Some Estimation Problems Related to Oil Reserves
Potentiel de réserves d'un bassin pétrolier : modélisation et estimation
Résumé
The aim of this thesis is to build a statistical model of oil and gas fields' sizes distribution in a given sedimentary basin, for both the fields that exist in the subsoil and those which have already been discovered. The estimation of all the parameters of the model via estimation of the density of the observations by model selection of piecewise polynomials by penalized maximum likelihood techniques enables to provide estimates of the total number of fields which are yet to be discovered, by class of size. We assume that the set of underground fields' sizes is an i.i.d. sample of unknown population with Lévy-Pareto law with unknown parameter. The set of already discovered fields is a subsample without replacement from the previous which is "size-biased". The associated inclusion probabilities are to be estimated. We prove that the probability density of the observations is the product of the underlying density and of an unknown weighting function representing the sampling bias. An arbitrary partition of the sizes interval being set (called a model), the analytical solutions of likelihood maximization enables to estimate both the parameter of the underlying Lévy-Pareto law and the weighting function, which is assumed to be piecewise constant and based upon the partition. We shall add a monotonicity constraint over the latter, taking into account the fact that the bigger a field, the higher its probability of being discovered. Horvitz-Thompson-like estimators finally give the conclusion. We then allow our partitions to vary inside several classes of models and prove a model selection theorem which aims at selecting the best partition within a class, in terms of both Kullback and Hellinger risk of the associated estimator. We conclude by simulations and various applications to real data from sedimentary basins of four continents, in order to illustrate theoretical as well as practical aspects of our model.
L'objectif de cette thèse est de construire un modèle statistique de la distribution des tailles des gisements d'hydrocarbures qui existent dans le sous-sol d'un bassin sédimentaire, ainsi que de celle des découvertes déjà effectuées. L'estimation des paramètres de ce modèle via l'estimation de la densité des observations par sélection de modèles de polynômes par morceaux par maximum de vraisemblance pénalisé nous permet de déduire des estimations du nombre de gisements restant à découvrir, par classe de taille. Nous supposons que l'ensemble des tailles des champs qui existent dans la nature est un échantillon d'effectif inconnu d'une loi de Lévy-Pareto de paramètre lui-même inconnu. Les champs déjà découverts en représentent un sous échantillon sans remise biaisé par un "effet taille", dont les probabilités d'inclusion sont à estimer. Nous montrons que la densité des observations est le produit de la densité sous-jacente et d'une fonction de pondération inconnue représentant le biais dans le tirage. Une partition arbitraire de l'intervalle des tailles étant fixée (un modèle), les solutions analytiques des programmes de maximisation de la vraisemblance permettent d'estimer le paramètre de la loi sous-jacente ainsi que la fonction de pondération supposée en escalier et basée sur la partition. Nous ajoutons éventuellement une contrainte de monotonie sur cette dernière, rendant compte du fait que plus un objet est grande taille et plus sa probabilité d'avoir été découvert est importante. Des estimateurs de type Horvitz-Thompson permettent alors de conclure. Nous faisons ensuite varier les partitions au sein de différentes classes et démontrons un théorème de sélection de modèles permettant de choisir la partition la mieux adaptée, en terme de risques Hellinger et Kullback de l'estimateur associé. Nous concluons par des simulations, ainsi que plusieurs applications à des données réelles de bassins sédimentaires de quatre continents pour illustrer les aspects tant théoriques que pratiques de notre modélisation.