Modal analysis for thin axisymmetric shells

Analyse modale pour les coques minces en révolution

Marie Beaudouin (1)

1 IRMAR - Institut de Recherche Mathématique de Rennes

The subject of this thesis is the study of the Koiter operator for thin shells with respect to their thickness. Here we consider only the case of axisymmetric and clamped thin shells. The Koiter operator is the sum of a membrane operator which does not depend of the thickness and a bending operator. The spectrum of the Koiter operator is discrete whereas the one of the membrane operator contains essential spectrum. Using the axial symmetry of the problem, we decompose the operators towards the angular frequency k. In a constructive way we are looking for a solution of the eigenvalue problem as a formal power series in the inverse of k. Therefore we obtain a formal reduction theorem which brings us to the study of a scalar problem. Then we focus on the case of a cylindrical shell and we construct quasimodes cor- responding to the smallest eigenvalues. When we add the bending operator, we select an angular frequency k which depends on the thickness and some boundary layers appear. We also construct quasimodes in this regime. Numerical simulations for the membrane operator and for the underlying Lamé model made with the finite element library Melina have justified our theoritical results.

Le sujet de cette thèse est l'étude du spectre de l'opérateur de Koiter pour des coques minces en fonction de leur épaisseur. On se restreint au cas de coques minces axisymétriques et encastrées. L'opérateur de Koiter se décompose en un opérateur de membrane indépendant de l'épaisseur et un opérateur de flexion. Le spectre de l'opérateur de Koiter est discret alors que celui de la membrane contient du spectre essentiel. En utilisant la symétrie axiale du problème, on décompose les opérateurs en fonction de la fréquence angulaire k. Dans une démarche constructive, on cherche les solutions du problème aux valeurs propres comme séries formelles en puissances inverses de k. On obtient alors un théorème de réduction formelle général ramenant le problème à l'étude d'un problème scalaire. On s'intéresse ensuite au cas d'une coque cylindrique et on exhibe une famille de quasimodes correspondant aux plus petites valeurs propres. Lorsque l'on rajoute l'opérateur de flexion, on sélectionne alors un mode k dépendant de l'épaisseur et il apparaît des couches limites. On exhibe également des quasimodes dans ce régime. Des simulations numériques à l'aide de la librairie d'éléments finis Melina pour l'opérateur de membrane et pour le modèle sous-jacent de Lamé ont justifié nos résultats théoriques.

Mots clés: coques; valeurs propres; éléments finis

Domaines: Mathématiques [math]

Marie Beaudouin. Analyse modale pour les coques minces en révolution. Mathématiques [math]. Université Rennes 1, 2010. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00541467⟩