Spectral multipliers, R-bounded homomorphisms and analytic diffusion semigroups

Résumé : Ce travail traite du calcul fonctionnel des op\'{e}rateurs dont le spectre est contenu dans les nombres r\'{e}els positifs. On s'int\'{e}resse en particulier aux th\'{e}or\`{e}mes de multiplicateurs spectraux.\\ On aborde le calcul abstrait et optimal, c'est-\`{a}-dire les homomorphismes $u : C(K) \to B(X)$. Si $X$ est un espace de Hilbert, alors l'extension naturelle $\hat{u} : C(K;[u]') \to B(X)$ de $u$ sur l'ensemble des op\'{e}rateurs est \`{a} nouveau born\'{e}e. En utilisant la $R$-bornitude, un renforcement de la bornitude uniforme, on donne une extension de ce r\'{e}sultat \`{a} des espaces de Banach g\'{e}n\'{e}raux $X$ et on l'applique au calcul $H$ infini et aux bases inconditionnelles dans des espaces $L^p$.\\ On d\'{e}veloppe des calculs associ\'{e}s \`{a} des op\'{e}rateurs sectoriels. Les exemples classiques en sont les th\'{e}or\`{e}mes spectraux de Mihlin et H\"{o}rmander donnant des classes de fonctions lisses qui forment des multiplicateurs de Fourier sur $L^p$. Ces th\'{e}or\`{e}mes ont d\'{e}j\`{a} \'{e}t\'{e} \'{e}tendus \`{a} une large classe d'op\'{e}rateurs de type Laplacien. On les regroupe sous une forme unifi\'{e}e gr\^{a}ce \`{a} la th\'{e}orie des op\'{e}rateurs: on compare le calcul de Mihlin et de H\"{o}rmander \`{a} la bornitude des familles classiques associ\'{e}es \`{a} un op\'{e}rateur sectoriel.\\ Pour la famille des puissances imaginaires, on donne une caract\'{e}risation de leur croissance polynomiale en fonction d'un calcul fonctionnel qui raffine le calcul de Mihlin.\\ On \'{e}tudie des semi-groupes de diffusion qui agissent sur une \'{e}chelle d'espaces de Banach. Il est connu que le semi-groupe a une extension analytique sur un secteur dans le plan complexe si cette \'{e}chelle consiste des espaces $L^p$. On donne une g\'{e}n\'{e}ralisation de ce r\'{e}sultat \`{a} des espaces $L^p$ non commutatifs en utilisant la th\'{e}orie des espaces d'op\'{e}rateurs.
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Thèse
Mathématiques [math]. Université de Franche-Comté, 2009. Français
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Contributeur : Christoph Kriegler <>
Soumis le : jeudi 4 mars 2010 - 12:56:29
Dernière modification le : vendredi 6 juillet 2018 - 15:18:04
Document(s) archivé(s) le : jeudi 18 octobre 2012 - 16:30:30

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Christoph Kriegler. Spectral multipliers, R-bounded homomorphisms and analytic diffusion semigroups. Mathématiques [math]. Université de Franche-Comté, 2009. Français. 〈tel-00461310〉

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