Embeddings of metric Spaces into Banach Spaces.

Plongements des espaces métriques dans les espaces de Banach.

Florent Baudier (1)

1 LMB - Laboratoire de Mathématiques de Besançon (UMR 6623)

The central theme of this thesis is the embedding of metric spaces into Banach spaces. The embeddings can be different in nature. In this work we mainly focus on coarse, uniform or Lipschitz embeddings. We consider questions about the Lipschitz embedding of various classes of metric spaces, namely locally finite metric spaces or more generally locally finite subsets of Lp-spaces, with 1<= p <= [infinite]. These questions are closely related with the Lipschitz classification of Banach spaces. The coarse embeddings are a key tool in the study of several famous conjectures (coarse Baum-Connes conjecture, coarse Novikov conjecture...). That's why we carefully study the coarse embedding, and the uniform embedding, of proper metric spaces into Banach spaces without cotype. Another vaste field of investigation is what Manor Mendel and Assaf Naor have called the “Ribe program”. Local properties of Banach spaces, i.e properties involving only a finite number of vectors, should have a purely metric characterization. For this aim we study the embedding of special trees.

Le thème central de cette thèse est le plongement des espaces métriques dans les espaces de Banach. Les principaux plongements étudiés sont les plongements grossiers, uniformes ou Lipschitziens. On considère des questions concernant le plongement Lipschitzien de certaines classes d'espaces métriques, notamment les espaces métriques localement finis ou plus généralement les sous-ensembles localement finis des espaces de Banach Lp, avec 1<= p <= [infini]. Ces questions sont étroitement liées à la classification Lipschitzienne des espaces de Banach. Les plongements grossiers sont un outil clé pour l'étude de plusieurs conjectures célèbres (conjecture de Baum-Connes grossière, conjecture de Novikov grossière...). On mène alors une étude détaillée du plongement grossier, mais aussi uniforme, des espaces métriques propres dans les espaces de Banach sans cotype. Un troisième thème concerne ce qui est appelé le “programme de Ribe” par Manor Mendel et Assaf Naor. Cela consiste en la recherche d'invariants métriques qui caractérisent des propriétés locales des espaces de Banach. Dans cette optique on étudie le plongement de certains arbres.

Mots clés: Locally finite-proper metric spaces; Coarse- uniform- Lipschitz embeddings; Trees; Local Properties of Banach Spaces; Ribe program

Mots clés: Espaces métriques localement finis-propres; Plongements grossiers-uniformes-Lipschitziens; Arbres; Propriétés locales des espaces de Banach; Programme de Ribe

Domaines: Mathématiques [math]

Florent Baudier. Plongements des espaces métriques dans les espaces de Banach.. Mathématiques [math]. Université de Franche-Comté, 2009. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00477415⟩