le comportement des $F^{(X)}(\tilde{t})$ à celui des $\langle \Delta P^{(X)}(\tilde{t})\rangle =\langle P^{(X)}(\tilde{t})\rangle-\langle  P^{(X)}(0)\rangle $ pour les 4 systèmes étudiés $\hat{H}^{(L)}$, $\hat{H}^{(C)}_1$, $\hat{H}^{(C)}_2$ et $\hat{H}^{(C)}_3$. En effet, étant donné que $\ket{\Lambda_{\uparrow}}$ n'est pas un état stationnaire pour $\hat{H}^{(C)}_3$, la fidélité $F^{(C3)}_{\uparrow}(\tilde{t})$ correspondante n'est plus constante, et malheureusement la base d'états que génère la dynamique en partant de cet état est du même ordre de grandeur que la base computationnelle elle-même. Plus précisément, des simulations numériques (effectuées dans la base computationnelle, ce qui réduit drastiquement la taille des chaînes que l'on est susceptible d'étudier), montrent (au moins jusqu'à $N_C=9$) que la dynamique de $\hat{H}^{(C)}_3$ évolue dans un espace de taille $2(N_C-1)$ (comme attendu) si l'on choisit comme état initial l'état $\ket{\Lambda_{\downarrow}}$, et dans un espace de dimension $2^{N_C-2}$ si l'on choisit comme état initial l'état $\ket{\Lambda_{\uparrow}}$ (cf. figure \ref{fig:HC3-Nombre-d-états-de-base-En-commençant-avec-Lambda-down-En-commençant-avec-Lambda-up}), 
\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{HC3-Nombre-d-états-de-base-En-commençant-avec-Lambda-down-En-commençant-avec-Lambda-up.eps}
\caption{Nombre d'états de base pour $\hat{H}^{(C)}_3$, en partant de l'état $\ket{\Lambda_{\downarrow}}$ (points bleus), comparé à une loi en $2(N_C-1)$ (courbe bleue), ou de l'état $\ket{\Lambda_{\uparrow}}$ (points rouges), comparé à une loi en $2^{N_C-2}$ (courbe rouge), pour $N_C\in[4,9]$.}
\label{fig:HC3-Nombre-d-états-de-base-En-commençant-avec-Lambda-down-En-commençant-avec-Lambda-up}
\end{figure}





Dans les figures \ref{fig:Comparaison-Fidélités-totales-de-polarisation} et \ref{fig:Comparaison-Polarisations-totales-moyennes-relatives} nous observons pour une telle taille de chaînes l'évolution temporelle respectivement des fidélités totales de polarisation et celle des changements de polarisations totales moyennes relativement à leurs valeurs initiales (considérant comme état de départ l'état $\ket{\Lambda_{\downarrow}}$). Pour les systèmes $\hat{H}^{(L)}$, $\hat{H}^{(C)}_1$ et $\hat{H}^{(C)}_2$, nous constatons que les fidélités de polarisation se comportent bien suivant l'équation $F^{(X)}(\tilde{t})=\frac{3N_X}{2}-\frac{1}{2}\langle P^{(X)}(\tilde{t})\rangle = N_X+1 -\frac{1}{2}\langle \Delta P^{(X)}(\tilde{t})\rangle$. Par contre, nous constatons que la fidélité $F^{(C3)}(\tilde{t})$ se détériore immédiatement, ce qui se comprend facilement puisque $\ket{\Lambda_{\uparrow}}$ n'est plus un état stationnaire. 
Si nous attendions un temps suffisamment long, $F^{(C3)}(\tilde{t})$ pourrait toujours devenir important pour certaines valeurs particulières de $\tilde{t}$. Par exemple, pour $N_C=8$ nous obtenons $F^{(C3)}(290)\approx
13.09$, ce qui est proche de la valeur maximale possible de 16 pour cette chaîne. Cependant, les comparaisons des fidélités se doivent d'être faites pour des fenêtres temporelles finies, étant donné que pour des temps suffisamment longs il est toujours possible de trouver une configuration de spin aussi proche que l'on souhaite d'une configuration donnée \cite{Bose-2003}.

\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{Comparaison-Fidélités-totales-de-polarisation-NL-NC-8.eps}
\caption{Comparaison des fidélités totales de polarisation $F(\tilde{t})$ pour  $\hat{H}^{(L)}$ (courbe bleue continue), $\hat{H}^{(C)}_3$ (courbe bleue pointillée), $\hat{H}_1^{(C)}$ (courbe rouge pointillée) et $\hat{H}_2^{(C)}$ (courbe rouge continue), pour $N_L=N_C=8$.}
\label{fig:Comparaison-Fidélités-totales-de-polarisation}
\end{figure}

\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{Comparaison-Polarisations-totales-moyennes-relatives-NL-NC-8.eps}
\caption{Comparaison des changements de polarisations totales moyennes (relativement à leurs valeurs initiales) $\left\langle\Delta P(\tilde{t})\right\rangle = \left \langle
  P(\tilde{t})\rangle -\langle P(0)\right \rangle $ pour
  $\hat{H}^{(L)}$ (courbe bleue continue), $\hat{H}^{(C)}_3$ (courbe bleue pointillée), $\hat{H}^{(C)}_1$ (courbe rouge pointillée) et $\hat{H}^{(C)}_2$ (courbe rouge continue), pour $N_L=N_C=8$.}
\label{fig:Comparaison-Polarisations-totales-moyennes-relatives}
\end{figure}


\newpage


\subsubsection{Comportement des polarisations individuelles moyennes}
\label{sec:Comparaison-polarisations-individuelles}

Afin de mieux comprendre comment chaque système joue son rôle d'amplificateur de spin nous observons le comportement des polarisations individuelles moyennes, ces dernières étant tracées pour des chaînes de $N_L=N_C=20$ spins qui permettent une vision plus nette de la dynamique.
\\

Dans un premier temps, nous observons le comportement des polarisations individuelles pour $\hat{H}^{(L)}$ et $\hat{H}^{(C)}_1$ qui sont les systèmes pour lesquels l'amplification de spin est la plus efficace (cf. les courbes bleue continue et rouge pointillée de la figure \ref{fig:Comparaison-Fidélités-totales-de-polarisation}, observées dans le domaine $\tilde{t}\apprle N$). Nous constatons pour ces deux systèmes la propagation de fronts de spins bien définis (un seul front se propageant vers la droite pour $\hat{H}^{(L)}$, deux fronts se propageant vers la droite et vers la gauche pour $\hat{H}^{(C)}_3$). Au sein de ces fronts les spins sont en majorité dans l'état down, et ce d'autant plus que la taille de la chaîne est importante. Cependant, force est de constater que l'on est très éloigné de la configuration idéale dans laquelle tous les spins auraient flippé dans l'état down : pour  $\hat{H}^{(L)}$, on observe une dégradation du front de spins à proximité de la fin de la chaîne (cf. figure \ref{fig:HL-Polarisations-Individuelles} pour $\tilde{t}=21.9$) et pour $\hat{H}^{(C)}_1$ une dégradation de l'amplitude des fronts au voisinage du milieu de la chaîne (cf. figure \ref{fig:HC1-Polarisations-Individuelles} pour $\tilde{t}=11.9$). Nous comprenons donc que pour ces deux systèmes, même si l'amplification de spin est correctement implémentée, elle ne l'est pas à la mesure de ce que l'on aurait souhaité.


\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=6cm]{HL-Polarisation-individuelle-Pk-w1t-0.eps} 
\includegraphics[width=6cm]{HL-Polarisation-individuelle-Pk-w1t-10.eps} 
\end{figure}

\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=6cm]{HL-Polarisation-individuelle-Pk-w1t-20.eps} 
\includegraphics[width=6cm]{HL-Polarisation-individuelle-Pk-w1t-21_9.eps} 
\caption{Evolution temporelle des polarisations individuelles moyennes  pour $\hat{H}^{(L)}$, avec $N_L=20$ spins, pour $\tilde{t}=0, 10, 20$ et $21.9$ où le changement de la polarisation totale est maximal.}
\label{fig:HL-Polarisations-Individuelles}
\end{figure}

\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=6cm]{HC1-Polarisation-individuelle-Pk-w1t-0.eps} 
\includegraphics[width=6cm]{HC1-Polarisation-individuelle-Pk-w1t-5.eps}
\end{figure} 

\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=6cm]{HC1-Polarisation-individuelle-Pk-w1t-10.eps}
\includegraphics[width=6cm]{HC1-Polarisation-individuelle-Pk-w1t-11_9.eps} 
\caption{Polarisations individuelles pour $\hat{H}^{(C)}_1$ avec $N_C=20$ spins pour $\tilde{t}=0, 5, 10$ et $11.9$ où le changement de la polarisation totale est maximal.}
\label{fig:HC1-Polarisations-Individuelles}
\end{figure}






Si nous nous intéressons maintenant au système $\hat{H}^{(C)}_2$ (qui comme on le constate sur la figure \ref{fig:Comparaison-Fidélités-totales-de-polarisation} réalise moins efficacement l'amplification de spin que $\hat{H}^{(L)}$ et $\hat{H}^{(C)}_1$) nous observons comme pour $\hat{H}^{(C)}_1$ la propagation de deux fronts de spins à gauche et à droite, avec cette différence que ces derniers ne dépassent pas en amplitude une valeur de polarisation individuelle de $-0.5$ (cf. figure \ref{fig:HC2-Polarisations-Individuelles}). Nous pouvons comprendre qualitativement ce comportement en se rappelant que les états de $\hat{H}^{(C)}_2$ (cf. figure \ref{fig:HC2-Couplages-Lien-avec-HC1}), se divisent en deux  parties (celle des états entourés en rouge, et celle des états entourés en bleu symétriques des précédents), et qu'au sein de la dynamique observée, les états rentrent en compétition avec leurs états symétriques (de polarisation opposée) entraînant inévitablement une diminution des polarisations tant individuelles que totale.



\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=6cm]{HC2-Polarisation-individuelle-Pk-w1t-0.eps} 
\includegraphics[width=6cm]{HC2-Polarisation-individuelle-Pk-w1t-5.eps}
\end{figure}

\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=6cm]{HC2-Polarisation-individuelle-Pk-w1t-10.eps}
\includegraphics[width=6cm]{HC2-Polarisation-individuelle-Pk-w1t-13_5.eps} 
\caption{Polarisations individuelles  pour $\hat{H}^{(C)}_2$ avec $N_C=20$ spins pour $\tilde{t}=0, 5, 10$ et $13.5$ où le changement de la polarisation totale est maximal.}
\label{fig:HC2-Polarisations-Individuelles}
\end{figure}



Enfin, si nous nous penchons sur le cas de $\hat{H}^{(C)}_3$, nous observons une véritable dégradation de la fidélité totale de polarisation comparativement aux autres systèmes (cf. figure \ref{fig:Comparaison-Fidélités-totales-de-polarisation}). En effet, dès le début la dynamique se branche sur les états $\ket{\overline{\Lambda_k}}$ en même temps que sur les états $\ket{\Lambda_k}$ expliquant cette dégradation immédiate de $F^{(C3)}(\tilde{t})$. Si l'on observe la figure \ref{fig:HC3-Polarisations-Individuelles}, on ne voit plus de propagations bien définies de fronts de spins comme précédemment, témoignant que ce système, sur lequel s'est porté notre intérêt car sa base augmentait de façon linéaire avec la taille de la chaîne (en $\mathcal{O}(N_C)$, et non quadratiquement comme c'est le cas pour $\hat{H}^{(C)}_1$ et $\hat{H}^{(C)}_2$), se révèle malheureusement inadapté à l'amplification de spin.

\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=6cm]{HC3-Polarisation-individuelle-Pk-w1t-0.eps} 
\includegraphics[width=6cm]{HC3-Polarisation-individuelle-Pk-w1t-10.eps} 
\end{figure} 

\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=6cm]{HC3-Polarisation-individuelle-Pk-w1t-20.eps}
\includegraphics[width=6cm]{HC3-Polarisation-individuelle-Pk-w1t-21_9.eps} 
\caption{Polarisations individuelles pour $\hat{H}^{(C)}_3$ avec $N_C=20$ spins pour $\tilde{t}=0, 10, 20$ et $21.9$ où le changement de la polarisation totale est maximal.}
\label{fig:HC3-Polarisations-Individuelles}
\end{figure}



\subsubsection{Comparaison des vitesses de spin-flip}
\label{sec:Comparaison-vitesses-de-spin-flip}


Nous remarquons que pour des chaînes de taille faible les $\langle \Delta P(\tilde{t}) \rangle$ ne se comportent pas véritablement linéairement dans le domaine des temps faibles comme le prédisent les équations (\ref{eq:Linear-chain-WKB-Polarization-Linear-term}) et (\ref{eq:Circular-chain-WKB-polarization-Linear-term}) (cf. figure \ref{fig:Comparaison-Polarisations-totales-moyennes-relatives}). En effet, pour ce faire, il est nécessaire d'observer des chaînes de taille suffisamment importante. Un tel exemple est montré dans la figure \ref{fig:Comparaison-Polarisations-totales-moyennes-relatives-NL-NC-100} pour une taille $N_L=N_C=100$, et nous trouvons les vitesses de spin-flip : $|v^{(C)}_3|\approx 1.27$, $|v^{(L)}|\approx 1.70$, $|v^{(C)}_2|\approx 2.16$ et $|v^{(C)}_1|\approx 3.39$ (où l'on retrouve pour $|v^{(L)}|$ et $|v^{(C)}_3|$ les valeurs trouvées analytiquement).

\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=7cm]{Comparaison-Polarisations-totales-moyennes-relatives-NL-NC-100.eps}
\caption{Comparaison des changements de polarisations totales moyennes (relativement à leurs valeurs initiales) $\langle\Delta P(\tilde{t})\rangle= \left \langle
  P(\tilde{t})\rangle -\langle P(0)\right \rangle $ pour
  $\hat{H}^{(L)}$ (courbe bleue continue), $\hat{H}^{(C)}_3$ (courbe bleue pointillée), $\hat{H}^{(C)}_1$ (courbe rouge pointillée) et $\hat{H}^{(C)}_2$ (courbe rouge continue), pour $N_C=N_L=100$.}
\label{fig:Comparaison-Polarisations-totales-moyennes-relatives-NL-NC-100}
\end{figure}








\subsection{Origine des différences observées}
\label{sec:Recherche-des-causes-des-différences-observées}
 \subsubsection{Influence de la taille des bases}


Dans un premier temps nous nous intéressons aux systèmes $\hat{H}^{(L)}$ et $\hat{H}^{(C)}_3$ pour lesquels une différence de pente de $25\%$ est observée entre  $\langle
  \Delta P^{(L)}(\tilde{t})\rangle$  et $\langle\Delta P^{(C)}_3(\tilde{t})\rangle$ (cf. figure  \ref{fig:Comparaison-Polarisations-totales-moyennes-relatives-NL-NC-100}), comme prédit par les équations
(\ref{eq:Linear-chain-WKB-Polarization-Linear-term}) et
(\ref{eq:Circular-chain-WKB-polarization-Linear-term}). La première hypothèse que l'on peut faire est que la dimension des bases impliquées dans la dynamique influence les vitesses de spin-flip observées. Puisque la dimension de la base pour $\hat{H}^{(L)}$  
(états $\left|\Lambda_k\right\rangle$ avec $k\in[1, N_L-1]$) est la moitié de celle de $\hat{H}_3^{(C)}$ (états $\left|\Lambda_k\right\rangle$ et $\left|\overline{\Lambda_k}\right\rangle$ avec $k\in[1,
  N_C-1]$), nous pourrions penser que c'est là l'une des raisons expliquant les différences observées. Afin de vérifier cette hypothèse, nous retraçons  $\langle \Delta P^{(C)}_3(\tilde{t})\rangle$ pour  $N_C = (N_L+1)/2=26$, taille pour laquelle les deux bases ont alors la même dimension, mais comme nous pouvons le constater sur la figure \ref{fig:PL-PC3-Comparaison-même-taille-de-bases-même-taille-de-chaînes} nous observons toujours la même vitesse de spin-flip pour $\hat{H}^{(C)}_3$, malgré le changement de taille de sa base.



\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=9cm]{PL-PC3-Comparaison-même-taille-de-bases-même-taille-de-chaînes.eps} 
\caption{Comparaison de $\langle \Delta P^{(L)}(\tilde{t}) \rangle$ (courbe bleue continue),  $\langle \Delta P^{(C)}_3(\tilde{t})$ ($N_C=N_L=51$, courbe bleue pointillée) et $\langle \Delta P^{(C)}_3(\tilde{t})$ ($N_C=(N_L+1)/2=26$, courbe bleue pointillée).} 
\label{fig:PL-PC3-Comparaison-même-taille-de-bases-même-taille-de-chaînes}
\end{figure}




Pour des tailles de bases identiques, les deux hamiltoniens $\hat{H}^{(L)}$ et $\hat{H}^{(C)}_3$ ne diffèrent pourtant que par un terme local additionnel permettant de fermer la chaîne, qui se manifeste au niveau de la représentation matricielle de $\tilde{H}^{(C)}_3$ par la présence supplémentaire de deux termes non-nuls dans les coins inférieur gauche et supérieur droit relativement à la représentation matricielle de $\tilde{H}^{(L)}$. Par exemple avec $N_L=9$ pour $\hat{H}^{(L)}$ et $N_C=5$ pour $\hat{H}^{(C)}_3$, nous observons dans les bases de la dynamique les représentations matricielles de la figure \ref{fig:HC3-Comparaison-représentations-matricielles-HL-NL-9-HC3-NC-5}.

\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=5cm]{HL-Représentation-matricielle-NL-9.eps}
\includegraphics[width=5cm]{HC3-Représentation-matricielle-NC-5.eps} 
\caption{Représentation matricielles pour $\hat{H}^{(L)}$ ($N_L=9$) et $\hat{H}^{(C)}_3$ ($N_C=5$).}
\label{fig:HC3-Comparaison-représentations-matricielles-HL-NL-9-HC3-NC-5}
\end{figure}


On s'attendrait donc à mesurer des effets tout au plus en  $\mathcal{O}(1/N_L)$, mais nos résultats analytiques montrent que  cette différence de $25\%$ persiste pour des systèmes arbitrairement grands, comme l'on peut le constater sur les figures \ref{fig:Comparaison-PL-NL-20-120} et \ref{fig:Comparaison-PC3-NC-20-120} où il apparaît clairement que les vitesses de spin-flip ne changent pas avec la taille de la chaîne (ni donc avec la taille de la base dans laquelle évolue la dynamique),  résultat cohérent avec les calculs des comportements linéaires des polarisations totales moyennes dérivés dans les équations 
(\ref{eq:Linear-chain-WKB-Polarization-Linear-term}) et
(\ref{eq:Circular-chain-WKB-polarization-Linear-term}), indépendants de $N_L$ et $N_C$  (en ce qui concerne le terme proportionnel à $\tilde{t}$). 

\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=9cm]{Comparaison-PL-NL-20-120.eps} 
\caption{Comparaison des 
  $\langle \Delta P^{(L)}(\tilde{t}) \rangle = \langle P^{(L)}(\tilde{t})\rangle -\langle P^{(L)}(0)\rangle $ pour $\hat{H}^{(L)}$ pour différentes taille de chaînes (de $N_L=20$ (courbe supérieure) à
  $N_L=120$ (courbe inférieure), par pas de  $20$).} 
\label{fig:Comparaison-PL-NL-20-120}
\end{figure}

\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=9cm]{Comparaison-PC3-NC-20-120.eps} 
\caption{Comparaison des 
 $ \langle \Delta P^{(C)}_3(\tilde{t}) \rangle = \langle P^{(C)}_3(\tilde{t})\rangle -\langle P^{(C)}_3(0)\rangle $ pour $\hat{H}^{(C)}_3$ pour différentes taille de chaînes (de $N_C=20$ (courbe supérieure) à
  $N_C=120$ (courbe inférieure), par pas de  $20$).} 
\label{fig:Comparaison-PC3-NC-20-120}
\end{figure}




De la même façon nous observons pour les systèmes $\hat{H}^{(C)}_1$ et 
$\hat{H}^{(C)}_2$ la même indépendance des vitesses de spin-flip en fonction de la taille des chaînes (cf. les figures \ref{fig:Comparaison-PC1-NC-20-120} et \ref{fig:Comparaison-PC2-NC-20-120}), les polarisations totales moyennes ayant été calculées par diagonalisation numériques.
\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=9cm]{Comparaison-PC1-NC-20-120.eps} 
\caption{Comparaison des 
 $ \langle \Delta P^{(C)}_1(\tilde{t}) \rangle = \langle P^{(C)}_1(\tilde{t})\rangle -\langle P^{(C)}_1(0)\rangle $ pour $\hat{H}^{(C)}_1$ pour différentes taille de chaînes (de $N_C=20$ (courbe supérieure) à
  $N_C=120$ (courbe inférieure), par pas de  $20$).} 
\label{fig:Comparaison-PC1-NC-20-120}
\end{figure}

\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=9cm]{Comparaison-PC2-NC-20-120.eps} 
\caption{Comparaison des 
 $ \langle \Delta P^{(C)}_2(\tilde{t}) \rangle = \langle P^{(C)}_2(\tilde{t})\rangle -\langle P^{(C)}_2(0)\rangle $ pour $\hat{H}^{(C)}_2$ pour différentes taille de chaînes (de $N_C=20$ (courbe supérieure) à
  $N_C=120$ (courbe inférieure), par pas de  $20$).} 
\label{fig:Comparaison-PC2-NC-20-120}
\end{figure}





\subsubsection{Influence de la structure physique de la base - Comparaison des spectres}


Entre $\hat{H}^{(L)}$ et $\hat{H}^{(C)}_3$ nous voyons donc que les différences résident avant tout dans la structure physique des fonctions de base. Le simple couplage additionnel dans $\hat{H}_3^{(C)}$ (par rapport à  $\hat{H}^{(L)}$) donne accès à une nouvelle partie de l'espace de Hilbert constituée par les états $\left| \overline{\Lambda_k}\right\rangle$, qui par leurs polarisations opposées à celles des  $\left|\Lambda_k\right\rangle$ réduisent la polarisation totale comparativement à la chaîne linéaire. Une sorte de bifurcation a donc lieu dans l'espace de Hilbert qui dépend de la présence (ou non) de ce couplage additionnel et conduit alors à un comportement macroscopiquement différent des polarisations totales moyennes. 










\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=7cm]{Comparaison-Spectres-même-taille-de-base.eps}
\includegraphics[width=7cm]{Comparaison-Spectres-même-taille-de-chaînes.eps} 
\caption{(a) Spectres pour $\hat{H}^{(L)}$   (carrés bleus, $N_L=7141$), $\hat{H}^{(C)}_1$ (courbe rouge continue avec croix, $N_C=120$),
$\hat{H}^{(C)}_2$ (cercles rouges, $N_C=80$), $\hat{H}^{(C)}_3$ (triangles bleus, $N_C=3571$). La loi de dispersion de l'équation (\ref{eq:HL-Valeurs-propres}) est tracée (courbe bleue continue). Seul un sous-ensemble de l'ensemble ordonné des valeurs propres $\lambda_p$ est tracé comme fonction de $p$. (b) Spectres pour  $\hat{H}^{(L)}$, $\hat{H}^{(C)}_1$, $ \hat{H}^{(C)}_2$
  et $\hat{H}^{(C)}_3$ pour $N_L=N_C=10$. Même symboles que pour (a).}    
\label{fig:Comparaison-spectres}
\end{figure}






Concernant les systèmes $\hat{H}^{(C)}_1$ et $\hat{H}^{(C)}_2$, les causes des différences observées (relativement à $\hat{H}^{(L)}$) sont plus complexes à déterminer exactement. Tout d'abord, on peut suspecter l'influence de la dimension des bases relativement à la taille des chaînes (en ${\cal O}(N_C^2)$ pour  $\hat{H}^{(C)}_1$ et $\hat{H}^{(C)}_2$, en ${\cal O}(N_L)$ pour $\hat{H}^{(L)}$), mais également l'importance des différences qui existent entre les représentations matricielles de $\hat{H}^{(C)}_1$ et $\hat{H}^{(C)}_2$, et celles de $\hat{H}^{(L)}$ et $\hat{H}^{(C)}_3$. Dans la figure \ref{fig:Comparaison-spectres}.a où nous traçons les spectres pour les différents hamiltoniens pour des tailles de base identiques ($7140$ états de bases avec $N_L=7141$, $N_{C1}=120$, $N_{C2}=85$, $N_{C3}=3571$) nous constatons en effet qu'il existe une grande différence entre les spectres de $\hat{H}^{(C)}_1$ et $\hat{H}^{(C)}_2$, et ceux de $\hat{H}^{(L)}$ et $\hat{H}^{(C)}_3$. 

Les spectres de $\hat{H}^{(L)}$ et $\hat{H}^{(C)}_3$  suivent les lois de dispersion prédites par les équations (\ref{eq:HL-Valeurs-propres}) et (\ref{eq:HC3_Eigensystem}) qui sont celles d'un modèle de liaisons fortes à une dimension, et coïncident quasiment parfaitement. Ce résultat est intuitif puisque pour une même taille de base les représentations matricielles  $\tilde{H}^{(L)}$ et  $\tilde{H}^{(C)}_3$ ne diffèrent que par les deux éléments de matrice hors diagonaux situés dans le coin inférieur gauche et dans le coin supérieur droit (cf. figure \ref{fig:HC3-Comparaison-représentations-matricielles-HL-NL-9-HC3-NC-5}). Nous nous attendons donc au pire a une correction en ${\cal O}(1/N_L)$ des valeurs propres de $\hat{H}_3^{(C)}$ par rapport aux valeurs propres de $\hat{H}^{(L)}$ . En effet, en observant la moyenne des différences en valeur absolue entre les éléments matriciels de chacun des propagateurs $\hat{U}^{(L)}(\tilde{t})$ et $\hat{U}^{(C3)}(\tilde{t})$ en fonction de $N_L$ (avec $N_L-1=2(N_C-1)$), nous trouvons même une correction qui décroît encore plus rapidement approximativement en $\mathcal{O}(1/N_L^2)$). 

De même nous observons que les spectres de $\hat{H}^{(C)}_1$ et $\hat{H}^{(C)}_2$ sont relativement proches l'un de l'autre, même si nous ne disposons pas cette fois-ci  de formules analytiques auxquelles les comparer. Cependant, dans la limite des $N_C$ larges, ces deux systèmes physiques se rapprochent d'un modèle de liaisons fortes à deux dimensions dans le sens où chaque état à l'intérieur du triangle des états pour $\hat{H}^{(C)}_1$, et chaque état situé sur les sommets de tous les polygones pour $\hat{H}^{(C)}_2$ (à l'exception du polygone le plus intérieur et du polygone le plus extérieur) est couplé à ses 4 plus proches voisins. Cependant le spectre diffère ici de façon substantielle de l'usuel spectre d'un modèle de liaisons fortes sur réseau bidimensionnel carré, ceci principalement en raison de la géométrie inhabituelle du réseau. Par exemple pour $N_C=5$, le réseau correspondant à $\hat{H}^{(C)}_2$ présente la symétrie diédrale d'un pentagone ($C_{5v}$, voir figure \ref{fig:HC2-Couplages-entre-états-Structures-polygonales}), laquelle conduit a des dégénérescences assez larges (en particulier au centre du spectre, cf. les  courbes rouges de la figure \ref{fig:Comparaison-spectres}.b), et à des pentes finies aux frontières du spectre particulièrement visibles pour des chaînes de grandes tailles (cf. les courbes rouges de la figure \ref{fig:Comparaison-spectres}.a). 

\section{Conclusion partielle}


Dans ce chapitre, nous avons donc montré la nécessité (si l'on souhaite implémenter une amplification de spin qui soit la plus efficace possible), de faire preuve de la plus grande vigilance dans le choix des couplages que l'on impose aux frontières. De simples différences entre ces derniers suffisent en effet à provoquer des comportements macroscopiquement différents de la dynamique (cf. l'étude des polarisations totales moyennes). Ces résultats sont intéressants en ce sens qu'ils mettent en avant comment de simples différences locales peuvent influencer de façon globale l'efficacité d'un système comme amplificateur de spin (cf. l'étude des fidélités totales de polarisation), et comment les chaînes de spins sont des systèmes physiques qui font preuve d'une très grande sensibilité aux conditions aux frontières.

Nous avons également vu qu'une approche semi-classique était possible lorsque les systèmes possèdent des bases dont les dimensions sont linéaires par rapport à la taille de la chaîne ($\hat{H}^{(L)}$ et $\hat{H}^{(C)}_3$). Nous avons alors montré qu'il était possible  de dériver une expression analytique des polarisations totales moyennes, en  utilisant dans un premier temps une réécriture des propagateurs quantiques ($\hat{U}^{(L)}(\tilde{t})$ et $\hat{U}^{(C)}_3(\tilde{t})$) sous la forme de sommes de fonctions de Bessel, puis en montrant comment il était suffisant de ne conserver que les seuls termes qui correspondent physiquement à des propagations classiques de fronts de spins vers la droite ou vers la gauche (sans possibilité de réflexions en bout de chaîne (pour les chaînes linéaires) ou de tours multiples (pour les chaînes circulaires), si l'on restreint notre fenêtre temporelle à des temps $\tilde{t}\apprle N$).
