\chapter{Fonctions de Bessel et fonctions de Airy}

Dans cette annexe, nous faisons quelques rapides rappels sur les fonctions de Bessel du premier type et les fonctions de Airy.

\subsection{Fonctions de Bessel du premier type}

Les fonctions de Bessel $J_n(x)$ (dites de premier type, avec $n$ entier) sont les solutions de l'équation différentielle 
$$x^2 \frac{d^2y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}+(x^2-n^2)y=0 ~.$$
\noindent Dans la figure \ref{fig:Fonctions-de-Bessel}, nous traçons le comportement de quelques-unes de ces fonctions pour différentes valeurs de $n$.
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\begin{figure}[!ht]
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\includegraphics[width=8cm]{Fonctions-de-Bessel.eps}
\caption{Fonctions de Bessel $J_0(x)$ (courbe continue), $J_1(x)$ (courbe avec tirets), $J_2(x)$ (courbe pointillée).}
\label{fig:Fonctions-de-Bessel}
\end{figure}

\noindent Ces fonctions sont notamment définies par l'intégrale :
$$ J_n(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} dp ~e^{-i(n p-x \sin(p)}~.$$
C'est à partir de cette expression analytique que nous serons capables dans le chapitre sur l'amplification de spin, de dériver des expressions analytiques pour les éléments matriciels de certains propagateurs quantiques. Les fonctions de Bessel présentent également les propriétés suivantes intéressantes que nous utiliserons dans ce manuscrit :
\begin{eqnarray*}
&~&J_{n-1}(x)+J_{n+1}(x)=2 \left(\frac{n}{x}\right)J_{n}(x)~,\\
&~& J_{-n}(x)=(-1)^n J_n(x)~.\\
\end{eqnarray*}
Enfin, une dernière propriété importante est que pour des indices $n$ grands devant $1$, $J_n(x)$ est négligeable pour des valeurs de l'argument $x$ faibles devant $n$, i.e.~
$$ \left|J_n(x)\right| \ll 1 \mbox{ : }  n \gg 1\mbox{ et } |x|\ll n~,$$

\noindent comme nous pouvons le constater par exemple sur la figure \ref{fig:Fonctions-de-Bessel-J-20-x}  pour $n=20\gg 1$, dans le domaine $x\ll 20$.




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\begin{figure}[!ht]
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\includegraphics[width=9cm]{Fonctions-de-Bessel-J-20-x.eps}
\caption{Fonctions de Bessel $J_{20}(x)$.}
\label{fig:Fonctions-de-Bessel-J-20-x}
\end{figure}





\subsection{Fonctions de Airy}


Les fonctions de Airy $Ai(x)$ sont définies comme les fonctions solutions de l'équation différentielle : $y^{''}-xy=0$.

Cette équation est l'équation différentielle du second-ordre la plus simple pour laquelle on obtient un point tournant, i.e.~une valeur de $x$ où les solutions passent d'un comportement oscillatoire à un comportement exponentiel. Sur la figure \ref{fig:Fonction-de-Airy}, nous pouvons observer le comportement d'une telle fonction, ainsi que des deux régimes oscillatoire et exponentiel, respectivement à gauche et à droite du point tournant situé à $x=-1.01879$.

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\begin{figure}[!ht]
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\includegraphics[width=9cm]{Fonction-de-Airy.eps}
\caption{Fonction de Airy $Ai(x)$.}
\label{fig:Fonction-de-Airy}
\end{figure}

\noindent L'aspect qui nous intéressera dans ce manuscrit est qu'au voisinage du point tournant, la fonction de Bessel $J_n(x)$ peut être approximée par la fonction de Airy suivant la relation (cf. \cite{Abramowitz-Stegun-1970}, terme principal de l'équation 9.3.15) :
\begin{eqnarray*}
&~& J_{n}(x)\approx \left(\frac{2}{x}\right)^{\frac{1}{3}}Ai(z),\\
&~&z=\left(\frac{2}{x}\right)^{\frac{1}{3}}(n-x).
\end{eqnarray*}

\noindent Nous pouvons observer ceci sur la figure \ref{fig:Comparaison-fonction-de-Bessel-fonction-de-Airy}, où l'on voit comment les deux fonctions (tracées pour $n=40$) coïncident parfaitement jusqu'au point tournant.
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\begin{figure}[!ht]
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\includegraphics[width=9cm]{Comparaison-fonction-de-Bessel-fonction-de-Airy-N-40.eps}
\caption{Comparaison entre la fonction $J_n(x)$ (courbe bleue continue) et la fonction $\left(\frac{2}{x}\right)^{\frac{1}{3}}Ai(z)$, $z=\left(\frac{2}{x}\right)^{\frac{1}{3}}(n-x)$ (courbe rouge pointillée), pour $n=40$.}
\label{fig:Comparaison-fonction-de-Bessel-fonction-de-Airy}
\end{figure}
