Two mathematical models of the evolution of a sedimentary basin. Phenomena of erosion, sedimentation and transport in geology. Applications in petroleum prospecting

Deux modèles mathématiques de l'évolution d'un bassin sédimentaire. Phénomènes d'érosion-sédimentation-transport en géologie. Application en prospection pétrolière

Mohamed-Salem Louly (1)

1 LMAP - Laboratoire de Mathématiques appliquées de Pau

In this thesis, we study two models describing the evolution of a sedimentary basin under an erosion rate constraint. These models are obtained by applying a mass conservation law on the flow of matter, which leads to Darcy's equation or to the equation of Darcy-Barenblatt whichever flow chosen among two possible expressions according to geologists. The equation of Darcy-Barenblatt is obtained from that of Darcy by adding a diffusion term. In addition, the maximum erosion constraint is implicit in the model formulation of Darcy-Barenblatt, but not in that of Darcy in dimension 2. After the presentation of these models in the introduction of the thesis, the first part is devoted to Darcy-Barenblatt's model. We obtained an existence result for a solution through a Schauder- Tikhonov fixed point method. Then, we have showed a regularity result by using the results of Meyers and Necas on elliptic equations with Hölder coefficients, this regularity result is specific to a dimension inferior or equal to 2. The first part concludes by demonstrating a result of uniqueness of the solution. The Darcy model is considered in the second part of the thesis. We obtained a solution of the problem discretized in time ; however in 2-dimensional space, passing to a continuous formulation imposes to study the product of two weak convergences. It raises theoretical difficulties and open problems. In dimension 1, we have solved a Bernoulli evolution problem to obtain a continuous solution in the case of the marine sedimentation.

Dans cette thèse, on étudie deux modèles décrivant l'évolution d'un bassin sédimentaire sous une contrainte sur le taux d'érosion. Ces modèles sont obtenus par l'application de la loi de conservation de masse sur le flux de matières, ce qui conduit à l'équation de Darcy ou à l'équation de Darcy-Barenblatt selon l'expression du flux choisie parmi deux expressions possibles d'après les géologues. L'équation de Darcy-Barenblatt est obtenue de celle de Darcy en ajoutant un terme de diffusion. En outre, la contrainte d'érosion maximale est implicitement contenue dans la formulation du modèle de Darcy-Barenblatt mais pas dans celle de Darcy en dimension 2. Après la présentation de ces modèles dans l'introduction de la thèse, la première partie est consacrée au modèle de Darcy-Barenblatt. On a obtenu un résultat d'existence d'une solution par une méthode de point fixe de Schauder-Tikhonov. Ensuite, on a montré un résultat de régularité en utilisant des résultats de Meyers et de Necas sur les équations elliptiques à coefficients höldériens, ce résultat de régularité est propre à une dimension inférieur ou égale à 2. La première partie se termine par la démonstration d'un résultat d'unicité de la solution. Le modèle de Darcy est étudié dans la deuxième partie de la thèse, on a obtenu une solution du problème discrétisé en temps, mais en dimension 2 d'espace le passage à la formulation continue fait apparaitre des produits de deux convergences faibles et soulève des difficultés théoriques non surmontées. En dimension 1, on a obtenu une solution continue pour le cas de la sédimentation marine en résolvant un problème à frontière libre de type Bernoulli d'évolution.

Mots clés: Mathematical models; Conservation laws; Partial differential equations

Mots clés: Modèles mathématiques; Lois de conservation; Equations aux dérivées partielles

Domaines: Mathématiques [math]

Mohamed-Salem Louly. Deux modèles mathématiques de l'évolution d'un bassin sédimentaire. Phénomènes d'érosion-sédimentation-transport en géologie. Application en prospection pétrolière. Mathématiques [math]. Université de Pau et des Pays de l'Adour, 2009. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00437343⟩