Action du groupe symétrique sur certaines fractions rationnelles suivi de Puissances paires du Vandermonde

Résumé : L'objet de cette thèse concerne les propriétés du groupe symétrique à travers deux problèmes. Le premier consiste à étudier l'action du groupe symétrique sur la fraction $$ \psi_{12\dots n} = \frac{1}{(x_1 - x_2)(x_2-x_3)\dots(x_{n-1}-x_n)}. $$ En appliquant certaines opérations sur les graphes et les cartes, nous donnons des algorithmes et des formules combinatoires pour déterminer complètement la fraction réduite suivante: $$ \Psi_P = \sum_{w \in \mathcal{L}(P)} \psi_w $$ où $P$ est un ensemble partiellement ordonné et $\mathcal{L}(P)$ l'ensemble de ses extensions linéaires. L'auteur C. Greene a introduit cette fraction rationnelle pour généraliser des identités liées à la règle de Murnaghan-Nakayama. Nous utilisons $\Psi$ pour établir un nouvel algorithme de décomposition en éléments simples à l'aide des graphes. Dans la seconde partie, nous cherchons à développer les puissances paires du Vandermonde au moyen de fonctions symétriques. En particulier, nous proposons une écriture hyperdéterminantale des coefficients du développement des puissances paires du Vandermonde dans la base des fonctions de Schur. Nous obtenons plusieurs identités reliant les puissances paires du Vandermonde et les polynômes de Jack. Puis nous introduisons une $q$-déformation des puissances paires du Vandermonde que nous exprimons grâce aux polynômes de Macdonald.
Type de document :
Thèse
Mathématiques [math]. Université Paris-Est, 2009. Français
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Contributeur : Adrien Boussicault <>
Soumis le : jeudi 15 juillet 2010 - 09:30:41
Dernière modification le : vendredi 9 novembre 2018 - 01:12:55
Document(s) archivé(s) le : vendredi 22 octobre 2010 - 11:58:42

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Citation

Adrien Boussicault. Action du groupe symétrique sur certaines fractions rationnelles suivi de Puissances paires du Vandermonde. Mathématiques [math]. Université Paris-Est, 2009. Français. 〈tel-00502471〉

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