CONTINUATION CONTACT PROBLEMS FOR PLATES

Continuation dans les problèmes de contact pour des plaques en flexion

Cédric Pozzolini (1)

1 LMA - Laboratoire de Mécanique et d'Acoustique [Marseille]

There exist path following methods for mechanical structures submitted to varying loads, with classical boundary conditions. One of the tool required by these numerical methods (continuation) is the C1 implicit function theorem. But in the case of contact problems the derivative of the solution with respect to the load no longer exists in general. This technical diculty has been overcome for an elastic membrane but we do not yet know how to extend these methods to the case of plates. It is known that there exist some derivative with respect to the forces to a solution for the obstacle problem for an elastic beam or a plate, in the polyhedric case. In order to investigate these sensitivity questions we extended to the biharmonic operator the stability theorem of Schaeer which has been esta- blished for the harmonic operator. This theorem gives the strong derivative of the free boundary with respect to the external forces, provided the free boundary is smooth. We explore the sensiti- vity analysis by second order perturbation ana- lysis. We establish a kind of generalization of the previous sensitivity results to the case of linear beams and plates. Finally we discuss how to deal with the stability and sensitivity analysis in the case of the obstacle problem for von Karman plates.

Avec les codes de calculs généralistes de la mécanique il est possible de suivre numériquement l'évolution de structures soumises a un chargement variable, avec des conditions aux bords classiques. Un des outils pour ces méthodes numériques (dites de continuation) est le théorème des fonctions implicites C1. Mais dans le cas des problèmes de contact avec ou sans frottement cet outil ne s'applique plus, car la solution n'est en général plus dérivable par rapport aux paramètres du problème. La difficulté a été surmontée pour les opérateurs semi-lineaires d'ordre 2 (cas d'une membrane élastique en grandes déformations), mais pas encore pour les plaques. Pour cela, nous avons généralise au bilaplacien le Théorème de stabilité de Schaeffer valable pour le laplacien. Ce qui fournit la dérivée de la frontière libre par rapport aux forces extérieures de classe C^infini, si la frontière libre est C^infini. Nous savons qu'il existe une dérivée par rapport aux forces de classe L2 de la solution pour le problème d'obstacle d'une poutre et d'une plaque élastique, avec des hypothèses sur la zone de contact assurant la polyédricité. Nous explorons l'analyse de sensibilité du problème de l'obstacle pour une poutre et une plaque linéaire, par des méthodes nouvelles d'analyse par perturbation au second ordre. Enfin nous expliquons comment ces résultats pourraient servir a comprendre la stabilité et la sensibilité des plaques de von Karman.

Mots clés: Free boundary; obstacle problems; membrane; plate; stability; Nash-Moser Theorem; sensitivity; sigma-term of Kawasaki; path following methods.

Mots clés: frontière libre; problèmes de l'obstacle; membranes; plaques; stabilité; Théorème de Nash-Moser; sensibilité; sigma-terme de Kawasaki; suivi de courbes.

Domaines: Sciences de l'ingénieur [physics]

Cédric Pozzolini. Continuation dans les problèmes de contact pour des plaques en flexion. Sciences de l'ingénieur [physics]. Université de Provence - Aix-Marseille I, 2009. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00479613v2⟩