random walks in random environment and branching random walks
marches aleatoires en milieu aleatoire et marches branchantes
Résumé
This thesis deals with two models of random walks. The first model belongs to the family of random walks in random environment. In the case where the graph is a Galton-watson tree, we are interested in the asymptotic properties of the walk. When the walk is transient, we look at its speed. We obtain an explicit criterion to have a positive speed, and we give the order of magnitude of the distance to the root when the speed is zero. We apply these results to show that the linearly edge reinforced random walk on a regular tree always has positive speed. Then we study speed-up and slowdown probabilities of the walk and give a large deviations principle in the quenched and annealed settings. Under the annealed probability, we distinguish several regimes of large deviations. The second part of the work presents a model of branching random walks with absorption. We model the evolution of a population moving on the positive half-line of the real axis, in which particles die when crossing zero. Two regimes exist depending on whether the population survives forever or not. In the case where the population dies out, we find the asymptotic equivalents of the survival probability at time n.
Cette thèse porte sur deux modèles de marches aléatoires. Notre premier modèle appartient à la famille des marches aléatoires en environnement aléatoire. Nous nous plaçons dans la situation où le graphe sur lequel évolue la marche est un arbre régulier ou de Galton-Watson, et nous intéressons aux propriétés asymptotiques de cette marche. Dans le cas transient, nous étudions la vitesse de la marche aléatoire. Nous obtenons un critère explicite pour avoir une vitesse non nulle, et donnons l'ordre de grandeur de la distance à la racine dans le régime à vitesse nulle. Nous appliquons nos résultats aux marches renforcées sur un arbre. Nous traitons ensuite des probabilités de grandes déviations de la marche. Nous évaluons le coût d'avoir une situation atypique de ralentissement ou d'accélération. Sous la probabilité annealed, nous distinguons les différents régimes de grandes déviations. La deuxième partie de ce travail présente un modèle de marches aléatoires branchantes avec absorption. Nous modélisons l'évolution d'une population se déplaçant sur l'axe des réels positifs, et dont les membres meurent lorsqu'ils passent l'origine. Deux régimes existent suivant la survie ou non de la population. En cas d'extinction totale de la population, nous trouvons les équivalents asymptotiques des probabilités de survie au temps n.