, On reprend ici les constructions citées et on démontre qu'elles permettent également d'étudier le bord combinatoire. Plus précisément, on va voir qu'on peut plonger un groupe de Coxeter dans un produit fini d'arbres et que l'injection que l'on obtient ainsi se prolonge en un plongement du bord combinatoire dans le produit des bords des arbres
, ) que, dans le cas des groupes de Coxeter affines, les arbres que l'on obtient sont des droites ; tandis que dans le cas non-affine, on obtient au moins un arbre épais. La seconde utilisation de ces arbres sera, dans la continuité de [DJ99], de démontrer la moyennabilité à l'infini des groupes agissant sur des immeubles (et pas seulement sur des complexes de Coxeter). L'idée est ici que la notion de quartier (définie à la section 3.2.3) permet de se ramener à travailler dans un appartement. Les quartiers d'un appartement seront alors
, On note ? la réalisation de Davis- Moussong du système de chambre W. Par abus de langage, on appelle encore mur la réalisation métrique d'un mur de W, c'est-à-dire la réunion des facettes correspondant aux parois de ce mur Un tel mur M divise ? en deux composantes connexes, qui sont (si l'on rajoute M ) les réalisations métriques des racines bordées par M . D'autre part, W est un groupe linéaire : il existe un n ? N tel que W s'injecte dans GL n (C) [Bou07a, V.4.4.Corollaire 2] et est par hypothèse de type fini. Par conséquent, le lemme de Selberg [Alp87] s'applique : il existe un sous-groupe W 0 sans torsion, distingué de Bruhat-Tits de G sur k. L'algèbre L(G, K) est alors un objet basique dans l'étude de l'analyse harmonique sphérique de G, Construction des arbres Soit Les fonctions dans L(G, K) peuvent également être vues comme des fonction sur G/K qui sont invariantes à gauche. Par conséquent, on peut les voir comme des fonctions sur l'ensemble des sommets de même type que o qui sont constantes sur les K-orbites de sommets
, Par conséquent, on peut également écrire V µ (y) lorsque µ et y sont deux sommets du même type que o dans l'immeuble X. De plus, comme V ? (x) est invariant par multiplication à droite par un élément de K, l'ensemble V ? (x) peut être vu comme un ensemble de sommets dans l'immeuble X. Géométriquement, il faut penser à V ? (x) comme à une sphère dans X centrée en x et de «rayon» ?
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