\documentclass[12pt]{thloria}

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%                     Chargement de quelques packages
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%                     Définition de nouvelles fonctions
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\def\red{\color{red}}
\def\black{\color{black}}
\def\ket#1{|#1\rangle}
\def\bra#1{\langle#1|}
\def\ketA#1{|#1\rangle_A}
\def\braA#1{{_A}\langle#1|}
\def\ketB#1{|#1\rangle_B}
\def\braB#1{{_B}\langle#1|}
\def\ketAB#1{|#1\rangle_{AB}}
\def\braAB#1{{_{AB}}\langle#1|}
\def\braket#1#2{\langle #1 | #2 \rangle}
\def\ketbra#1{|#1\rangle \langle#1|}
\def\ketbraA#1#2{{_A}|#1\rangle \langle#2|_A}
\def\braketA#1#2{{_A}\langle#1|#2\rangle_A}
\def\abs#1{\left|#1\right|}

\newcommand{\cI}{{\cal I}}
\newcommand{\oF}{\overline{F}}


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%                             Marges
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\SetRealMargins{20mm}{20mm}

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%                         Références
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\NoChapterNumberInRef
\NoChapterPrefix



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%                         Début du document
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\begin{document}


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%            Reinitialisation de la numerotation des chapitres
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% Si la commande suivante est presente, elle doit figurer APRES \begin{document} et avant la premiere commande \part
\ResetChaptersAtParts 


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%                         Page de titre:
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\ThesisTitle{Analyse semi-classique d'algorithmes quantiques}
\ThesisDate{Septembre 2010}
\ThesisAuthor{Roubert Benoit}

\NewJuryCategory{DirecteurThese}{\textit{Directeur de thèse :}}
                                {\textit{Directeur de thèse :}}

\DirecteurThese = {Daniel Braun}

\Rapporteurs  = {Thierry Bastin\\
                 Hans-Rudolf Jauslin
                 }
\Examinateurs = {Benoit Douçot\\
                 Jacques Blanc-Talon\\
                 Mohamed Aziz Bouchene\\
                 Bertrand Georgeot\\
                 }


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%                          Remerciements
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\begin{ThesisAcknowledgments}

\indent Je remercie mon directeur de thèse Daniel Braun de m'avoir accompagné durant ces trois années de thèse
et de m'avoir guidé lorsque cela s'avérait nécessaire.\\
~\\
\indent Je remercie également Peter Braun pour l'aide qu'il m'a apporté durant ma thèse, pour sa gentillesse et sa patience, ainsi que pour l'opportunité qu'il m'a donnée de collaborer avec lui.\\
~\\
\indent Ma reconnaissance va également à Thierry Bastin et Hans-Rudolf Jauslin, qui ont accepté la lourde tâche d'être rapporteurs de ma thèse malgré
un délai assez court, ainsi qu'à Benoit Douçot, Jacques Blanc-Talon, Bertrand Georgeot, et Mohamed Aziz Bouchene pour avoir accepté de faire parti de mon jury de thèse.\\
~\\
\indent Je remercie l'I.R.S.A.M.C. de m'avoir accueilli pendant ces trois années et
plus particulièrement le Laboratoire de Physique Théorique et son directeur
Clément Sire. \\
~\\
\indent Enfin je remercie la D.G.A. grâce à laquelle j'ai pu pendant ces trois années me consacrer pleinement à la recherche.\\

\end{ThesisAcknowledgments}

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%                            Dédicace
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\begin{ThesisDedication}
Je dédie cette thèse à Anne-Sophie, la seule et unique femme de ma vie sans laquelle mon existence aurait bien peu de résonance.
\end{ThesisDedication}

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%                        Table des matières
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% Pour ne pas avoir le mot `Chapitre' au debut de chaque chapitre.
%\NoChapterHead

\tableofcontents

% La commande \mainmatter permet de passer à la numerotation arabe  
% et de faire commencer la nouvelle page 1 sur une page impaire.
\mainmatter



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%                       Avant-propos
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\SpecialSection{Avant-propos}

Prophétisé par Feynman qui  disait à son propos :\og \textit{Au lieu de nous plaindre que la simulation des phénomènes quantiques demande des puissances énormes à nos ordinateurs actuels, utilisons la puissance de calcul des phénomènes quantiques pour faire plus puissant que nos ordinateurs actuels}\fg, l'ordinateur quantique est pendant presque 20 ans resté dans le placard des physiciens qui doutaient que de tels ordinateurs puissent un jour exister. C'est en 1994 qu'un véritable tremblement de terre marque le début de la folle épopée de cette jeune théorie qu'est la théorie de l'information quantique. En cette année, un jeune physicien de 35 ans, Peter Shor, montre qu'il est possible de réaliser une factorisation en un nombre polynomial d'opérations, alors que les meilleurs algorithmes classiques ne savent faire mieux qu'en un nombre exponentiel d'opérations (menaçant par là de rendre obsolète le cryptage RSA, et amenant ainsi la preuve qu'un ordinateur quantique est capable de proposer une accélération exponentielle de la résolution de certains problèmes).

Depuis maintenant 15 ans, le concept même de l'ordinateur quantique n'est  plus remis en cause, et des recherches très actives sont effectuées afin de savoir quels seraient les systèmes physiques les plus appropriés pour jouer le rôle de bits quantiques : photons, électrons, atomes, nuages d'atomes, etc.~Concrétiser un tel ordinateur quantique suppose que ce dernier soit capable de réaliser certains types d'opérations élémentaires comme par exemple recopier de l'information quantique. Or si le calcul quantique porte en lui de formidables espérances (notamment celle d'une accélération exponentielle relativement au calcul classique), le clonage quantique quant à lui porte l'écueil de ne pas permettre un clonage parfait d'un état quelconque (théorème de non-clonage \cite{Wootters-Zurek-1982}). Le problème est donc de s'interroger  sur les ressources que nous pouvons utiliser afin de rendre ce clonage optimal. De la même façon, un ordinateur quantique doit savoir lire un état quantique de façon efficace si l'on souhaite pouvoir un jour tirer parti de la puissance de ce dernier. Dans le cas particulier d'un ordinateur quantique qui utiliserait le spin comme bit quantique, nous nous retrouvons alors avec ce problème que tant la simple détection que la mesure d'un spin unique restent encore aujourd'hui de véritables challenges, appellant à des solutions alternatives comme l'amplification de spin qui vise à retranscrire l'état d'un spin unique sur un ensemble macroscopique de spins.

Dans le premier chapitre, après une justification historique de la naissance de l'information quantique, nous faisons de rapides rappels utiles pour la suite. Dans le second chapitre nous nous intéressons au clonage quantique et notamment aux ressources quantiques qui rendent ce dernier supérieur au clonage classique. Enfin dans la dernière partie, nous nous intéressons au phénomène d'amplification de spin, à sa grande sensibilité aux conditions aux frontières, et à la possibilité d'en réaliser une approche semi-classique dans certains cas.




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%                         Chapitres
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\input{Chapitre-01-Présentation-de-l-information-quantique.tex}
\input{Chapitre-02-Clonage-quantique-sans-interférence.tex}
\input{Chapitre-03-Amplification-de-spin.tex}

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%                         Conclusion générale
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\SpecialSection{Conclusion générale}

Dans un premier temps, nous nous sommes intéressés dans cette thèse au clonage quantique et notamment à la possibilité pour ce dernier de surpasser le clonage classique par l'utilisation de ressources purement quantiques. A cette question de savoir quelle ressource est précisément nécessaire pour que le clonage quantique soit plus efficace que son homologue classique, nous avons répondu de façon étonnante que l'interférence (au sens où nous l'avons définie dans cette thèse) n'est pas une ressource indispensable. En effet, nous avons montré comment toute une classe de cloneurs quantiques universels et symétriques existe, pour lesquels une fidélité moyenne de clonage de $5/6$ est atteinte (valeur maximale autorisée pour de tels cloneurs), et ce en absence d'interférence. Pour ce faire, il nous a suffit d'imposer de choisir des cloneurs dont les matrices dynamiques correspondantes ont la particularité d'avoir les éléments hors-diagonaux de leurs blocs diagonaux nuls (permettant ainsi d'avoir une interférence nulle). Les résultats obtenus, à défaut d'apporter la preuve du caractère indispensable d'une ressource particulière qui expliquerait l'accélération du calcul quantique sur le calcul classique, nous permettent néanmoins de prendre conscience que lorsque la mécanique quantique est présente, rien n'est jamais aussi évident ou intuitif qu'il peut y paraître au premier abord.\\

Dans un second temps, nous avons étudié le problème de l'amplification de spin dans des chaînes de spins (où l'état d'un spin unique est retranscrit sur un ensemble macroscopique de spins), et pour différents systèmes (chaînes linéaires, chaînes circulaires avec différentes conditions de fermeture) nous nous sommes intéressés à l'efficacité de ces derniers comme systèmes amplificateurs (par l'observation des fidélités totales de polarisation). Nous avons alors eu la surprise de nous rendre compte que, contrairement à ce que l'on aurait pu croire naïvement, pour de tels systèmes les conditions aux frontières jouent un rôle primordial et donnent lieu à des comportements macroscopiques complètement différents (notamment des polarisations totales moyennes). Nous avons également montré que, lorsque les systèmes ont des bases dont la dimension est linéaire par rapport à la taille de la chaîne, il est alors possible de dériver une approche semi-classique et d'obtenir des expressions analytiques des polarisations totales moyennes dans le domaine des temps faibles (pour lesquels les fronts de spins n'ont pas le temps de parcourir entièrement la chaîne).\\

Pour conclure, nous pouvons terminer en soulignant la nécessité impérieuse d'apprendre à douter des évidences que l'on est tenté parfois d'avoir sur les choses, les deux thèmes que nous avons étudiés dans cette thèse nous ayant montré comment la réalité physique pouvait, au contraire, aller à l'inverse des intuitions premières que l'on peut avoir.


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%                         Annexe
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\annexe
\input{Annexe-01.tex}
\input{Annexe-02.tex}

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%                         Bibliographie
%
%   Comme la biliographie est donnée à l'intérieur du fichier .tex (afin de 
%   pouvoir en customiser le style), il faut faire attention de classer cette 
%   dernière par ordre de citation dans la thèse, si l'on souhaite que la 
%   numérotation dans le document final, soit identique à celle que l'on
%   obtiendrait avec la commande \bibliographystyle{unsrt}
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\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{Wootters-Zurek-1982}
{
W. K. Wootters, W. H. Zurek : Nature \textbf{99}, 802 (1982) \\
\textit{A single quantum cannot be cloned}
}

\bibitem{Moore-1965}
{
G. Moore : Electronics Magazine \textbf{38}, 8 (1965) \\
\textit{Cramming more components onto integrated circuits}
}

\bibitem{Shor-1994}
{
P. W. Shor : Proc. 35th Annu. Symp. Foundations of Computer Science (1994) \\
\textit{Algorithms for quantum computation: Discrete logarithms and factoring}
}

\bibitem{Grover-1997}
{
L. K. Grover : Phys. Rev. Lett. \textbf{79}, 325 (1997) \\
\textit{Quantum mechanics helps in searching for a needle in a haystack}
}
\bibitem{Simon-1994}
{
D. R. Simon : Proc. 35th Annu. Symp. Foundations of Computer Science, 116-123 (1994) \\
\textit{On the power of quantum computation}
}

\bibitem{Lloyd-2009}
{
A. W. Harrow, A. Hassidim, S. Lloyd : Phys. Rev. Lett. \textbf{103}, 150502 (2009) \\
\textit{Quantum algorithm for linear systems of equations}
}

\bibitem{Roubert-2008}
{
B. Roubert, D. Braun : Phys. Rev. A \textbf{78}, 042311 (2008) \\
\textit{Role of interference in quantum cloning}
}

\bibitem{Gisin-1997}
{
N. Gisin, S. Massar : Phys. Rev. Lett. \textbf{79}, 2153 (1997) \\
\textit{Optimal Quantum Cloning Machines}
}

\bibitem{Brub-1998}
{
D. Brub, D. P. DiVincenzo,  A. Ekert and al. : Phys. Rev. A \textbf{57}, 2368 (1998) \\
\textit{Optimal universal and state-dependent quantum cloning}
}

\bibitem{Gisin-1998}
{
N. Gisin : Phys. Lett. A \textbf{242}, 1 (1998) \\
\textit{Quantum cloning without signaling}
}

\bibitem{Buzek-Hillery-1996}
{
V. Buzek, M. Hillery : Phys. Rev. A \textbf{54}, 1844 (1996) \\
\textit{Quantum copying: Beyond the no-cloning theorem}
}

\bibitem{Horodecki-1999}
{
M. Horodecki, P. Horodecki, R. Horodecki : Phys. Rev. A \textbf{60}, 1888 (1999) \\
\textit{General teleportation channel, singlet fraction, and quasidistillation}
}

\bibitem{Scarani-2005}
{
V. Scarani, S. Iblisdir, N. Gisin, A. Acin : Reviews of Modern Physics \textbf{77}, 1225 (2005) \\
\textit{Quantum cloning}
}

\bibitem{Bennett-2000}
{
C. H. Bennett, D. P. DiVincenzo : Nature \textbf{404}, 247 (2000) \\
\textit{Quantum information and computation}
}

\bibitem{Braun-2006}
{
D. Braun, B. Georgeot : Phys. Rev. A \textbf{73}, 022314 (2006) \\
\textit{Quantitative measure of interference}
}

\bibitem{Braun-2008}
{
D. Braun, B. Georgeot : Phys. Rev. A \textbf{77}, 022318 (2008) \\
\textit{Interference versus success probability in quantum algorithms with imperfections}
}

\bibitem{Arnaud-2007}
{
L. Arnaud, D. Braun : Phys. Rev. A \textbf{75}, 062314 (2007) \\
\textit{Distribution of interference in random quantum algorithms}
}

\bibitem{Lyakhov-2007}
{
A. O. Lyakhov, D. Braun, C. Bruder : Phys. Rev. A \textbf{76}, 022321 (2007) \\
\textit{Role of interference in quantum state transfer through spin chains}
}

\bibitem{Zyczkowski-Bengtsson-1970}
{
K. Zyczkowski, I. Bengtsson : Cambridge university press (2006) \\
\textit{Geometry of quantum states : an introduction to quantum entanglement}
}

\bibitem{Choi-1975}
{
M.-D. Choi : Linear Alg. Appl. \textbf{10}, 285 (1975) \\
\textit{Completely positive linear maps on complex matrices}
}

\bibitem{Zyczkowski-2004}
{
K. Zyczkowski, I. Bengtsson : Open Syst. Inf. Dyn. \textbf{11}, 11 (2004) \\
\textit{On duality between quantum states and quantum maps}
}

\bibitem{Bose-2003}
{
S. Bose : Phys. Rev. Lett. \textbf{91}, 207901 (2003) \\
\textit{Quantum communication through an unmodulated spin chain}
}

\bibitem{Christandl-2005}
{ 
M. Christandl, A. Ekert, A. Kay and al. : Phys. Rev. A \textbf{71}, 032312 (2005) \\
\textit{Perfect transfer of arbitrary states in quantum spin networks}
}

\bibitem{Chiara-2005}
{
G. D. Chiara, D. Rossini, S. Montangero, R. Fazio : Phys. Rev. A \textbf{72}, 012323 (2005) \\
\textit{From perfect to fractal transmission in spin chains}
}

\bibitem{Karbach-2005}
{
P. Karbach, J. Stolze : Phys. Rev. A \textbf{72}, 030301 (2005) \\
\textit{Spin chains as perfect quantum state mirrors}
}

\bibitem{Yung-2005}
{
M.-H. Yung, S. Bose : Phys. Rev. A \textbf{71}, 032310 (2005) \\
\textit{Perfect state transfer, effective gates, and entanglement generation in engineered bosonic and fermionic networks}
}

\bibitem{Furman-2006}
{
G. Furman, J. S. Lee, A. K. Khitrin and al. : Phys. Rev. B \textbf{74}, 054404 (2006) \\
\textit{Stimulated wave of polarization in spin chains}
}

\bibitem{Kay-2006}
{
A. Kay : Phys. Rev. A \textbf{73}, 032306 (2006) \\
\textit{Perfect state transfer: Beyond nearest-neighbor couplings}
}

\bibitem{Franco-2008}
{
C. D. Franco, M. Paternostro, M. S. Kim : Phys. Rev. Lett. \textbf{101}, 230502 (2008) \\
\textit{Perfect state transfer on a spin chain without state initialization}
}

\bibitem{Wiesniak-2008}
{
M. Wiesniak : Phys. Rev. A \textbf{78}, 052334 (2008) \\
\textit{Heisenberg chains cannot mirror a state}
}

\bibitem{Christandl-2004}
{
M. Christandl, N. Datta, A. Ekert, A. J. Landahl : Phys. Rev. Lett. \textbf{92}, 187902 (2004) \\
\textit{Perfect state transfer in quantum spin networks}
}

\bibitem{Wojcik-2005}
{
A. Wójcik, T. Luczaka, P. Kurzynski and al. : Phys. Rev. A \textbf{72}, 034303 (2005) \\
\textit{Unmodulated spin chains as universal quantum wires}
}

\bibitem{Rugar-Budakian-Mamin-Chui-2004}
{
D. Rugar, R. Budakian, H. J. Mamin, B. W. Chui : Nature \textbf{430}, 329-332 (2004) \\
\textit{Single spin detection by magnetic resonance force microscopy}
}

\bibitem{Hanson-2007}
{
R. Hanson, L. P. Kouwenhoven and al. : Rev. Mod. Phys. \textbf{79}, 1217-1265 (2007) \\
\textit{Spins in few-electron quantum dots}
}

\bibitem{Lee-Khitrin-2005}
{
J. S. Lee, A. K. Khitrin : Phys. Rev. A \textbf{71}, 062338 (2005) \\
\textit{Stimulated wave of polarization in a one-dimensional Ising chain}
}

\bibitem{Kay-2007}
{
A. Kay : Phys. Rev. Lett. \textbf{98}, 010501 (2007) \\
\textit{Unifying quantum state transfer and state amplification}
}

\bibitem{Deng-2008}
{
H.-L. Deng, X.-M. Fang : Chin. Phys. Lett. \textbf{25}, 375 (2008) \\
\textit{One-step implementation of single spin measurement in spin star network}
}

\bibitem{Kay-2005}
{
A. Kay, M. Ericsson : New J. Phys. \textbf{7}, 143 (2005) \\
\textit{Geometric effects and computation in spin networks}
}

\bibitem{Burgarth-2009}
{
D. Burgarth, S. Bose, C. Bruder, V. Giovannetti : Phys. Rev. A \textbf{79}, 060305 (2009) \\
\textit{Local controllability of quantum networks}
}

\bibitem{Braun-1998}
{
D. Braun, G. Montambaux, M. Pascaud : Phys. Rev. Lett. \textbf{81}, 1062 (1998) \\
\textit{Boundary conditions at the mobility edge}
}

\bibitem{Haake-2010}
{
F. Haake : Springer, Third edition (2010) \\
\textit{Quantum signatures of chaos}
}

\bibitem{Roubert-2010}
{
B. Roubert, P. Braun, D. Braun : Phys. Rev. A \textbf{82}, 022302 (2010) \\
\textit{Large effects of boundaries on spin amplification in spin chains}
}

\bibitem{Abramowitz-Stegun-1970}
{
M. Abramowitz, A. Stegun : Dover Publications Inc., Ninth edition (1970) \\
\textit{Handbook of mathematical functions}
}



\end{thebibliography}

%-------------------------------------------------------------------
%                         Fin bibliographie
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\end{document}
