Problème de Plateau, équations fuchsiennes et problème de Riemann-Hilbert

Résumé : Ce mémoire est consacré à la résolution du problème de Plateau à bord polygonal dans l'espace euclidien et dans l'espace de Minkowski de dimension trois. Il s'appuie sur la méthode de résolution proposée par René Garnier dans le cas euclidien dans un article publié en 1928 et qui a été oublié depuis, voire ignoré à l'époque. Plus géométrique et constructive que la méthode variationnelle, l'approche de Garnier est cependant parfois très compliquée, voire obscure et incomplète. On retranscrit sa démonstration dans un formalisme moderne, tout en proposant de nouvelles preuves plus simples, et en en complétant certaines lacunes. Ce travail repose principalement sur l'utilisation plus systématique des systèmes fuchsiens et la mise en évidence du lien entre la réalité de ces systèmes et leur monodromie. Ceci nous permet d'étendre le résultat de Garnier dans l'espace de Minkowski. La méthode de Garnier repose sur le fait que, par la représentation de Weierstrass spinorielle des surfaces minimales, on peut associer une équation fuchsienne réelle du second ordre définie sur la sphère de Riemann à tout disque minimal à bord polygonal. La monodromie de cette équation est déterminée par les directions orientées des côtés du bord. Pour résoudre le problème de Plateau, on est donc amené à résoudre un problème de Riemann-Hilbert. On procède ensuite en deux étapes : on construit d'abord, par déformations isomonodromiques, la famille de tous les disques minimaux dont le bord est un polygone de directions orientées données. Puis on montre, en étudiant les longueurs des côtés des bords polygonaux, qu'on obtient ainsi tout polygone comme bord d'un disque minimal.
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Thèse
Mathématiques [math]. Université Paris-Diderot - Paris VII, 2009. Français
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Contributeur : Laura Desideri <>
Soumis le : mardi 2 février 2010 - 15:31:50
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Document(s) archivé(s) le : vendredi 18 juin 2010 - 18:22:30

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Laura Desideri. Problème de Plateau, équations fuchsiennes et problème de Riemann-Hilbert. Mathématiques [math]. Université Paris-Diderot - Paris VII, 2009. Français. 〈tel-00452508〉

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