The rotating normal form of braids
Forme normale tournante des tresses
Résumé
By definition, a braid is an equivalence class of braid words.
Various normal forms have been described in the litterature, i.e., various ways of selecting for each braid, a distinguished word that represents it. Naturally defined on the Birman-Ko-Lee monoids (or dual braid monoids), it can be extended to the whole braid group. Here, we give combinatoric constraints satified by this new normal form.
From these, we obtain a characterization of the rotating normal form and show that the set of the rotating normal forms of dual braids is a regular language.
A result by P. Dehornoy (1992) states that each nontrivial braid admits a sigma-definite representative.
This is the ground result for ordering braids.
Thanks to the rotating normal form and its properties, we show that each braid admits a quasi-geodesic sigma-definite representative, which resolves a question opened for fifteen years.
A result by R. Laver states that the Birman-Ko-Lee monoids equipped with the braid ordering are well-ordered, but it leaves the determination of the lengths unsolved.
Thanks to the rotating normal form, we obtain a characterization of the braid ordering on the n-strands Birman-Ko-Lee monoid from its restriction on the (n-1)-strands Birman--Ko-Lee monoid.
A consequence of this result is a new proof of Laver's result and a determination of the length of the dual braid monoids equipped with the braid ordering.
Various normal forms have been described in the litterature, i.e., various ways of selecting for each braid, a distinguished word that represents it. Naturally defined on the Birman-Ko-Lee monoids (or dual braid monoids), it can be extended to the whole braid group. Here, we give combinatoric constraints satified by this new normal form.
From these, we obtain a characterization of the rotating normal form and show that the set of the rotating normal forms of dual braids is a regular language.
A result by P. Dehornoy (1992) states that each nontrivial braid admits a sigma-definite representative.
This is the ground result for ordering braids.
Thanks to the rotating normal form and its properties, we show that each braid admits a quasi-geodesic sigma-definite representative, which resolves a question opened for fifteen years.
A result by R. Laver states that the Birman-Ko-Lee monoids equipped with the braid ordering are well-ordered, but it leaves the determination of the lengths unsolved.
Thanks to the rotating normal form, we obtain a characterization of the braid ordering on the n-strands Birman-Ko-Lee monoid from its restriction on the (n-1)-strands Birman--Ko-Lee monoid.
A consequence of this result is a new proof of Laver's result and a determination of the length of the dual braid monoids equipped with the braid ordering.
Une tresse est une classe d'équivalence de mots de tresse. Diverses formes normales sur les tresses ont été décrites dans la littérature, c'est-à-dire, divers moyens de sélection, pour toute tresse, d'un mot de tresse distingué la représentant. Définie de façon naturelle sur les monoïdes de tresses de Birman-Ko-Lee (ou duaux), la forme normale tournante peut être étendue au groupe de tresses tout entier. Ici, nous donnons des contraintes de nature combinatoire satisfaites par cette nouvelle forme normale. Nous en obtenons ainsi une caractérisation et montrons que l'ensemble des formes normales tournantes des tresses duales constitue un langage régulier.
Un résultat de P. Dehornoy (1992) affirme que toute tresse non triviale admet un représentant sigma-défini. Ce résultat est à la base de la construction de l'ordre des tresses. A l'aide de la forme normale tournante et de ses propriétés, nous montrons que toute tresse admet un représentant sigma-défini de longueur quasi-géodésique, ce qui résout une question ouverte depuis une quinzaine d'années.
Un résultat de R. Laver montre que les monoïdes de Birman-Ko-Lee munis de l'ordre des tresses sont bien ordonnés mais laisse ouvert la détermination de leurs longueurs.
A l'aide de la forme normale tournante, nous obtenons une caractérisation de l'ordre des tresses sur le monoïde de Birman-ko-Lee à n brins à partir de sa restriction sur celui à (n-1) brins. Une conséquence de ce résultat est une nouvelle démonstration du résultat de R. Laver ainsi que la détermination de la longueur des monoïdes de tresses duaux munis de l'ordre des tresses.
Un résultat de P. Dehornoy (1992) affirme que toute tresse non triviale admet un représentant sigma-défini. Ce résultat est à la base de la construction de l'ordre des tresses. A l'aide de la forme normale tournante et de ses propriétés, nous montrons que toute tresse admet un représentant sigma-défini de longueur quasi-géodésique, ce qui résout une question ouverte depuis une quinzaine d'années.
Un résultat de R. Laver montre que les monoïdes de Birman-Ko-Lee munis de l'ordre des tresses sont bien ordonnés mais laisse ouvert la détermination de leurs longueurs.
A l'aide de la forme normale tournante, nous obtenons une caractérisation de l'ordre des tresses sur le monoïde de Birman-ko-Lee à n brins à partir de sa restriction sur celui à (n-1) brins. Une conséquence de ce résultat est une nouvelle démonstration du résultat de R. Laver ainsi que la détermination de la longueur des monoïdes de tresses duaux munis de l'ordre des tresses.