Fonctions sur l'ensemble des diagrammes de Young : caractères du groupe symétrique et polynômes de Kerov - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2009

Functions on the set on Young diagrams: character of symmetric groups and Kerovs polynomials

Fonctions sur l'ensemble des diagrammes de Young : caractères du groupe symétrique et polynômes de Kerov

Valentin Féray

Résumé

The first part (in french) recalls the previous results in the field and shows how our results fit in it. The following parts (in english) correspond to the papers written during my thesis.

In the second part, we prove a combinatorial formula for normalized character values $\hat{\chi}^\lambda(\sigma)$ (called Stanley's formula). This formula, conjectured by R.P. Stanley, gives irreducible character values in terms of the coordinates $\s{p}$ and $\s{q}$ of multirectangular diagrams. This formula is proved is in two different ways. The first one is based on the properties of Jucys-Murphy elements and shifted Schur functions. The second one is a computation of trace in the symmetric group algebra: the main tool is the description of the irreducible representation associated to $\lambda$ with Young's idempotent.

A very interesting aspect of this formula is its complexity, which only depends of the size of the support of the permutation $\sigma$ and not of the size of the permutation itself. Thus it is very useful in an asymptotic study of character values $\hat{\chi}^\lambda(\sigma)$ on a fixed permutation $\sigma$ (completed with fixed points) when the size of $\lambda$ goes to infinity. We can recover this way a combinatorial formula for the homogeneous equivalent of character value on a cycle and, also, an upper bound. This bound, optimal up to a multiplicative factor for fixed permutations, can be extended to permutations $\sigma$ whose length increases with $|\lambda|$. We improve this way the previous results in this direction.

In the third part, we focus on Kerov's polynomials. Once again, we propose two different approaches, both using Stanley's formula. The first one is based on map combinatorics. Indeed, the character value can be written as an alternate sum of functions on the set of Young diagrams indexed by maps. We obtain an explicit a relation between these functions. By iterating it, we write in a canonical way the function of a labeled map as an alternate sum of products of tree functions. This gives a combinatorial interpretation of the coefficients of Kerov's polynomials. With this method, explained in chapter 6, we prove a generalized version of Kerov's conjecture and compute some coefficients.

The second way to attack the problem is to introduce a new family of functionals of Young diagrams. Then we can deduce from Stanley's formula a new combinatorial formula for character values, in which all terms belong to the algebra $\Lambda^\star$. Using it, we can express the coefficients of Kerov's polynomials as an alternate sum of numbers of some factorizations. After a non trivial combinatorial work, we manage to simplify this expression to obtain an explicit combinatorial expression of the coefficients. This implies immediately Kerov's conjecture.

The subject of the fourth part is quite different from the others. It explains how the combinatorial structure which appear in our work on Kerov's polynomials can be used in an other domain: rational identities. We look at partial symmetrizations of the simple rational function $\prod_i (x_i-x_{i+1})^{-1}$. The main object is a sum of its image by some permutations of the variables. The sets of permutations we consider are linear extensions of posets, which can be represented by oriented graphs. Thus, we define a family of rational functions indexed by graphs.

But these rational functions happen to verify relations close to those which appear in the analysis of Kerov's polynomials. These relations give an algorithm to compute the rational functions and easy proofs (by induction) of some links between their algebraic properties and the combinatorics of the associated graphs. As the map structure is very important in the study of Kerov's polynomials, one may wonder whether it is interesting to endow our graphs with arbitrary map structure: this gives a non-inductive combinatorial formula of our rational function.

This shows the contribution of the combinatorial approach used in this thesis. In a small conclusion, we present some directions of research suggested by these results.
Comme dans tout groupe fini, l'étude des représentations du groupe symétrique se ramène au calcul des caractères irréductibles. L'objet central de cette thèse est l'étude des valeurs du caractère irréductible (renormalisé) comme fonction de la partition indexant la représentation (et non de la permutation sur laquelle on calcule le caractère). La première partie est une introduction présentant les résultats nouveaux de cette thèse dans leur contexte scientifique.

Dans la deuxième partie, nous établissons une formule combinatoire pour les valeurs des caractères. Cette formule, conjecturée par R.P. Stanley, donne l'expression du caractère normalisé en fonction des coordonnées des diagrammes multirectangulaires. Deux preuves sont proposées dans ce mémoire. La première utilise les propriétés des éléments de Jucys-Murphy et les fonctions de Schur décalées. La seconde est un calcul de trace dans l'algèbre du groupe symétrique : elle utilise le fait que les représentations irréductibles peuvent être décrites par les projecteurs de Young.

Un des intérêts de cette formule est que sa complexité ne dépend que de la taille du support de la permutation et non de la taille de la permutation elle-même. Elle est donc très adaptée à une étude asymptotique du caractère sur une permutation fixée (complétée par des points fixes) quand la taille du groupe symétrique tend vers l'infini. On retrouve ainsi la formule combinatoire de l'équivalent homogène du caractère sur un cycle ainsi qu'une borne supérieure optimale à un facteur multiplicatif près. Cette borne peut être étendue à des permutations dont la longueur varie, améliorant ainsi les précédents résultats dans ce domaine.

Dans la troisième partie, nous étudions en détail l'expression des caractères en fonction des cumulants libres (observables du diagramme qui apparaissent naturellement dans des problèmes asymptotiques). Encore une fois, nous proposons deux approches différentes au problème, utilisant toutes les deux la formule précédente. La première fait apparaître de la combinatoire sur des cartes. En effet, le caractère s'écrit comme une somme alternée de fonctions sur les diagrammes de Young indexées par des cartes. Nous étudions en détail ces fonctions et leurs relations. On définit ainsi une décomposition canonique des cartes étiquetées en somme alternée de produits d'arbres permettant d'interpréter combinatoirement les coefficients des polynômes de Kerov. Avec cette méthode, nous prouvons une version généralisée d'une conjecture de positivité de Kerov et calculons les valeurs de certains coefficients.

La seconde manière d'aborder le problème est d'utiliser d'autres observables des diagrammes de Young. Ceci permet d'exprimer les coefficients des polynômes de Kerov comme une somme alternée de nombre de factorisations vérifiant des propriétés données. Après un travail combinatoire non trivial, nous simplifions cette expression pour obtenir une interprétation combinatoire explicite des coefficients.

La quatrième partie de ce mémoire est un peu à part. Elle montre comment la structure combinatoire qui est ressortie de l'étude des polynômes de Kerov peut être utilisée dans un autre domaine : l'étude d'identités sur des fractions rationnelles. On définit dans cette partie une famille de fractions rationnelles indexées par des graphes. Or elles vérifient des relations très proches de celles des fonctions sur les diagrammes de Young évoquées ci-dessus. Ces relations donnent un algorithme de calcul et permettent de montrer facilement (par récurrence) des liens entre propriétés algébriques des fonctions et combinatoire des graphes. Le fait que la structure de cartes joue un rôle important pour l'étude des polynômes de Kerov invite à munir dans ce problème les graphes d'une structure arbitraire de cartes. On obtient alors une formule combinatoire non récursive pour notre fraction rationnelle.
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Dates et versions

tel-00418482 , version 1 (18-09-2009)
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Identifiants

  • HAL Id : tel-00418482 , version 1

Citer

Valentin Féray. Fonctions sur l'ensemble des diagrammes de Young : caractères du groupe symétrique et polynômes de Kerov. Mathématiques [math]. Université Paris-Est, 2009. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00418482v1⟩
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