Contribution to the numerical analysis of some problems in quantic chemistry and mechanic

Contribution à l'analyse numérique de quelques problèmes en chimie quantique et mécanique.

Rachida Chakir (1)

1 LJLL - Laboratoire Jacques-Louis Lions

This thesis focuses on the numerical analysis of nonlinear eigenvalue problem, as in quantum chemistry or mechanics. Since solving them is quite expensive. We provide new methods to simplify this computation. The numerical analysis is necessary to understand the effect of this simplification on the accuracy of the result. First, we establish some {\it a priori} errors estimates of the discretization of for variational approximations of the ground state energy, eigenvalue and eigenvector of nonlinear elliptic eigenvalue problems. Then, we focus on the analysis of the planewave discretization of the Thomas-Fermi-Von-Weizacker model. Since our objective is to gain in time computation, we provide the numerical analysis of two-grid scheme for a nonlinear eigenvalue problem. The reduced basis method may be successful in this frame and recent progress have permitted to make the computations reliable thanks to {\em a posteriori} estimators to extend the method to non linear problems. However, it may not always be possible to use the code to perform all the ``off-line'' computations required for an efficient performance of the reduced basis method. We propose, in the second part, an alternating approach based on a coarse grid finite element the convergence of which is accelerated through the reduced basis and an improved post processing.

Dans ce travail, nous nous intéressons à l'analyse numérique de problèmes aux valeurs propres non linéaires, comme on peut en trouver en chimie quantique ou en mécanique. La résolution de ces problèmes étant très coûteuse, l'idée est de proposer de nouvelles méthodes permettant de simplifier la résolution de ce type de problèmes et ainsi diminuer le coût de calcul. L'analyse numérique est nécessaire pour comprendre si l'impact positif sur le coût de calcul total n'a pas de mauvaise conséquence sur la précision des résultats. On propose un complément aux travaux existants sur les estimations d'erreur a priori, afin d'obtenir des résultats équivalents à ceux connus dans le cas de problèmes aux valeurs propres linéaires. Ces résultats ont été utilisés pour la mise en oeuvre et l'analyse numérique de nouveaux schémas à deux grilles pour l'approximation de problèmes aux valeurs propres non linéaires. Ensuite, on propose d'adapter ce type de méthode de sous-grilles, pour une utilisation associée à la méthode des bases réduites.

Mots clés: Two-grid schemes; reduced basis method; finite elements method; planewaves; nonlinear eigenvalue problem; Thomas-Fermi-Von Weizacker model.

Mots clés: Méthodes à deux grilles; méthodes des bases réduites; éléments finis; ondes planes; problèmes aux valeurs propres; modèle de Thomas-Fermi-Von Weizacker.

Domaines: Modélisation et simulation

Rachida Chakir. Contribution à l'analyse numérique de quelques problèmes en chimie quantique et mécanique.. Modélisation et simulation. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2009. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00459149⟩