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Thèse Année : 2008

Quantitative properties of real algebraic varieties

Propriétés Quantitatives des Singularités des Variétés Algébriques Réelles

Résumé

The introduction (section 1) presents the general subject-matter of the thesis: the quantitative measurement of the geometric properties of real algebraic varieties, and especially their triangulation. Section 2 explains a fast and certified subdivision procedure triangulating an algebraic plane curve. The mathematical tools are the topological degree, and the Bernstein's polynomial basis. Section 3 is a copy of an article explaining the subdivision method for smooth surfaces in Rn. It includes a complexity analysis. Section 4 presents a quantitative version of Thom-Mather's topological triviality for singular semi-algebraic maps. Stem from it: A “metrically stable” version of the local conic structure theorem and of the existence of a “Milnor tube” around strata. A triangulation algorithm based on Vorono˘i partitions (not completely implementable because the effective estimation of transversality is not completely detailed). Section 5 is a copy of an article published in 2008 on a sweeping method to compute the topology of singular surfaces in R3. It is based on Thom-Mathers theorem. Section 6 presents a bound on the generic number of connected components in an affine section of a real analytic germ in terms of the multiplicity and of the dimension of the ambient space. The bound does not always apply and counter-examples are given in that case.
L'introduction (section 1) introduit la probl´ematique g´en´erale de la th`ese: la mesure quantitative des propri´et´es g´eom´etriques des vari´et´es alg´ebriques et particuli`erement leur triangulation. La section 2 explique une proc´edure de subdivision rapide et certifi´ee triangulant une courbe alg´ebrique r´eelle plane. Les outils math´ematiques sont le degr´e topologique, la base des polynˆomes de Bernstein. La section 3 est une copie d'un article expliquant la m´ethode de subdivision pour les surfaces lisses dans Rn. Elle comporte une analyse de complexit´e. La section 4 pr´esente une version quantitative du th´eor`eme de trivialit´e topologique de Thom-Mather pour des applications semi-alg´ebriques non lisses. Il en d´ecoule: une version “m´etriquement stable” du th´eor`eme de structure conique local et de l'existence d'un “tube de Milnor” autour des strates. Un algorithme de triangulation utilisant des partitions de Vorono˘i (sa mise en place n'est pas compl`ete car l'estimation effective de la transversalit´e n'est pas compl`etement trait´e). La section 5 est une copie d'un article paru en 2008 sur une m´ethode de balayage pour calculer la topologie d'une surface singuli`ere de R3. Elle repose sur l'utilisation du th´eor`eme de Thom-Mather. La section 6 pr´esente une borne sur le nombre g´en´erique de composantes connexes dans une section d'un germe analytique r´eel par un espace affine en fonction de la multiplicit´e et de la dimension de l'espace. La borne ne s'applique pas toujours et des contre-examples sont donn´es.
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Dates et versions

tel-00449506 , version 1 (21-01-2010)

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  • HAL Id : tel-00449506 , version 1

Citer

Lionel Alberti. Quantitative properties of real algebraic varieties. Mathematics [math]. Université Nice Sophia Antipolis, 2008. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00449506⟩
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