Torsion points on elliptic curves and diophantine equations

Points de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes

Nicolas Billerey (1)

1 IMJ - Institut de Mathématiques de Jussieu

This thesis has two independant parts. In the first one, we are interested in solving some diophantine equations using the modular method. We especially focus on Fermat equations of type (5,5,p) and equations of the shape F(x,y)=z^p where p is prime number and F a rational cubic. The second part deals with arithmetic of elliptic curves. We are interested in calculating the defect of semi-stability of an elliptic curve defined over a finite extension of Q_2 and having additive bad reduction with potentially good reduction. We state a partial result valid for every finite extension of Q_2. In the case of quadratic extensions, we get a complete result. Besides, let E be an elliptic curve defined over a number field K. In the last chapter, we look at prime numbers p such that the Galois action of K on the group of p-torsion points of E is reducible. In case this set is finite, we state a result which allows us in practice to determine it explicitely.

Cette thèse est composée de deux parties indépendantes. Dans la première, on s'intéresse à la résolution de certaines équations diophantiennes par la méthode modulaire. On traite plus particulièrement le cas des équations de Fermat de type (5,5,p) ainsi que celui des équations de la forme F(x,y)=z^p où p est un nombre premier et F une cubique rationnelle. La deuxième partie est consacrée à l'arithmétique des courbes elliptiques. Dans le cas d'une courbe définie sur une extension finie de Q_2 ayant mauvaise réduction additive avec potentiellement bonne réduction, on s'intéresse à la détermination de son défaut de semi-stabilité. On énonce un résultat partiel valable pour toute extension finie de Q_2. Dans le cas des extensions quadratiques ramifiées de Q_2, on obtient un résultat complet. Par ailleurs, si E est une courbe elliptique définie sur un corps de nombres K, on s'intéresse, dans le dernier chapitre, à l'ensemble des nombres premiers p pour lesquels l'action du groupe de Galois absolu de K sur le sous-groupe des points de p-torsion de E est réductible. Lorsque cet ensemble est fini, on obtient un critère permettant en pratique de le déterminer explicitement.

Mots clés: Diophantine equations; elliptic curves; modular forms; Galois representations; class field theory.

Mots clés: Equations diophantiennes; courbes elliptiques; formes modulaires; représentations galoisiennes; théorie du corps de classes.; théorie du corps de classes

Domaines: Mathématiques [math]

Nicolas Billerey. Points de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes. Mathématiques [math]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2009. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00446928⟩