Contributions aux problèmes d'évolution
Résumé
In the first chapter, the large time behavior of non-negative solutions to the reaction-diffusion equation $\partial_t u=-(-\Delta)^{\alpha/2}u - u^p,$ $(\alpha\in(0,2], \;p>1)$ posed on $\mathbb{R}^N$ and supplemented with an integrable initial condition is studied. We show that the anomalous diffusion term determines the large time asymptotics for $p>1+{\alpha}/{N},$ while nonlinear effects win if $p\leq1+{\alpha}/{N}.$\\ In chapter two, we present first a new technique to prove, in a general case, the recent result of Cazenave, Dickstein and Weissler on the blowing-up solutions to a temporally nonlocal nonlinear parabolic equation.\\ Then, we study the blow-up rate and the global existence in time of the solutions. Furthermore, we establish necessary conditions for global existence.\\ In the chapter three, we investigate the local existence and the finite-time blow-up of solutions of a semilinear parabolic system with nonlocal in time nonlinearities.\\ Moreover, we investigate the blow-up rate and the necessary conditions for local and global existence.\\ Finally, we study the local existence solutions of a hyperbolic equation with a nonlocal in time nonlinearity. Moreover, we give blow-up theorem for the solution under some conditions on the initial data and the exponents of the nonlinear term.
Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'étude de trois équations aux dérivées partielles et d'évolution non-locales en espace et en temps. Les solutions de ces trois solutions peuvent exploser en temps fini. Dans une première partie de cette thèse, nous considérons l'équation de la chaleur nonlinéaire avec une puissance fractionnaire du laplacien, et obtenons notamment que, dans le cas d'exposant sur-critique, le comportement asymptotique de la solution lorsque $t\rightarrow+\infty$ est déterminé par le terme de diffusion anormale. D'autre part, dans le cas d'exposant sous-critique, l'effet du terme non-linéaire domine. Dans une deuxième partie, nous étudions une équation parabolique avec le laplacien fractionnaire et un terme non-linéaire et non-local en temps. On montre que la solution est globale dans le cas sur-critique pour toute donnée initiale ayant une mesure assez petite, tandis que dans le cas sous-critique, on montre que la solution explose en temps fini $T_{\max}>0$ pour toute condition initiale positive et non-triviale. Dans ce dernier cas, on cherche le comportement de la norme $L^1$ de la solution en précisant le taux d'explosion lorsque $t$ s'approche du temps d'explosion $T_{\max}.$ Nous cherchons encore les conditions nécessaires à l'existence locale et globale de la solution. Une toisième partie est consacré à une généralisation de la deuxième partie au cas de systèmes $2\times 2$ avec le laplacien ordinaire. On étudie l'existence locale de la solution ainsi qu'un résultat sur l'explosion de la solution avec les mêmes propriétés étudiées dans le troisième chapitre. Dans la dernière partie, nous étudions une équation hyperbolique dans $\mathbb{R}^N,$ pour tout $N\geq2,$ avec un terme non-linéaire non-local en temps. Nous obtenons un résultat d'existence locale de la solution sous des conditions restrictives sur les données initiales, la dimension de l'espace et les exposants du terme non-linéaire. De plus on obtient, sous certaines conditions sur les exposants, que la solution explose en temps fini, pour toute condition initiale ayant de moyenne strictement positive.
Mots clés
Large time
Parabolic equation
local and global existence
mild and weak solutions
blow-up
blow-up rate
maximal regularity
interior regularity
Schauder's estimates
critical exponent
fractional Laplacian
Riemann-Liouville fractional integrals and derivatives
Parabolic system
Hyperbolic equation
Strichartz estimate
Domaines
Mathématiques [math]
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