Characteristic Cauchy problem and conformal scattering in general relativity
Problème de Cauchy caractéristique et scattering conforme en relativité générale
Abstract
This work presents two aspects of the characteristic Cauchy problem in general relativity. On the one hand, an integral formula for the characteristic Cauchy problem for the Dirac equation on a curved space-time is derived. This generalizes the work of Penrose in the 60's. The functional framework is adapted, so that the algebraic structures on spinors can be brought to distributions on spinors. This gives an integral formula which is simplified using the Geroch-Held-Penrose formalism. Penrose's formula on the Minkowski space-time is recovered for arbitrary spin. On the other hand, a conformal scattering theory for a conformally invariant nonlinear wave equation is established. Using a conformal rescaling, the space-time is completed with two null hypersurfaces representing respectively the past and future endpoints of null geodesics. The asymptotic behaviour of fields is then obtained by considering the traces of solutions of the rescaled equations on these hypersurfaces. The inversibility of these trace operators is obtained by solving a characteristic Cauchy problem and the conformal scattering operator is obtained by composing these trace operators.
L'étude présentée dans ce travail de thèse aborde deux aspects du problème de Cauchy caractéristique en relativité générale. D'une part, une formule intégrale pour le problème de Cauchy caractéristique pour l'équation de Dirac est établie, généralisant les travaux de Penrose en espace-temps courbe. Ayant adapté le cadre fonctionnel pour obtenir une théorie des distributions adaptée à la structure algébriques des spineurs, le formalisme Geroch-Held-Penrose est utilisé pour décrire de la manière la plus précise possible la formule intégrale. La formule de Penrose en spin arbitraire sur l'espace-temps de Minkowski est retrouvée. D'autre part, une théorie de scattering conforme pour une équation des ondes non linéaire conformément invariante sur un espace asymptotiquement simple est construite. En effectuant un rééchelonnement conforme, l'espace-temps est complété en lui ajoutant une frontière constituée de deux hypersurfaces caractéristiques représentant respectivement les extrémités passées et futures des géodésiques de type lumière. Le comportement asymptotique des champs s'obtient alors en considérant les traces des solutions de l'équation conforme sur ces bords. L'inversibilité des opérateurs de trace s'obtient alors en résolvant un problème de Cauchy caractéristique sur ce bord et l'opérateur de scattering conforme par composition de ces opérateurs de trace.
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