Analyse et modélisation de phénomènes de croissance et mouvement issus de la biologie

Thomas Lepoutre 1
1 BANG - Nonlinear Analysis for Biology and Geophysical flows
LJLL - Laboratoire Jacques-Louis Lions, Inria Paris-Rocquencourt
Résumé : Cette thèse est consacré à l'analyse de modèles de croissance et de mouvement intervenant en biologie et en écologie. Nous regardons en particulier deux types de modèles: des équations de dynamique de populations structurées et des modèles de diffusion croisée. Dans une première partie consacrée au travail sur les populations structurées, nous étudions d'abord des modèles linéaires de croissance en environnement périodique en temps. Ces modèles sont caractérisés par l'existence d'un exposant de croissance, appelé valeur propre de Floquet, dont nous comparons les propriétés avec celui qui apparaît en environnement stationnaire. Nous mettons en évidence grâce à un contre exemple le fait qu'il n'y a pas de comparaison générale possible entre l'exposant de croissance en milieu périodique et celui associé à un milieu moyenné. Les résultats de convexité de Kingman sur le rayon spectral des matrices positives sont étendus à la valeur propre de Floquet. Nous étudions également le comportement de cette valeur propre dans des cas dégénérés, où certains paramètres peuvent s'annuler ou exploser. Dans cette partie est également exposé une justification de la dérivation d'un modèle d'équations aux dérivées partielles pour la réplication du prion. Ce modèle est vu comme approximation d'un système infini d'équation différentielles ordinaires. Ceci se fait grâce à des résultats de compacité faible et la preuve permet de proposer des pistes pour un modèle plus complet. La deuxième partie est consacrée à l'étude de modèles de diffusion croisée. Nous nous plaçons dans le cas d'un domaine bornée et en absence de termes de réactions. Le but est de questionner la stabilité de l'équilibre homogène. L'application de techniques de dualité utilisées pour les système de réaction-diffusion permettent d'obtenir des bornes qui servent elles-même ensuite, combinées à la régularité elliptique à obtenir l'existence globale pour une version régularisée du système. Ladite régularisation est dépendante d'un paramètre dont les valeurs déterminent la stabilité ou l'instabilité linéaire de l'équilibre homogène. La valeur critique du paramètre de régularisation est d'ailleurs une valeur de bifurcation pour les équilibres.
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Thèse
Mathématiques [math]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2009. Français
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Contributeur : Thomas Lepoutre <>
Soumis le : mercredi 17 février 2010 - 16:37:46
Dernière modification le : mercredi 6 février 2019 - 15:33:58
Document(s) archivé(s) le : vendredi 18 juin 2010 - 21:12:46

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Thomas Lepoutre. Analyse et modélisation de phénomènes de croissance et mouvement issus de la biologie. Mathématiques [math]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2009. Français. 〈tel-00457561〉

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