\chapter{Rôle de l'interférence dans le clonage quantique d'un qubit}

Dans cette section, nous nous intéressons au rôle de l'interférence dans le processus de clonage quantique d'un unique qubit (se reporter notamment à l'article \cite{Roubert-2008} pour plus de détails). Nous montrons qu'afin d'atteindre une fidélité moyenne de clonage supérieure à la valeur maximale qu'il est possible d'atteindre classiquement, l'interférence n'est pas une ressource nécessaire. En particulier, nous montrons que toute une classe de cloneurs symétriques et universels existe (dont fait parti le célèbre cloneur de Buzek-Hillery), pour laquelle il est possible d'atteindre une fidélité moyenne de clonage optimale de $5/6$, et ce à interférence nulle.







\section{Présentation des cloneurs quantiques} 

\subsection{Théorème de non-clonage}

Énoncé en 1982 par Wootters et Zurek \cite{Wootters-Zurek-1982}, le célèbre théorème de non-clonage, montre qu'il est impossible de concevoir un cloneur quantique qui puisse cloner de façon parfaite (avec une fidélité de $1$), n'importe quel état, i.e. qui puisse réaliser l'opération $\ket{\psi}\rightarrow
\ket{\psi}\otimes \ket{\psi}$ quel que soit $\ket{\psi}$ . La démonstration en est très simple. En effet, supposons qu'un tel cloneur existe. Un état $\ket{\psi}=\alpha \ket{0} + \beta \ket{1}$ est alors cloné de la façon suivante :
\begin{eqnarray*}
\ket{\psi} \ket{0} \rightarrow \ket{\psi} \ket{\psi} &=& (\alpha \ket{0} + \beta \ket{1})(\alpha \ket{0} + \beta \ket{1})\\
 &=& \alpha^2 \ket{00}~ + \alpha\beta\ket{01} + \alpha\beta\ket{10} + \beta^2\ket{11}.
\end{eqnarray*}

Or si l'on clone l'expansion de $\ket{\psi}$,  nous obtenons :
$
(\alpha \ket{0} + \beta \ket{1}) \ket{0} \rightarrow \alpha \ket{00} + \beta \ket{11}
$, achevant de démontrer qu'un tel cloneur ne peut exister. Ce théorème est à la base de la sécurité des systèmes de distribution de clefs quantiques et a donc des implications technologiques particulièrement importantes (même s'il ne s'agit là que d'une simple conséquence de la linéarité de l'évolution temporelle d'un système quantique).

\newpage

\subsection{Différence entre clonage classique et clonage quantique}

Par clonage classique on entend communément la reproduction exacte de l'état classique d'un système en autant d'exemplaires qu'on le souhaite. Cependant, le théorème de non-clonage nous empêche de transposer cette définition au cas du clonage quantique. A cette impossibilité d'un clonage parfait d'un état quantique quelconque (qui est la première différence de taille entre clonage classique et clonage quantique), se rajoutent d'autres différences portant sur la nature de l'information que l'on souhaite reproduire.

En effet, si pour des systèmes classiques nous avons (au moins en principe) un accès complet aux quantités physiques caractérisant ces derniers (e.g. les positions et impulsions de particules), pour les systèmes quantiques un tel accès nous est en effet interdit par les relations d'incertitude de Heisenberg. Ces dernières postulent par exemple dans le cas d'une particule, que toute précision supplémentaire que l'on est capable d'acquérir sur son impulsion, se fait au détriment de celle que l'on peut espérer obtenir sur sa position (et vice versa), ce qu'illustrent les relations bien connues
\begin{eqnarray*}
\Delta x \Delta p_x \apprge \hbar\, , \\
\Delta y \Delta p_y \apprge \hbar\, , \\
\Delta z \Delta p_z \apprge \hbar\,. 
\end{eqnarray*}
A cette impossibilité intrinsèque de la mécanique quantique, qui nous interdit de pouvoir connaître de façon exacte l'état quantique d'un système dans toutes les propriétés qui le définissent (position, impulsion, ...), se rajoute également ce fait que l'état classique d'un système quantique ne pré-existe pas à sa mesure comme l'a montré Alain Aspect dans une fameuse expérience (réalisée entre 1980 et 1982), où la violation observée des inégalités de Bell a démontré qu'il n'était pas possible d'obtenir une description classique de la nature qui puisse être à la fois réaliste et locale.

\subsection{Définition d'une fidélité de clonage}

\indent Dans le langage courant, nous entendons par clonage classique la capacité d'un système (le cloneur) à reproduire de façon rigoureusement identique un objet initial en autant de copies souhaitées, possédant chacune exactement les mêmes caractéristiques physiques que le modèle initial. Pour les raisons que nous venons d'évoquer précédemment, nous nous rendons compte de la difficulté qui est celle de réaliser le clonage d'un système quantique, laissant naturellement émerger la notion de fidélité avec laquelle un système quantique est reproduit par un cloneur quantique. 

Imaginons que l'on dispose de deux qubits $A$ et $B$, $A$ se trouvant dans l'état pur $\ket{\psi}=\alpha \ket{0} + \beta \ket{1}$, $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$ (représentant le qubit que l'on souhaite cloner), $B$ se trouvant dans l'état pur $\ket{0}$ (la \textit{page blanche} sur laquelle l'on souhaite réaliser la copie). A l'issue du clonage, le système $A+B$ (initialement dans l'état  $\rho^{IN}_{AB} = \ket{\psi}\bra{\psi} \otimes \ket{0}\bra{0}$) peut se retrouver dans un état intriqué $\rho^{OUT}_{AB}$ (ne pouvant être mis sous la forme $\rho^{OUT}_{AB}=\widetilde{\rho}^{\,OUT}_A\otimes\widetilde{\rho}^{\,OUT}_B$). Nous définissons alors pour chaque sous-système les fidélités de clonage 
\begin{eqnarray}
F_A(\psi)=\bra{\psi}Tr_B(\rho^{OUT}_{AB})\ket{\psi}\\
F_B(\psi)=\bra{\psi}Tr_A(\rho^{OUT}_{AB})\ket{\psi}
\end{eqnarray}

\noindent avec $\rho^{OUT}_{AB} = \ketbra{\Psi_{AB}^{OUT}}$ et  $\ket{\Psi_{AB}^{OUT}} = \hat{U}\ket{\Psi_{AB}^{IN}}$ (où $\hat{U}$ désigne l'évolution unitaire que suit le système total $A+B$ durant le processus de clonage).


\subsection{Définition d'une fidélité moyenne de clonage}


\noindent Dans le cas de cloneurs non-universels, les fidélités 
\begin{eqnarray}
F_j(\theta,\phi)=\langle\psi(\theta,\phi)| 
\rho_j^{OUT} | \psi(\theta,\phi)\rangle \mbox{ : } j\in\left\{A,B\right\},
\end{eqnarray}
pour lesquelles nous avons défini les matrices densités réduites :
\begin{eqnarray*}
&~&\rho_A^{OUT}=Tr_B(\rho^{OUT}_{AB}),\\
&~&\rho_B^{OUT}=Tr_A(\rho^{OUT}_{AB}),
\end{eqnarray*}
dépendent de l'état initial $|\psi(\theta,\phi)\rangle$ (paramétrisés par les angles $\theta$ et $\phi$ sur la sphère de Bloch). \\


\noindent Afin de pouvoir déterminer l'efficacité de clonage de tels cloneurs, il nous est donc nécessaire d'introduire la notion de fidélités moyennes de clonage définies par 
\begin{equation} 
\overline{F}_j = \frac{1}{4\pi}\int_{0}^{2\pi} d\phi\int_{0}^{\pi} ~d\theta \sin(\theta) F_j(\theta,\phi)~ : j\in\left\{A,B\right\}.
\end{equation}
 

\subsection{Cloneur de Buzek et Hillery}

Buzek et Hillery ont montré qu'il était possible de concevoir un cloneur quantique à 2 qubits universel (même fidélité de clonage quelque soit $\ket{\psi}$) et symétrique ($F_A(\psi)=F_B(\psi)$ pour tout $\ket{\psi}$) qui atteint des fidélités $F_A(\psi)=F_B(\psi)=5/6$, valeur maximale qu'il est possible d'atteindre pour de tels cloneurs \cite{Gisin-1997,Brub-1998}. Cette valeur est également la valeur maximale qui reste compatible avec la condition qu'aucun signal ne peut dépasser la vitesse de la lumière \cite{Gisin-1998}.\\

Dans leur article \cite{Buzek-Hillery-1996}, partant d'un système constitué d'un qubit $A$ (dans l'état $|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$) et d'un qubit $B$ (dans l'état $|0\rangle$), les auteurs construisent un cloneur qui produit deux états mélangés 
\begin{eqnarray}
\rho_A^{OUT}=\rho_B^{OUT}=\frac{5}{6}|\psi\rangle\langle\psi|+\frac{1}{6}
|\psi^\perp\rangle\langle\psi^\perp|,
\end{eqnarray}
où $|\psi^\perp\rangle=\alpha^*|1\rangle-\beta^*|0\rangle$ est l'état orthogonal à $|\psi\rangle$. Dans ce cloneur un seul qubit auxiliaire (représenté par l'état $|Q\rangle_X$ du cloneur) est nécessaire pour rendre possible cette opération de clonage. De façon plus détaillée, le cloneur de Buzek et Hillery réalise les opérations suivantes :
\begin{eqnarray}
\label{eq:Cloneur-de-Buzek-et-Hillery}
|0\rangle_A|0\rangle_B|Q\rangle_X &\rightarrow& |0\rangle_A |0\rangle_B|
 Q_0\rangle_X + \left( |0\rangle_A |1\rangle_B +|1\rangle_A |0\rangle_B
 \right) |Y_0\rangle_X\nonumber\\
|1\rangle_A|0\rangle_B|Q\rangle_X &\rightarrow& |1\rangle_A |1\rangle_B |
 Q_1\rangle_X + \left( |0\rangle_A |1\rangle_B +|1\rangle_A |0\rangle_B
 \right) |Y_1\rangle_X \,. 
\end{eqnarray}




\subsection{Cloneurs universels atteignant la valeur optimale classique}

Il a été montré que la valeur optimale qu'il est possible d'atteindre classiquement pour des cloneurs universels symétriques (au sens des fidélités moyennes) est telle que $\overline{F}_A=\overline{F}_B=2/3$ \cite{Horodecki-1999}. Le clonage est classique dans le sens où il agit comme une application stochastique sur  les probabilités de l'état initial (éléments diagonaux de la matrice densité  initiale) sans aucun accès aux cohérences (éléments hors-diagonaux de la matrice densité initiale). Il est très simple de construire des cloneurs quantiques atteignant la valeur maximale classique. Par exemple, il est possible de construire un cloneur quantique à 2 qubits universel et symétrique pour lequel $\overline{F}_A=\overline{F}_B=2/3$ tout simplement en mesurant le premier qubit dans une base orthogonale choisie de façon aléatoire et uniformément sur la sphère de Bloch, et en préparant le second qubit dans l'état trouvé lors de la mesure  \cite{Scarani-2005}. Un autre exemple trivial de cloneur à 2 qubits symétrique et universel consiste à laisser le premier qubit, à mettre le second dans un état pur aléatoire, puis à échanger les deux avec une probabilité de $1/2$ ce qui conduit à des fidélités moyennes $\overline{F}_A=\overline{F}_B=3/4$. 
\section{Clonage quantique et interférence}
\subsection{Intérêt de l'interférence}
Lorsqu'un processus quantique présente de meilleures performances que le meilleur de ses homologues classiques, il est naturel de s'interroger sur la nature des ressources physiques qui sont à même de pouvoir expliquer ces différences : l'intrication et l'interférence (au sens de la définition que nous en donnons dans la section \ref{sec:Interference}) sont les deux ressources potentielles les plus évidentes \cite{Bennett-2000}.

Le fait que le clonage quantique prenne en compte les cohérences des matrices densités (à la différence du clonage classique), conduit naturellement à cette hypothèse que l'interférence doit jouer un rôle important dans le processus de clonage. Tourné d'une d'autre façon, il semblerait vraisemblable qu'un cloneur n'utilisant pas du tout d'interférence ne soit pas capable de dépasser la valeur maximale atteinte classiquement. Cependant, de façon contre-intuitive, nous montrons que le contraire est vrai, i.e. qu'il est possible de construire toute une classe de cloneurs quantiques n'utilisant pas d'interférence, dépassant non seulement la valeur maximale classique, mais encore atteignant la valeur maximale possible pour la fidélité moyenne dans le cas symétrique et universel ($\overline{F}_A(\psi)=\overline{F}_B(\psi)=5/6$).


Afin de pouvoir présenter le résultat de nos travaux il est nécessaire dans un premier temps de définir de façon précise le concept d'interférence (développé dans la section \ref{sec:Interference}). Une mesure quantitative de cette dernière a été introduite dans  \cite{Braun-2006} et utilisée pour étudier l'interférence dans certains algorithmes quantiques, conduisant notamment à l'hypothèse qu'une quantité exponentielle d'interférence est nécessaire dans un algorithme quantique unitaire si l'on souhaite que ce dernier offre une accélération exponentielle par rapport aux algorithmes classiques correspondants. Cette hypothèse a notamment été étayée par des simulations numériques lors de l'étude de l'interférence au sein de versions perturbées des algorithmes de Grover et de Shor \cite{Braun-2008}. Dans \cite{Arnaud-2007} il a été montré que l'interférence d'algorithmes quantiques aléatoires est avec une grande probabilité proche de sa valeur maximale, tandis que dans  \cite{Lyakhov-2007} il a été montré que l'interférence jouait au plus un r\^{o}le mineur dans le transfert d'information quantique dans des chaînes de spins.


Dans la section \ref{sec:Interference}, nous introduisons une mesure d'interférence. Puis nous donnons une formulation générale des cloneurs quantiques en terme de matrices dynamiques et récrivons la mesure d'interférence dans ce formalisme (section \ref{sec:Matrice-dynamique}). Les fidélités moyennes de clonage étant des fonctions linéaires relativement aux éléments des matrices densités, nous pouvons reformuler la condition d'interférence nulle par des contraintes linéaires. Trouver les systèmes atteignant une fidélité moyenne de clonage optimale en absence d'interférence, revient alors à résoudre un problème d'optimisation convexe que nous traitons dans le cas asymétrique $\overline{F}_A\neq\overline{F}_B$ et dans  le cas symétrique
$\overline{F}_A=\overline{F}_B$. Ce dernier cas nous conduit à toute une classe de cloneurs (dont le cloneur de Buzek et Hillery) atteignant des fidélités moyennes optimale de $5/6$ et ce en absence d'interférence.

 
\subsection{Définition d'une mesure d'interférence}
\label{sec:Interference}

\subsubsection{Propagateur d'une matrice dynamique}

La propagation d'un système quantique traduit comment un système initialement dans un état  $\rho^{IN}$ évolue vers un état final $\rho^{OUT}$. Nous appelons propagateur $P$, le super-opérateur qui traduit l'évolution (qui peut être non unitaire) $\rho^{OUT} = P \rho^{IN}$. Exprimée dans la base computationnelle des états $\ket{k}$ ($k\in[1,2^N]$), nous obtenons (cf. \cite{Zyczkowski-Bengtsson-1970} et \cite{Roubert-2008}) la formule suivante qui traduit le lien qu'il existe entre les éléments matriciels de  $\rho^{IN}$, de $\rho^{OUT}$ et de $P$ (on note $\bra{i}\rho\ket{j} = \rho_{ij}$) :
\begin{eqnarray}
\rho^{OUT}_{ij} = \sum_{k,\,l} P_{ij,kl} \rho^{IN}_{kl}\,.
\end{eqnarray}

\subsubsection{Propriétés attendues d'une mesure d'interférence}

Nous allons maintenant définir une mesure d'interférence qui s'applique à n'importe quelle propagation . Remarquons que cette dernière n'est pas définie de façon unique, mais nous utiliserons dans la suite de ce manuscrit la définition que nous allons en donner ci-dessous. D'une mesure d'interférence nous attendons plusieurs propriétés : \\

\begin{enumerate}
\item Tout d'abord qu'elle mesure le degré de cohérence d'une propagation quantique donnée, i.e. quelle soit capable de déterminer dans quelle mesure les cohérences de la matrice densité initiale contribuent aux cohérences et aux probabilités de la matrice densité finale.
\item Ensuite qu'elle mesure l'équipartition de cette propagation : par exemple une propagation cohérente qui ne ferait que permuter les amplitudes de l'état initial ne créé pas d'interférence. Pour créer de l'interférence, il est nécessaire qu'au moins deux états se retrouvent superposés de façon cohérente. Nous attendons de la mesure d'interférence qu'elle traduise la contribution de chaque amplitude de l'état initial relativement à chaque amplitude de l'état final, et qu'elle soit maximisée si chacun des états de base  pris comme état de départ produit un état de sortie équipartitionné (i.e.~qui a la même densité de probabilité d'être dans chacun des états de la base).
\item Enfin qu'elle soit dépendante de la base dans laquelle nous nous plaçons. Par exemple, dans le cas de l'expérience des fentes d'Young, si l'on observe le résultat à la sortie des fentes dans la base des vecteurs d'onde, aucun motif d'interférence n'est observé (juste une distribution de probabilité).
\end{enumerate}




Une mesure d'interférence doit donc mesurer la cohérence d'une propagation, son équipartition, et dépendre de la base dans laquelle elle est effectuée. La définition que nous en donnons ci-dessous associe à chaque propagateur $P$ un nombre réel compris entre $0$ et $M-1$, où $M$ est la dimension de l'espace de Hilbert dans lequel agissent $\rho^{IN}$ et $\rho^{OUT}$. Pour un état pur initial $\rho^{IN}=\ketbra{\psi}$, avec $\ket{\psi}=\sum_{k=1}^M a_k \ket{k}$, les amplitudes $a_k=|a_k|e^{i \phi_k}$ de phase $\phi_k$ conduisent à des probabilités finales 
\begin{eqnarray}
p^{OUT}_i = \abs{\rho^{OUT}_{ii}}=\sum_{j,\, k} P_{ii,jk} e^{i(\phi_j-\phi_k)}\abs{a_j a_k}\,.
\end{eqnarray}

\subsubsection{Définition d'une mesure de cohérence $\mathcal{C}(P)$}


Si l'on définit la matrice réelle de sensibilité de phase $S$ par $S_{il}=\partial p^{OUT}_i/ \partial\phi_l$ et la matrice semi-définie positive $SS^{T}$, avec $SS^{T}=0$ ssi $\partial p^{OUT}_i/\partial \phi_l=0$ pour  $i,l\in[1,M]$, la mesure de cohérence $\mathcal{C}(P)$ peut être définie en moyennant sur toutes les phases initiales $\phi_k$ et en prenant la trace de $SS^{T}$, i.e.
\begin{eqnarray}
\label{eq:Mesure-de-cohérence}
\mathcal{C}(P)=\frac{1}{(2\pi)^M}\int_{0}^{2\pi} d\phi_1 \ldots d\phi_M tr(SS^{T})\, ,
\end{eqnarray}
qui après quelques calculs conduit à l'équation
\begin{eqnarray}
\label{eq:Mesure-de-cohérence-Simplification}
\mathcal{C}(P)=2 \sum_{i,\,k}\sum_{l \neq k}\abs{P_{ii,lk} a_k a_l}^2 \,.
\end{eqnarray}

\subsubsection{Forme finale de la mesure d'interférence}

La mesure de cohérence (\ref{eq:Mesure-de-cohérence-Simplification}) dépend encore des amplitudes de l'état initial. Dans \cite{Braun-2006} les auteurs décident de donner une définition de l'interférence qui prend comme état de départ un état équipartitionné pour lequel $\forall k\in[1,M] : \abs{a_k}=\frac{1}{\sqrt{M}}$. Ainsi, après une dernière multiplication par un terme $M^2/2$ nous obtenons la mesure d'interférence


\begin{equation} \label{IM}
\cI(P)=\sum_{i,\,k,\,l}\abs{P_{ii,kl}}^2-\sum_{i,\,k}\abs{P_{ii,kk}}^2\,.
\end{equation}


Nous pouvons voir facilement que $\mathcal{I}(P)$ possède effectivement la propriété d'être de valeur nulle dans le cas d'une propagation classique stochastique pour laquelle $P_{ij,kl}=M_{ik}\delta_{ij}\delta_{kl}$ (où $M$ est une matrice stochastique telle que $p_i^{OUT}=\sum_{k}M_{ik}p^{IN}_k$). Une telle propagation présente un caractère classique puisque les probabilités finales sont déterminées par les seules probabilités initiales.
 

\subsubsection{Cas particulier d'une propagation unitaire}


Dans le cas où tous les états purs initiaux restent purs durant la propagation la cohérence est par définition parfaite. Dans ce cas  $\rho^{OUT}=\ketbra{\psi^{OUT}}$ avec $\ket{\psi^{OUT}} = \hat{U} \ket{\psi^{IN}}$ (où $\hat{U}$ est un opérateur unitaire), et $P$ peut alors s'écrire comme $P(U)$ avec : $P_{ii,kl} = U_{ik} U_{il}^{*}$. En utilisant que $\sum_{i,\,k,\,l=1}^M \left|U_{il}U_{ik}\right|^2=M$ en raison de l'unitarité de $\hat{U}$, nous obtenons alors :


\begin{eqnarray}
\mathcal{I}(P(U))=\left(M-\sum_{i,\,k}\abs{U_{ik}}^4\right)\,.
\end{eqnarray}












\subsection{Clonage quantique en terme de matrice dynamique}
\label{sec:Matrice-dynamique}

\subsubsection{Opération de reshuffling}


Afin de pouvoir faire la transition entre le formalisme du propagateur et celui de la matrice dynamique, il est nécessaire de définir une  transformation agissant dans l'espace des matrices carrées : l'opération de  reshuffling.\\

Considérons dans un premier temps que l'on dispose d'une base  $\mathcal{B}$ de $2^{2N}=4^N$ états $\ket{ij}$, avec $i,j\in[0,2^N-1]$ (par exemple pour $N=1$ : $\mathcal{B}_1=\left\{\ket{00},\ket{01},\ket{10},\ket{11}\right\}$, pour $N=2$ : $\mathcal{B}_2=\left\{\ket{00},\ldots,\ket{03},\ldots,\ket{30},\ldots,\ket{33}\right\}$, etc.). Si l'on considère une matrice $A$ dans la base $\mathcal{B}$ (donc de dimension $4^N\times 4^N$), l'opération de reshuffling de cette matrice permet d'obtenir une nouvelle matrice $A^{R}$ où les éléments matriciels sont reliés par la relation : $A^{R}_{ij,kl} = A_{ik,jl}$. Afin d'illustrer cette opération, nous en observons sur la figure \ref{fig:Opération-de-reshuffling-sur-une-matrice-4x4-Double-indice} l'effet sur une matrice $4\times 4$ (correspondant donc à $N=1$). Nous constatons que cette opération a pour effet de réorganiser  chaque ligne de $4^N$ éléments de $A$ en un sous-bloc carré de dimension $2^N\times 2^N$ de la matrice $A^R$.

\FloatBarrier
\begin{figure*}[ht!]
\centering
\includegraphics[width=14cm]{Clonage-sans-interférence-Opération-de-reshuffling-sur-une-matrice-4x4-Double-indice.eps}
\caption{Opération de reshuffling sur une matrice $4\times 4$ (correspondant à $N=1$). Les éléments en rouges sont les éléments différents entre $A$ et $A^R$.}
\label{fig:Opération-de-reshuffling-sur-une-matrice-4x4-Double-indice}
\end{figure*}

\newpage

\subsubsection{Matrice dynamique} 


Dans la présente section, nous donnons une reformulation des cloneurs quantiques à $2$ qubits dans le cadre du formalisme de la matrice dynamique introduit par Choi \cite{Choi-1975} et Zyczkowski \cite{Zyczkowski-2004}. La matrice dynamique $D$ associée au super-opérateur $P$, s'obtient par un simple reshuffling de ce dernier, i.e.~$D_{ik,jl}= P_{ij,kl}$, ce qui conduit à 
\begin{equation} 
\label{rhoijD}
\rho_{ij}^{OUT}=\sum_{k,\,l}D_{ik ,jl}\rho_{kl}^{IN}\,.
\end{equation}


Étant donné que l'on considère un cloneur à $2$ qubits, la matrice dynamique correspondante est de taille $16\times 16$ : en effet, la base computationnelle comprend les $4$ éléments $\ket{00}=\ket{0}$, $\ket{01}=\ket{1}$, $\ket{10}=\ket{2}$, $\ket{11}=\ket{3}$, et la matrice dynamique $D$ traduit comment sont obtenus les $4\times 4$ éléments
$\rho^{OUT}_{i,j}$ à partir des $4\times 4$ éléments $\rho^{IN}_{i,j}$. L'avantage de cette reformulation est que si l'on considères $ik$ et $jl$ 
comme des indices uniques $I$ et $J$ ($I,J\in\left\{0,\ldots,15\right\}$ correspondant à des valeurs de $ik,jl\in\left\{00, \ldots,03,\ldots,30,\ldots,33\right\}$), nous obtenons alors que
$D_{ik,jl}\equiv D_{IJ}$ et
la matrice $D$ acquiert alors certaines propriétés pratiques, héritées des propriétés de $\rho^{OUT}$. Il peut être montré notamment que $D$ est hermitienne
($D_{IJ}=D_{JI}^*$) et bloc-positive ($\forall |\psi\rangle =|u\rangle\otimes|v \rangle$ : $\langle \psi|D|\psi\rangle\ge 0$, où $|u\rangle$ et
$|v\rangle$ sont des états arbitraires purs à 1 qubit).\\

La bloc-positivité de $D$ et la condition de normalisation de $\rho^{OUT}$ \cite{Zyczkowski-2004}, impliquent respectivement les conditions suivantes sur les éléments matriciels de la matrice dynamique :
\begin{eqnarray}
\label{eq:Matrice-dynamique-Condition-de-bloc-positivité}
0\le D_{ij,ij}\le 1,\\
\label{eq:Matrice-dynamique-Condition-de-normalisation-de-rho-out}
\forall j : \sum_{i=0}^3 D_{ij, ij}=1 \, .
\end{eqnarray}

Étant donnée la nature linéaire de la propagation de la matrice densité
(cf. équation (\ref{rhoijD})), la moyenne sur tous les états initiaux pour les fidélités
$\oF_A$ et $\oF_B$ peut être réalisée une fois pour toute (cf. l'annexe A pour le calcul détaillé), et conduit à 
\begin{eqnarray}
\label{Fad}
\oF_A&=&\frac{1}{6}\Big(
2D_{00, 00}+D_{00, 22}+D_{02, 02}+2D_{10, 10}+D_{10, 32}+D_{12, 12}\nonumber\\
&&+D_{20, 20}+D_{22, 00}+2D_{22, 22}+D_{30, 30}+D_{32, 10}+2D_{32, 32}\Big)\, ,\\
\label{Fbd}
\oF_B&=&\frac{1}{6}\Big(
2D_{00, 00}+D_{00, 12}+D_{02, 02}+D_{10, 10}+D_{12, 00}+2D_{12, 12}\nonumber\\
&&+2D_{20, 20}+D_{20, 32}+D_{22, 22}+D_{30, 30}+D_{32, 20}+2D_{32, 32}
\Big)\,.
\end{eqnarray}
Seuls 12 éléments matriciels de  $D$ déterminent donc la fidélité moyenne des clones $A$ et $B$. Les équations (\ref{Fad}) et (\ref{Fbd}) peuvent être récrites sous la forme
\begin{equation} \label{FAA}
\oF_A={\cal A}\cdot D,\,\,\,\,\oF_B={\cal B}\cdot D\, ,
\end{equation}
où ${\cal A}$ et ${\cal B}$ sont des matrices hermitiennes extraites des équations~(\ref{Fad}) et (\ref{Fbd}), la multiplication dans (\ref{FAA}) étant comprise comme un produit scalaire entre deux matrices $16\times 16$, i.e.~ 
\begin{equation} \label{sp}
{\cal A}\cdot D=\sum_{I,J=0}^{15}{\cal A}_{IJ}\cdot D_{IJ}\,.
\end{equation}
De même pour l'interférence, l'équation (\ref{IM}) est récrite comme 
\begin{equation} \label{IMD}
\cI(D)=\sum_{i,\,k,\,l}|D_{ik, il}|^2-\sum_{i,\,k}|D_{ik, ik}|^2\,. 
\end{equation}
Afin d'avoir une interférence nulle, il est donc clair que nous devons respecter la condition  
\begin{equation} 
\label{eq:Matrice-dynamique-Condition-d-interférence-nulle}
\forall k \ne l \mbox{ : } D_{ik, il}=0 \,.
\end{equation}





\noindent En d'autres mots, si nous souhaitons avoir une interférence nulle, $D$ doit avoir la forme d'une matrice dont les éléments matriciels hors-diagonaux des blocs diagonaux sont nuls (en raison de l'équation (\ref{eq:Matrice-dynamique-Condition-d-interférence-nulle})), et dont les éléments matriciels respectent les équations (\ref{eq:Matrice-dynamique-Condition-de-bloc-positivité}) (qui traduit la condition que $D$ est bloc-positive), et (\ref{eq:Matrice-dynamique-Condition-de-normalisation-de-rho-out}) (qui traduit la condition que $\rho^{OUT}$ soit normalisée). Toutes ces conditions conduisent à une forme générale pour une telle matrice dynamique, dont une représentation est donnée dans la figure \ref{fig:Forme-de-la-matrice-dynamique-d-interférence-nulle}.



\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=9cm]{Clonage-sans-interférence-Forme-de-la-matrice-dynamique-d-interférence-nulle.eps}
\caption{Forme générale d'une matrice dynamique $D$ d'interférence nulle. Les sous-blocs $D_{I,J}$, $I\neq J$, sont des matrices $4\times 4$ d'éléments complexes. Les termes $a_i$, $b_i$, $c_i$, $d_i$ vérifient les relations $\sum_{i=1}^4 a_i = \sum_{i=1}^4 b_i =\sum_{i=1}^4 c_i =\sum_{i=1}^4 d_i =1$.}
\label{fig:Forme-de-la-matrice-dynamique-d-interférence-nulle}
\end{figure}




\subsubsection{Propagation classique}

Comme il a été précisé précédemment, nous entendons par clonage classique d'une distribution de probabilités, la propagation de ces dernières
par une application classique stochastique, i.e.~  
\begin{equation} 
\label{rhoijC}
\rho_{ii}^{OUT}=\sum_k D_{ik ,  ik}~\rho_{kk}^{IN}\,,
\end{equation}
où seuls les éléments matriciels diagonaux $D_{ik,ik}$ contribuent. Ce clonage peut être qualifié de classique dans le sens où les cohérences des matrices densités initiale ou finale n'interviennent pas dans la propagation. En utilisant en plus l'équation (\ref{eq:Matrice-dynamique-Condition-de-normalisation-de-rho-out}), nous obtenons alors  les fidélités classiques moyennes
\begin{eqnarray}
\oF_A^{cl}&=&\frac{1}{6}\left(3+D_{00, 00}+D_{10, 10}-D_{02, 02}-D_{12, 12}\right)\, ,\\
\oF_B^{cl}&=&\frac{1}{6}\left(3+D_{00, 00}+D_{20, 20}-D_{02, 02}-D_{22, 22}\right)\,.
\end{eqnarray}
La bloc-positivité de la matrice dynamique $D$ (cf. équation (\ref{eq:Matrice-dynamique-Condition-de-bloc-positivité})) imposant : $0\le D_{00, 00}+D_{10, 10}\le 1$, $0\le
D_{02, 02},D_{12, 12}\le 1$, $0\le
D_{00, 00}+D_{20, 20}\le 1$, et $0\le 
D_{02, 02},D_{22, 22}\le 1$ , nous obtenons immédiatement des limites pour  $\oF_A^{cl}$ et $\oF_B^{cl}$, à savoir
\begin{equation} \label{bFcl}
\frac{1}{3}\le \oF_A^{cl},\oF_B^{cl}\le \frac{2}{3}\,.
\end{equation}
La limite supérieure reproduit celle trouvée dans \cite{Horodecki-1999}. Un état pur inconnu à un qubit ne peut être par conséquent cloné classiquement avec une fidélité moyenne supérieure à $2/3$. Il est à noter que la limite supérieure est saturée par une application classique identité (pour laquelle $D_{ik, ik}=\delta_{ik}$), qui copie parfaitement les probabilités, mais non pas les cohérences quantiques.

\subsection{Optimisation convexe}

Les équations (\ref{Fad})  et (\ref{Fbd}), nous montrent que les fidélités moyennes $\oF_A$ et $\oF_B$ sont des fonctions linéaires (et par conséquent convexes) des éléments matriciels $D_{ik, jl}$. La matrice dynamique $D$ quant à elle, possède  12 éléments matriciels indépendants $D_{ij, ij}$ sur la diagonale (en raison des 4 conditions de normalisation issues de l'équation (\ref{eq:Matrice-dynamique-Condition-de-normalisation-de-rho-out})),
et six  sous-blocs $4\times 4$ (cf. la figure \ref{fig:Forme-de-la-matrice-dynamique-d-interférence-nulle}) avec  des éléments matriciels non nuls complexes, de telle façon que $D$ contient in fine $204$ variables réelles indépendantes. 





Le problème d'optimisation auquel nous nous intéressons est donc le suivant : étant données les matrices hermitiennes $\mathcal{A}$, $\mathcal{B}$, et $D$ telles que $\oF_A={\cal A}\cdot D$ et $\oF_B={\cal B}\cdot D\,$ au sens du produit matriciel défini par l'équation (\ref{sp}) (avec $D$ comportant $204$ paramètres indépendants, et $\oF_A$ et $\oF_B$ définis par les équations (\ref{Fad})  et (\ref{Fbd})), nous recherchons les valeurs des éléments $D_{ik,jl}$ pour lesquels les fonctions $\oF_A$ et $\oF_B$ atteignent des valeurs minimales ou maximales, dans les cas $\oF_A\neq\oF_B$ (cloneurs asymétriques) et $\oF_A=\oF_B$ (cloneurs symétriques).


L'optimisation est réalisée sur  l'ensemble de toutes les matrices dynamiques satisfaisant aux contraintes mentionnées précédemment (hermicité, bloc-positivité, traces partielles unitaires, éléments matriciels hors-diagonaux des blocs diagonaux nuls afin d'avoir une interférence nulle). Le grand nombre de variables indépendantes dans ce problème d'optimisation appelle à une résolution numérique. Heureusement, le problème appartient à la classe des problèmes d'optimisation convexe, puisque les deux fonctions qui doivent être optimisées ($\oF_A$ et $\oF_B$) sont convexes, de même que le domaine autorisé pour $D$ (en effet l'ensemble des matrices bloc-positives est  convexe, et toutes les autres contraintes sont linéaires, i.e.~ne changent pas la convexité du domaine autorisé).

On peut noter que si l'on impose la condition plus forte de positivité, le problème se réduit à un exemple de programmation semi-définie (i.e. d'optimisation d'une fonction convexe sur une matrice hermitienne positive, avec d'éventuelles contraintes linéaires). Des routines pour résoudre de tels problèmes de programmation semi-définie sont à disposition dans la communauté. Alors que l'on pourrait s'inquiéter qu'imposer une condition de positivité plutôt que de bloc-positivité conduise à une perte de généralité, nous montrons que pour un cloneur symétrique avec interférence nulle, la fidélité maximale autorisée de $5/6$ est atteinte dans l'espace des matrices positives, de telle façon qu'étendre l'espace des matrices à celles qui sont blocs-positives, mais non positives, n'améliore pas le résultat.


Dans la suite nous appellerons ${\cal D}$ l'ensemble convexe de toutes les matrices dynamiques positives donnant lieu à une interférence nulle. Afin de résoudre ce problème d'optimisation convexe, nous avons utilisé la routine Sedumi du package Yalmip sous Matlab, et trouvé que pour le cas symétrique $\oF_A=\oF_B$, la matrice dynamique optimale $D^{\rm
  opt}$ donnée par la figure \ref{fig:Matrice-dynamique-optimale} conduit à des fidélités moyennes maximales $\oF_A=\oF_B=5/6$, c'est à dire à la fidélité moyenne maximale pour un cloneur universel symétrique
\cite{Gisin-1997,Brub-1998,Gisin-1998}, et ce en absence d'interférence.\\

\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=11cm]{Clonage-sans-interférence-Matrice-dynamique-optimale.eps}
\caption{Matrice dynamique optimale $D^{opt}$ (cf. \cite{Roubert-2008}).}
\label{fig:Matrice-dynamique-optimale}
\end{figure}
~\\
Il est simple de vérifier que le cloneur quantique que nous avons trouvé est universel, i.e.~que tout état initial pur est copié avec la même fidélité  $F_A=F_B=5/6$. Sur la figure \ref{fig:Optimisation-convexe}, nous traçons (courbe noire) les valeurs maximales et minimales de $\oF_B$ (ou de $\oF_A$) pour un $\oF_A$ (ou $\oF_B$) donné.
Nous voyons tout d'abord que la fidélité moyenne minimale pour de tels cloneurs est de $1/3$. Ensuite, nous observons que les fidélités moyennes peuvent atteindre dans le cas asymétrique $\oF_A\neq \oF_B$ une valeur unitaire lorsque l'un des qubits est dans un état complètement aléatoire (i.e. $\overline{F}=1/2$). La figure montre également qu'il existe tout un domaine de cloneurs asymétriques pour lesquels  $\oF_A$ et $\oF_B$ sont tous les deux supérieurs à la limite classique de $2/3$ (zone gris-foncé).
Enfin nous retrouvons le résultat que le meilleur cloneur symétrique ne peut excéder des fidélités moyennes de $5/6$ (point rouge).

\FloatBarrier
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=6cm]{Clonage-sans-interférence-Optimisation-convexe.eps}
\caption{Fidélités moyennes minimale et maximale $\oF_B(\oF_A)$ et $\oF_A(\oF_B)$  d'un cloneur sans interférence (lignes noires continues) enfermant le domaine convexe (régions grises) de tous les cloneurs sans interférence possédant une matrice dynamique $D$ positive (cf. \cite{Roubert-2008}).}
\label{fig:Optimisation-convexe}         
\end{figure}


\subsection{Classe générale de cloneurs symétriques optimaux sans interférence}
\label{sec:Classe-générale}
Traiter ce problème d'optimisation dans le cadre de la programmation semi-définie nous garantit qu'un extremum local est également un extremum global. Cependant, il n'est pas exclu qu'il puisse exister d'autres machines avec la même fidélité. En effet, nous allons montrer qu'il existe toute une classe de cloneurs symétriques qui atteignent tous la fidélité maximale de $5/6$ sans utiliser d'interférence.




Tout d'abord, remarquons que la matrice dynamique  $D^{\rm opt}$ a les valeurs propres 1 (2 fois dégénérée), $1/4$ (8 fois dégénérée), et 0 (6 fois dégénérée). Comme $D^{\rm opt}$ est réelle et symétrique, ses vecteurs propres forment une matrice réelle orthogonale $O$. 
L'idée est alors d'ajouter une perturbation hermitienne $W$ à $D^{\rm
  opt}$ dans le sous-espace des vecteurs propres de $D^{\rm opt}$ qui correspond aux valeurs propres non nulles, et qui laisse les traces partielles inchangées. Si la perturbation est suffisamment faible, la positivité de  $D^{\rm opt}$ ne peut être compromise immédiatement. De plus, une perturbation peut être facilement construite de telle façon qu'elle soit orthogonale à la fois à 
${\cal 
  A}$ et ${\cal B}$ dans le sens du produit scalaire (\ref{sp}). 

Soit
$w_{IJ}$ les éléments matriciels de $W$ ($0\le I,J\le 15)$ dans la base propre de 
 $D^{\rm opt}$. 
En se replaçant dans la base computationnelle, $\widetilde{W}=OWO^{T}$, nous trouvons
${\cal A}\cdot \widetilde{W}$=${\cal B}\cdot \widetilde{W}
$=$5(w_{00}+w_{11})/12$.  
Les fidélités moyennes $\oF_A=\oF_B$ restent donc inchangées pour 
\begin{equation} \label{oa}
w_{11}=-w_{00}\,.
\end{equation}

\newpage

Si l'on tient compte de l'obligation que les traces partielles restent inchangées, nous obtenons les conditions supplémentaires
\begin{eqnarray}
w_{00}=w_{11}&=&0\, ,\\
w_{3\,3}+w_{5\,5}+w_{7\,7}+w_{9\,9}&=&0\, ,\\
w_{2\,2}+w_{4\,4}+w_{6\,6}+w_{8\,8}&=&0\label{w22}\,.
\end{eqnarray}


La dernière chose qu'il nous reste à imposer, est que de retour dans la base computationnelle, la perturbation ait toujours les termes hors-diagonaux de ses blocs diagonaux nuls, de façon à conserver l'interférence nulle. Cela implique que $w_{0\,1}$,
$w_{0\,2}$,  $w_{0\,3}$, $w_{0\,4}$, $w_{0\,5}$, $w_{0\,6}$, $w_{0\,7}$,
$w_{1\,4}$, $w_{1\,5}$, $w_{1\,6}$, $w_{1\,7}$, $w_{1\,8}$, $w_{1\,9}$, 
$w_{2\,3}$, $w_{4\,5}$, $w_{6\,7}$, $w_{8\,9}$  soient nuls. 



Il nous reste donc une large classe de matrices dynamiques $\widetilde{D}^{\rm
  opt}$ qui peuvent êtres écrites comme  
 $4\times 4$ sous-blocs $\widetilde{D}^{\rm opt}_{I\,J}$ de $4 \times 4$ éléments complexes  avec $ \widetilde{D}^{\rm opt}_{I\,J} =
\left(\widetilde{D}^{\rm opt}_{J\,I}\right)^{\dag}$  et  
$ I,J \in \left\{ 0 ,\ldots , 3 \right\} $ où nous obtenons pour les blocs diagonaux les formes suivantes :
\begin{eqnarray*}
&~&\widetilde{D}^{\rm
    opt}_{0\,0} = {\rm diag}
\left(\frac{2}{3},\frac{1}{4}+w_{9\,9},0,
\frac{1}{4}+w_{8\,8}\right),  \\
&~&\widetilde{D}^{\rm opt}_{1\,1} =
  {\rm diag}\left(\frac{1}{6},\frac{1}{4}+w_{7\,7},\frac{1}{6},
\frac{1}{4}+w_{6\,6}\right), \\
&~&\widetilde{D}^{\rm opt}_{2\,2} =
  {\rm diag}\left(\frac{1}{6},\frac{1}{4}+w_{5\,5},\frac{1}{6},
\frac{1}{4}+w_{4\,4}\right), \\
&~&\widetilde{D}^{\rm opt}_{3\,3} =
  {\rm diag}\left(
0,\frac{1}{4}+w_{3\,3},\frac{2}{3},\frac{1}{4}+w_{2\,2} \right),
\end{eqnarray*}

\noindent et pour les blocs hors-diagonaux :
\begin{eqnarray*} 
\widetilde{D}^{\rm opt}_{0\,1}=
\left(
\begin{array}{cccc}
0&0&\frac{1}{3}&0\\
\frac{w_{0\,9}^{*}}{\sqrt{6}}&w_{7\,9}^{*}&0&w_{6\,9}^{*}\\
0&0&0&0\\
\frac{w_{0\,8}^{*}}{\sqrt{6}}&w_{7\,8}^{*}&0&w_{6\,8}^{*}\\
\end{array}
\right), \,\,\,
\widetilde{D}^{\rm opt}_{0\,2}=
\left(
\begin{array}{cccc}
0&0&\frac{1}{3}&0\\
\frac{w_{0\,9}^{*}}{\sqrt{6}}&w_{5\,9}^{*}&0&w_{4\,9}^{*}\\
0&0&0&0\\
\frac{w_{0\,8}^{*}}{\sqrt{6}}&w_{5\,8}^{*}&0&w_{4\,8}^{*}\\
\end{array}
\right)\,,
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} 
\widetilde{D}^{\rm opt}_{0\,3}=
\left(
\begin{array}{cccc}
0&\sqrt{\frac{2}{3}}w_{1\,3}&0&\sqrt{\frac{2}{3}}w_{1\,2}\\
0&w_{3\,9}^{*}&\sqrt{\frac{2}{3}}w_{0\,9}^{*}&w_{2\,9}^{*}\\
0&0&0&0\\
0&w_{3\,8}^{*}&\sqrt{\frac{2}{3}}w_{0\,8}^{*}&w_{2\,8}^{*}\\
\end{array}
\right), \,\,\,
\widetilde{D}^{\rm opt}_{1\,2}=
\left(
\begin{array}{cccc}
\frac{1}{6}&0&0&0\\
0&w_{5\,7}^{*}&0&w_{4\,7}^{*}\\
0&0&\frac{1}{6}&0\\
0&w_{5\,6}^{*}&0&w_{4\,6}^{*}\\
\end{array}
\right)\,,
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} 
\widetilde{D}^{\rm opt}_{1\,3}=
\left(
\begin{array}{cccc}
0&0&\frac{1}{3}&0\\
0&w_{3\,7}^{*}&0&w_{2\,7}^{*}\\
0&\frac{w_{1\,3}}{\sqrt{6}}&0&\frac{w_{1\,2}}{\sqrt{6}}\\
0&w_{3\,6}^{*}&0&w_{2\,6}^{*}\\
\end{array}
\right), \,\,\,
\widetilde{D}^{\rm opt}_{2\,3}=
\left(
\begin{array}{cccc}
0&0&\frac{1}{3}&0\\
0&w_{3\,5}^{*}&0&w_{2\,5}^{*}\\
0&\frac{w_{1\,3}}{\sqrt{6}}&0&\frac{w_{1\,2}}{\sqrt{6}}\\
0&w_{3\,4}^{*}&0&w_{2\,4}^{*}\\
\end{array}
\right)\,.
\end{eqnarray*}


Les matrices $\widetilde{D}^{\rm opt}$ dépendent donc de 64 paramètres réels qui, lorsqu'ils sont pris suffisamment faibles, laissent ces dernières positives. Nous avons donc trouvé une vaste classe continue de cloneurs quantiques symétriques et sans interférence, atteignant la fidélité moyenne maximale de $5/6$. Il s'avère également que toutes ces machines sont  universelles, l'imposition d'une interférence nulle entraînant des conditions sur les éléments $w_{ij}$ qui conduisent à ce résultat supplémentaire.


\subsection{Cas du cloneur de Buzek et Hillery}

Dans la définition de leur cloneur, Buzek et Hillery spécifient seulement ce qu'il arrive à l'état $|\psi\rangle\otimes
|0\rangle$ (cf. équation (\ref{eq:Cloneur-de-Buzek-et-Hillery})), laissant le sort de l'état $|\psi\rangle\otimes
|1\rangle$ inconnu (en d'autres mots seule une partie de la matrice dynamique est définie). Si l'on souhaite pouvoir comparer nos cloneurs sans interférence de matrices dynamiques $\tilde{D}^{opt}$ avec celui de Buzek-Hillery, sur la base de la matrice dynamique, nous devons donc étendre la définition de ce dernier afin qu'il détermine également le devenir de l'état initial
$|1\rangle$ pour le second qubit. Si nous choisissons comme extension naturelle, 
\begin{eqnarray}
|0\rangle_A|1\rangle_B|Q\rangle_X &\rightarrow& |0\rangle_A |1\rangle_B |
 Q_2\rangle_X + \left( |0\rangle_A |0\rangle_B +|1\rangle_A |1\rangle_B
 \right) |Y_2\rangle_X\nonumber\, ,\\
|1\rangle_A|1\rangle_B|Q\rangle_X &\rightarrow& |1\rangle_A |0\rangle_B |
 Q_3\rangle_X + \left( |0\rangle_A |0\rangle_B +|1\rangle_A |1\rangle_B
 \right) |Y_3\rangle_X \,, 
\end{eqnarray}

\noindent on peut montrer que le cloneur de Buzek-Hillery est un membre de la classe de cloneurs de matrices dynamiques $\widetilde{D}^{\rm opt}$. 



\section{Conclusion partielle}


Nous avons donc montré l'existence en absence d'interférence de toute une classe de cloneurs universels et symétriques dont les fidélités moyennes de clonage atteignent la valeur maximale de $5/6$. En étudiant la structure de la matrice dynamique $D$, nous comprenons comment il est possible que des cloneurs quantiques surpassent en absence d'interférence l'efficacité des cloneurs classiques : le clonage classique correspond à une matrice dynamique diagonale ; le clonage quantique à une matrice dynamique potentiellement pleine ; le clonage quantique sans interférence à une matrice dynamique dont les éléments non diagonaux des blocs diagonaux sont nuls. En d'autres mots, en absence d'interférence, la propagation d'une matrice densité ne relie aucune probabilité aux cohérences. Ce dernier point influence les fidélités, et les éléments correspondants de la matrice dynamique peuvent être utilisés pour optimiser ces dernières au delà de la valeur maximale classique. Il reste intriguant de trouver que pour un clonage quantique optimal nous observions finalement que seules les probabilités contribuent aux probabilités, tandis que les cohérences ne les modifient pas. Il serait intéressant de trouver si ce résultat peut être généralisé à des dimensions d'ordre plus élevé ou à du clonage faisant intervenir un plus grand nombre de qubits. 
