Laws of large numbers and asymptotic martingales
Lois fortes des grands nombres et martingales asymptotiques
Résumé
The convergence rate in Kolmogorov's strong law of large numbers is usually quantified by upper bounds of the tails of the distribution fonction of the partial sums. Another approach consists in considering the partial sums as potential generalized martingales (amart or quasimartingale). We successively consider Kolmogorov's law of large numbers for independent and identically distributed random variables and two of its generalizations : Marcinkiewicz-Zygmund's law of large numbers of order p (1< p<2) and Cesàro's law of large numbers of order α (0
La vitesse de convergence dans la loi forte des grands nombres de Kolmogorov est généralement quantifiée par des majorations fines de la queue de la fonction de répartition des sommes partielles. Une autre approche, à laquelle nous nous intéressons dans ce travail, consiste à considérer ce problème de vitesse de convergence sous un aspect de martingale généralisée (amart ou quasimartingale). Nous considérons successivement la loi des grands nombres de Kolmogorov pour des variables aléatoires indépendantes équidistribuées et deux de ses généralisations : la loi des grands nombres de Marcinkiewicz-Zygmund d'ordre p (1< p<2) et celle de Cesàro d'ordre α (0<α<1). Nous exhibons, pour chacune de ces lois des grands nombres, des conditions nécessaires et suffisantes d'intégrabilité pour que les sommes partielles aient un comportement d'amart ou de quasimartingale. Nous remarquons en particulier que la généralisation de certains résultats scalaires aux variables aléatoires à valeurs dans un espace de Banach nécessite de se placer dans un espace de type p. Nous concluons notre travail par quelques résultats dans le cas non équidistribué.
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