\chapter{Fidélité moyenne et matrice dynamique}

Dans cette annexe où nous considérons un système formé de deux sous-ensembles $A$ et $B$, nous notons $\ket{k}_X$, un ket défini dans l'espace de Hilbert $\mathcal{H}_X$ ($X\in{A,B}$).\\


Supposons que nous disposons d'un système à $2$ qubits $A$ et $B$ : le premier initialement dans l'état $\ketA{\psi_A^{IN}}=\cos(\theta/2)\ketA{0}+\sin(\theta/2)e^{i\phi}\ketA{1}$, le second dans l'état $\ketB{0}$. La matrice densité initiale du système total $A+B$ s'écrit :
\begin{eqnarray*}
&~& \rho_{AB}^{IN}=\rho_A^{IN}\otimes\rho_B^{IN}~,\\
&~& \rho_A^{IN}= \ketA{\psi_A^{IN}}\braA{\psi_A^{IN}}~,\\
&~& \rho_B^{IN}= \ketB{0}\bra{0}~.
\end{eqnarray*}
Dans la base computationnelle de l'espace de Hilbert à $2$ qubits : $\left\{\ketAB{00},\ketAB{01},\ketAB{10},\ketAB{11}\right\}$, nous parvenons aux représentations matricielles suivantes pour les matrices densités initiales des systèmes $A$ et $B$ :
\begin{eqnarray*}
&~&
\tilde{\rho}_A^{IN}=
\left(
\begin{array}{cc}
\cos^2(\frac{\theta}{2}) & \frac{\sin(2\theta)}{2}\, e^{-i\phi}\\
 \frac{\sin(2\theta)}{2}\,e^{-i\phi} & \sin^2(\frac{\theta}{2})
\end{array}
\right)~,\\
&~&
\tilde{\rho}_B^{IN}=
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 0
\end{array}
\right)~.
\end{eqnarray*}



\noindent La fidélité moyenne pour le premier qubit est définie par 
\begin{eqnarray*}
\overline{F}_A=\frac{1}{4\pi}\int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{\pi} d\theta \sin(\theta) \braA{\psi_A^{IN}}\rho_A^{OUT} \ketA{\psi_A^{IN}},
\end{eqnarray*}
\noindent où la matrice densité réduite $\rho_A^{OUT}$ est donnée par :
\begin{eqnarray*}
\rho_{A}^{OUT}=Tr_B[\rho_{AB}^{OUT}]=\sum_{i=0}^1 {}_B\bra{i}\rho_{AB}^{OUT} \ket{i}_B ~.
\end{eqnarray*}

\noindent Calculons dans un premier temps l'expression des termes $(\rho_A^{OUT})_{kl}=\braA{k} \rho_A^{OUT} \ketA{l}$. Nous obtenons :
\begin{eqnarray*}
(\rho_A^{OUT})_{kl}&=&\sum_{i=0}^1\braA{k}\braB{i}\rho_{AB}^{OUT} \ketB{i}\ketA{l}\\
&=&\sum_{i=0}^1\braAB{ki}\rho_{AB}^{OUT} \ketAB{li}\\
&=& \sum_{i=0}^1 (\rho_{AB}^{OUT})_{ki,\,li} ~.
\end{eqnarray*}
\noindent Maintenant calculons $\braA{\psi^{IN}}\rho_A^{OUT} \ketA{\psi^{IN}}$. En utilisant comme notation $\braketA{k}{\psi}=(\ketA{\psi})_k$, $k\in\left\{0,1\right\}$, nous obtenons  : 






\begin{eqnarray*}
\braA{\psi^{IN}}\rho_A^{OUT} \ketA{\psi^{IN}} &=& \sum_{k,\,l=0}^1 (\braA{\psi^{IN}})_k (\rho_A^{OUT})_{kl} (\ketA{\psi^{IN}})_l\\
&=&\sum_{k,\,l=0}^1 (\rho_A^{OUT})_{kl} ( \ketA{\psi^{IN}} \braA{\psi^{IN}})_{kl}^T\\
&=& \sum_{k,\,l=0}^1 (\rho_A^{OUT})_{kl} (\rho_A^{IN})_{kl}^T\\
&=&\sum_{k,\,l=0}^1\sum_{i=0}^1 (\rho_{AB}^{OUT})_{ki,\,li} (\rho_A^{IN})_{kl}^T~.
\end{eqnarray*}
\noindent En définissant : $\ketAB{00}\equiv \ketAB{0},\ketAB{01}\equiv \ketAB{1},\ketAB{10}\equiv \ketAB{2},\ketAB{11}\equiv \ketAB{3}$, nous obtenons la relation suivante entre la matrice densité initiale $\rho_{AB}^{IN}$, la matrice densité finale $\rho_{AB}^{OUT}$, et le propagateur $P$, i.e.
\begin{eqnarray*}
(\rho_{AB}^{OUT})_{I,\,J}=\sum_{M,\,N=0}^3 P_{IJ,MN}(\rho_{AB}^{IN})_{MN}~,
\end{eqnarray*}
\noindent et donc finalement $$(\rho_{AB}^{OUT})_{i_1 i_2,\,j_1 j_2}=\sum_{m_1,m_2,n_1,n_2=0}^1
 P_{i_1 i_2 j_1 j_2, m_1 m_2 n_1 n_2}(\rho_{AB}^{IN})_{m_1 m_2, \, n_1 n_2}~.$$
\noindent Nous obtenons donc l'expression finale de la fidélité moyenne, i.e. 
\begin{eqnarray*}
\overline{F}_A&=&\sum_{k,\,l=0}^1 \sum_{i=0}^1 \sum_{m_1,m_2,n_1,n_2=0}^1 P_{ki\,li, m_1 m_2 n_1 n_2} A_{m_1 m_2 n_1 n_2}^{k l}\\
&=& \sum_{k,\,l=0}^1 \sum_{i=0}^1 \sum_{m_1,m_2,n_1,n_2=0}^1 D_{ki\, m_1 m_2, li\,  n_1 n_2} A_{m_1 m_2 n_1 n_2}^{k l}~,
\end{eqnarray*}
\noindent où nous avons défini 
\begin{eqnarray*}
A_{m_1 m_2 n_1 n_2}^{k l}\equiv\frac{1}{4\pi}\int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{\pi} d\theta \sin(\theta) (\rho_{AB}^{IN})_{m_1 m_2 n_1 n_2} (\rho_A^{IN})_{k l}^{T}~.
\end{eqnarray*}
\noindent Nous calculons ces termes une fois pour toute $\forall k,l,m_1,m_2,n_1,n_2\in\left\{0,1\right\}$, et trouvons comme seuls termes non-nuls les termes:
\begin{eqnarray*}
A^{00}_{0000}=1/3~,\\
A^{00}_{1010}=1/6~,\\
A^{01}_{0010}=1/6~,\\
A^{10}_{1000}=1/6~,\\
A^{11}_{0000}=1/6~,\\
A^{11}_{1010}=1/3~.\\
\end{eqnarray*}
\noindent Nous parvenons alors à l'expression finale de la fidélité moyenne pour le qubit $A$ :
\begin{eqnarray*}
\overline{F}_A&=&\frac{1}{6}\Big(
2D_{00, 00}+D_{00, 22}+D_{02, 02}+2D_{10, 10}+D_{10, 32}+D_{12, 12}\nonumber\\
&&+D_{20, 20}+D_{22, 00}+2D_{22, 22}+D_{30, 30}+D_{32, 10}+2D_{32, 32}\Big)~.
\end{eqnarray*}
\noindent De la même façon, en partant de
\begin{eqnarray*}
\overline{F}_B=\frac{1}{4\pi}\int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{\pi} d\theta \sin(\theta) \braB{\psi_A^{IN}}\rho_B^{OUT} \ketB{\psi_A^{IN}}\, ,
\end{eqnarray*}
\noindent nous parvenons à :
\begin{eqnarray*}
\overline{F}_B&=&\frac{1}{6}\Big(
2D_{00, 00}+D_{00, 12}+D_{02, 02}+D_{10, 10}+D_{12, 00}+2D_{12, 12}\nonumber\\
&&+2D_{20, 20}+D_{20, 32}+D_{22, 22}+D_{30, 30}+D_{32, 20}+2D_{32, 32}
\Big)\,.
\end{eqnarray*}


