P. Dans and P. On-peut-définir-les-axiomes-de, comme nous l'avons déjà vu : x est un axiome de P A ssi 1

A. Partir-de, Cette thèse est plus forte que la précédente, parce que dans M (P A)+ « Tous les théorèmes de P A sont vrais » on ne peut pas dériver les axiomes de T (P A), autrement dit T (P A) est logiquement plus forte que M (P A) + RefP A. L'idée est la suivante : une preuve dans M (P A) + Ref mobilise au plus un nombre fini d'´ equivalences-T. Or pour un ensemble d'´ enoncés dont la complexité est bornée, le prédicat de vérité est définissable par une formule de P A, Donc une preuve dans M (P A) + Ref peutêtrepeutêtre transformée en une preuve dans P A + {T hP A?(x) ? ?(x)}. Mais ce dernier système, appelé P A+ Réflexion Uniforme, est connu pourêtrepourêtre moins moins fort que T (P A) ( Je remercie Volker Halbach de cette remarque, pp.55-56

. Le-détail-de-la-définition-de-la-validité, Dans ce qui suit, je m'en tiens autant que possible aux considérations générales qui gouvernent l'ensemble des propositions Dummett (1991) pour une présentation des définitions respectives de ce deux auteursVoir aussi Hacking (1979) pour une approche encore différente. Pour fixer les idées, je signale ici une spécificité de l'approche de Dummett et Prawitz. Ces deux auteurs s'inspirent plus directement d'une remarque de Gentzen devenuecéì ebre : Les r` egles d'introduction représentent, pour ainsi dire, les « définitions » des symboles concernés, et les r` egles d'´ elimination ne sont pas davantage, endernì ere analyse, Voir par exemple Prawitz que les conséquences de ces définitions. Ce fait pourraitêtrepourraitêtre exprimé de la façon suivante, p.80, 1969.

. Dans-cette-perspective, . Pour-dummett-comme, and . Prawitz, Ces r` egles explicitent plus spécialement la contribution de l'expression aux conditions de prouvabilité ou de « vérification » de l'´ enoncé, et en ce sens ce choix peutêtrepeutêtre compris comme un parti pris « vérificationniste » sur la signification. Dans cette perspective, la validité des r` egles d'´ elimination n'est pas définitionnelle, mais doitêtredoitêtre justifiée comme celle de n'importe quelle autre inférence, par la signification conféréè a l'expression par sa, ou ses, r` egles d'introduction. Anticipant quelque peu la discussion qui va suivre, je précise que lorsque Dummett parle d'harmonie entre une r` egle d'´ elimination d'une expression et sa r` egle d'introduction il entend spécialement l'idée que l'on peut justifier la validité de lapremì ere par la seconde. Mais l'idée que, dans la représentation des inférences en déduction naturelle, seules les r` egles d'introduction d'un symbole constituent sa signification inférentielle, tandis que les r` egles d'´ elimination sont secondes, cette idée n'est pas contraignante (et ne va pas sans poser des difficultés, voir la discussion lucide de Dummett sur son « hypothèse fondamentale » dans Dummett (1991) et n'est pas une hypothèse généralement acceptée. Les auteurs qui rejettent l'idée d'une priorité d'un type de r` egle sur l'autre préfèrent en général raisonner sur une représentation des arguments en calcul des séquents, qui ne contient formellement que des r` egles d'introduction des expressions (en plus des r` egles structurales), tantôt dans les hypothèses, tantôt dans les conclusions d'une dérivation. La question de l' « harmonie » entre les deux types de r` egles d'introduction se pose toujours, mais la « symétrie » sous laquelle elles se présententprésentent?présententôte tout sens immédiatimmédiat`immédiatà l'idée que l'une des deux seulement fixerait la signification de l'expression devrait permettre de justifier l'autre, et elles seules, qui sont comprises comme « définissant Quelle que soit l'approche adoptée, le point essentiel reste le même : il s'agit de justifier la validité d'une inférence en général par la validité définitionnelle des r` egles qui fixent la signification des expressions. 1. (Identité) A ? A 2. (Affaiblissement) A1, . . . , An ? C, p.ou Kremer, 1979.

A. , .. .. An, A. .. Ai, A. .. An, ?. .. Ai+1 et al., Am ? D On pourrait montrer que l'ajout des r` egles pour « tonk » donnée par PrioràPrior`Priorà un système déductif satisfaisant la loi de la transitivité ci-dessus, valide la nouvelle loi structurale suivante : A ? B. Par conséquent, les r` egles pour « tonk » ne sont pas harmonieuses relativementàrelativement`relativementà un système déductif de ce type, Contraction) An ? C 5. (Transitivité) Il est facile de voir que la conservativité au sens de Dummett est une condition plus forte que la conservativité au sens de Belnap : ajouter les r` egles classiques aux r` egles intuitionistes en déduction naturelle produt une extension non-conservative au sens de Dummett, mais pas au sens de Belnap. 11 En déduction naturelle mono-conclusion. 12 C'est-` a-dire : (((P ? Q) ? P ) ? P )

. Mautner, ainsi que ceux du logicien franco-russe Krassner qui ontétéontété redécouvertsredécouverts`redécouvertsà cette occasion. A.3

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