Vibrations of a beam with a unilateral spring. Periodic solutions - Nonlinear normal modes
Vibrations d'une poutre avec un ressort unilatéral. Solutions périodiques.Modes non-linéaires
Abstract
The thesis consists of two parts presented in four chapters. The first one deals with the modelling, the simulations and the experimental validations of a beam model with a unilateral linear spring under a periodic excitation. It is a simplified mechanical model of a satellite solar array and an elastic bumper during the launch stage. The system is under a harmonic excitation given as an imposed acceleration or a punctual force. The model is validated with experimental sequences on an aluminum beam in contact with a Solithane bumper. The results show a good agreement with the numerical simulations. The second part is focused on the nonlinear normal modes of mechanical systems. A new formulation is then presented to find these modes as zeros of a nonlinear mapping. An algorithm based on the continuation of periodic solutions is performed using existent algorithms. The perturbation technique using multiple scales method for the calculation of approximate analytical solutions of a differential equation with a unilateral term is introduced. We use then this technique for the calculation of the nonlinear normal modes of n degrees of freedom autonomous system with a unilateral contact. We also deal with the case of forced systems, thus we obtain a simple procedure for the calculation of the nonlinear normal modes. All these techniques provide different validated mathematical tools for a modal analysis of the mechanical system treated in the first part of the thesis.
La thèse est composée de deux parties présentées en quatre chapitres. La première partie traite de la modélisation, des simulations et des validations expérimentales d'un modèle de poutre en contact avec un ressort linéaire unilatéral sous une excitation périodique. C'est un modèle mécanique simplifié d'un panneau solaire d'une satellite et d'une cale élastique en phase de lancement. Le système est soumis à une excitation harmonique du support sous forme d'une accélération imposée ou d'une force ponctuelle. Le modèle est validé expérimentalement par des séquences d'essais sur une poutre en aluminium en contact avec une cale en Solithane. Les résultats montrent une cohérence avec les solutions numériques obtenues. La deuxième partie est centrée sur les modes normaux non-linéaires des systèmes mécaniques. Une nouvelle formulation est présentée pour trouver ces modes comme zéros d'une application non-linéaire. Un algorithme utilisant des algorithmes existants, basé sur la continuité des solutions périodiques, est développé pour le calcul des modes normaux. La technique de développement asymptotique par échelles multiples pour le calcul des solutions analytiques approchées d'une équation différentielle avec un terme unilatéral est introduit. On utilise ensuite cette technique pour le calcul des modes normaux non-linéaires d'un système autonome à un nombre n de degrés de liberté avec un contact unilatéral. On traite aussi le cas d'un système forcé, on conjecture ainsi que l'on obtient une procedure simple pour le calcul des modes non linéaires. L'ensemble fournit donc des outils mathématiques validés pour le calcul des modes non-linéaires du système traité dans la première partie de la thèse.
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