Étude des systèmes algébriques surdéterminés. Applications aux codes correcteurs et à la cryptographie

Résumé : Les bases de Gröbner constituent un outil important pour la résolution de systèmes d'équations algébriques, et leur calcul est souvent la partie difficile de la résolution. Cette thèse est consacrée à des analyses de complexité de calculs de bases de Gröbner pour des systèmes surdéterminés (le nombre m d'équations est supérieur au nombre n d'inconnues). Dans le cas générique (”aléatoire”), des outils existent pour analyser la complexité du calcul de base de Gröbner pour un système non surdéterminé (suites régulières, borne de Macaulay). Nous étendons ces résultats au cas surdéterminé, en définissant les suites semi-régulières et le degré de régularité dont nous donnons une analyse asymptotique précise. Par exemple dès que m > n nous gagnons un facteur 2 sur la borne de Macaulay, et un facteur 11,65 quand m = 2n (ces facteurs se répercutent sur l'exposant de la complexité globale). Nous déterminons la complexité de l'algorithme F5 (J-C. Faugère) de calcul de base de Gröbner. Ces résultats sont appliqués en protection de l'information, où les systèmes sont alors considérés modulo 2 : analyse de la complexité des attaques algébriques sur des cryptosystèmes, algorithmes de décodage des codes cycliques. Dans ce dernier cas, une remise en équation complète du problème conduit à utiliser des systèmes de dimension positive dont la résolution est de manière surprenante plus rapide. Nous obtenons ainsi un algorithme de décodage efficace de codes précédemment indécodables, permettant un décodage en liste et applicable à tout code cyclique.
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Thèse
Autre [cs.OH]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2004. Français
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Contributeur : Magali Bardet <>
Soumis le : vendredi 22 janvier 2010 - 11:11:05
Dernière modification le : mercredi 20 mai 2015 - 01:15:33
Document(s) archivé(s) le : vendredi 18 juin 2010 - 01:16:55

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Magali Bardet. Étude des systèmes algébriques surdéterminés. Applications aux codes correcteurs et à la cryptographie. Autre [cs.OH]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2004. Français. <tel-00449609>

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