Koszul duality and semi-simple Lie algebras in positive characteristic
Dualité de Koszul et algèbres de Lie semi-simples en caractéristique positive
Résumé
Recent works of Bezrukavnikov, Mirkovic and Rumynin obtain a good localization theory for Ug-modules in positive characteristic (where g is the Lie algebra of a connected, simply-connected, semi-simple algebraic group), yielding equivalences of derived categories between certain categories of g-modules and certain categories of coherent sheaves of Springer's variety. In this thesis we apply and extend some results of this theory. In chapter II, we give a geometric construction of an action of the extended affine braid group appearing in localization theory. Chapter III contains the main results of this thesis: we develop an appropriate version of a “linear Koszul duality”, which allows us to prove that certain blocks of Ug can be endowed with a Koszul grading, if the characteristic of the base field is sufficiently large. This generalizes previous results of Andersen, Jantzen and Soergel. In chapter IV, in collaboration with Mirkovic, we consider again “linear Koszul duality” in a slightly different, and more general, setting. Finally, chapter I (in collaboration with Bezrukavnikov) gives explicit computations in the case of SL(3) which were the starting point of this work.
Les travaux récents de Bezrukavnikov, Mirkovic et Rumynin obtiennent une bonne théorie de la localisation des Ug-modules en caractéristique positive (où g est l'algèbre de Lie d'un groupe algébrique semi-simple connexe et simplement connexe), qui donne lieu à des équivalences de catégories dérivées entre des catégories de g-modules et des catégories de faisceaux cohérents sur la variété de Springer. Dans cette thèse, on applique et étend certains résultats de cette theorie. Dans le chapitre II, on donne une construction géométrique d'une action du groupe de tresses affine étendu apparaissant dans la théorie de la localisation. Le chapitre III contient les résultats principaux de la thèse : on y développe une version appropriée d'une « dualité de Koszul linéaire », qui permet de démontrer que certains blocs de Ug peuvent être munis d'une graduation de Koszul, si la caractéristique du corps est suffisamment grande. Ceci généralise des résultats antérieurs de Andersen, Jantzen et Soergel. Dans le chapitre IV, en collaboration avec Mirkovic, on reprend la « dualité de Koszul linéaire », sous une forme un peu différente, valable dans un cadre plus général. Enfin, le chapitre I (en collaboration avec Roman Bezrukavnikov) donne des calculs explicites dans le cas de SL(3) qui ont été le point de départ de ce travail.
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