Graph Structurings: Some Algorithmic Applications
Structurations de Graphes: Quelques Applications Algorithmiques
Résumé
Every property definable in \emph{monadic second order logic} can be checked in polynomial-time on graph classes of bounded \emph{clique-width}. Clique-width is a graph parameter defined in an algebraical way, i.e., with operations ``concatenating graphs'' and that generalize concatenation of words. \emph{Rank-width}, defined in a combinatorial way, is equivalent to the clique-width of undirected graphs. We give an algebraic characterization of rank-width and we show that rank-width is linearly bounded in term of tree-width. We also propose a notion of rank-width of directed graphs and a \emph{vertex-minor} inclusion for directed graphs. We show that directed graphs of bounded rank-width are characterized by a finite list of finite directed graphs to exclude as vertex-minor.
Many graph classes do not have bounded rank-width, e.g., planar graphs. We are interested in labeling schemes on these graph classes. A labeling scheme for a property $P$ in a graph $G$ consists in assigning a label, as short as possible, to each vertex of $G$ and such that, we can verify if $G$ satisfies $P$ by just looking at the labels. We show that every property definable in \emph{first order logic} admit labeling schemes with labels of logarithmic size on graph classes that have bounded \emph{local clique-width}. Bounded degree graph classes, minor closed classes of graphs that exclude an apex graph as a minor have bounded local clique-width.
If $x$ and $y$ are two vertices and $X$ is a subset of the set of vertices and $Y$ is a subset of the set of edges, we let $Conn(x,y,X,F)$ be the graph property: $x$ and $y$ are connected by a path that avoids the vertices in $X$ and the edges in $F$. This property is not definable by a first order formula. We show that it admits a labeling scheme with labels of logarithmic size on planar graphs. We also show that $Conn(x,y,X,\emptyset)$ admits short labeling schemes with labels of logarithmic size on graph classes that are ``planar gluings'' of graphs of small clique-width and with limited overlaps.
Many graph classes do not have bounded rank-width, e.g., planar graphs. We are interested in labeling schemes on these graph classes. A labeling scheme for a property $P$ in a graph $G$ consists in assigning a label, as short as possible, to each vertex of $G$ and such that, we can verify if $G$ satisfies $P$ by just looking at the labels. We show that every property definable in \emph{first order logic} admit labeling schemes with labels of logarithmic size on graph classes that have bounded \emph{local clique-width}. Bounded degree graph classes, minor closed classes of graphs that exclude an apex graph as a minor have bounded local clique-width.
If $x$ and $y$ are two vertices and $X$ is a subset of the set of vertices and $Y$ is a subset of the set of edges, we let $Conn(x,y,X,F)$ be the graph property: $x$ and $y$ are connected by a path that avoids the vertices in $X$ and the edges in $F$. This property is not definable by a first order formula. We show that it admits a labeling scheme with labels of logarithmic size on planar graphs. We also show that $Conn(x,y,X,\emptyset)$ admits short labeling schemes with labels of logarithmic size on graph classes that are ``planar gluings'' of graphs of small clique-width and with limited overlaps.
Tous les problèmes définissables en \emph{logique monadique du second ordre } peuvent être résolus en temps polynomial dans les classes de graphes qui ont une \emph{largeur de clique} bornée. La largeur de clique est un paramètre de graphe défini de manière algébrique, c'est-à-dire, à partir d'opérations de composition de graphes. La \emph{largeur de rang}, définie de manière combinatoire, est une notion équivalente à la largeur de clique des graphes non orientés. Nous donnons une caractérisation algébrique de la largeur de rang et nous montrons qu'elle est linéairement bornée par la largeur arborescente. Nous proposons également une notion de largeur de rang pour les graphes orientés et une relation de \emph{vertex-minor} pour les graphes orientés. Nous montrons que les graphes orientés qui ont une largeur de rang bornée sont caractérisés par une liste finie de graphes orientés à exclure.
Beaucoup de classes de graphes n'ont pas une largeur de rang bornée, par exemple, les graphes planaires. Nous nous intéressons aux systèmes d'étiquetage dans ces classes de graphes. Un système d'étiquetage pour une propriété $P$ dans un graphe $G$, consiste à assigner une étiquette, aussi petite que possible, à chaque sommet de telle sorte que l'on puisse vérifier si $G$ satisfait $P$ en n'utilisant que les étiquettes des sommets. Nous montrons que si $P$ est une propriété définissable en \emph{logique du premier ordre} alors, certaines classes de graphes de \emph{largeur de clique localement bornée} admettent un système d'étiquetage pour $P$ avec des étiquettes de taille logarithmique. Parmi ces classes on peut citer les classes de graphes de degré borné, les graphes planaires et plus généralement les classes de graphes qui excluent un apex comme mineur et, les graphes d'intervalle unitaire.
Si $x$ et $y$ sont deux sommets, $X$ un ensemble de sommets et $F$ un ensemble d'arêtes, nous notons $Conn(x,y,X,F)$ la propriété qui vérifie dans un graphe donné si $x$ et $y$ sont connectés par un chemin, qui ne passe par aucun sommet de $X$ ni aucune arête de $F$. Cette propriété n'est pas définissable en logique du premier ordre. Nous montrons qu'elle admet un système d'étiquetage avec des étiquettes de taille logarithmique dans les graphes planaires. Nous montrons enfin que $Conn(x,y,X,\emptyset)$ admet également un système d'étiquetage avec des étiquettes de taille logarithmique dans des classes de graphes qui sont définies comme des \emph{combinaisons} de graphes qui ont une petite largeur de clique et telle que le graphe d'intersection de ces derniers est planaire et est de degré borné.
Beaucoup de classes de graphes n'ont pas une largeur de rang bornée, par exemple, les graphes planaires. Nous nous intéressons aux systèmes d'étiquetage dans ces classes de graphes. Un système d'étiquetage pour une propriété $P$ dans un graphe $G$, consiste à assigner une étiquette, aussi petite que possible, à chaque sommet de telle sorte que l'on puisse vérifier si $G$ satisfait $P$ en n'utilisant que les étiquettes des sommets. Nous montrons que si $P$ est une propriété définissable en \emph{logique du premier ordre} alors, certaines classes de graphes de \emph{largeur de clique localement bornée} admettent un système d'étiquetage pour $P$ avec des étiquettes de taille logarithmique. Parmi ces classes on peut citer les classes de graphes de degré borné, les graphes planaires et plus généralement les classes de graphes qui excluent un apex comme mineur et, les graphes d'intervalle unitaire.
Si $x$ et $y$ sont deux sommets, $X$ un ensemble de sommets et $F$ un ensemble d'arêtes, nous notons $Conn(x,y,X,F)$ la propriété qui vérifie dans un graphe donné si $x$ et $y$ sont connectés par un chemin, qui ne passe par aucun sommet de $X$ ni aucune arête de $F$. Cette propriété n'est pas définissable en logique du premier ordre. Nous montrons qu'elle admet un système d'étiquetage avec des étiquettes de taille logarithmique dans les graphes planaires. Nous montrons enfin que $Conn(x,y,X,\emptyset)$ admet également un système d'étiquetage avec des étiquettes de taille logarithmique dans des classes de graphes qui sont définies comme des \emph{combinaisons} de graphes qui ont une petite largeur de clique et telle que le graphe d'intersection de ces derniers est planaire et est de degré borné.
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