COOPERATIVE BEHAVIOUR IN COMPLEX SYSTEMS
COMPORTEMENT COOPÉRATIF DANS DES SYSTÈMES COMPLEXES
Résumé
My motivation during my PhD studies was to examine cooperative behaviour in complex systems using the methods of statistical and computational physics. The aim of my work was to study the critical behaviour of interacting many-body systems during their phase transitions and describe their universal features analytically and by means of numerical calculations. In order to do so I completed studies in four different subjects which are presented in the dissertation as follows:
After a short introduction I summarized the capital points of the related theoretical results. I shortly discussed the subjects of phase transitions and critical phenomena and briefly wrote about the theory of universality classes and critical exponents. Then I introduced the important statistical models which were examined later in the thesis and I gave a short description of disordered models. In the next chapter first, I pointed out the definitions of graph theory that I needed to introduce the applied geometrical structures and I reviewed the main properties of regular lattices and defined their general used boundary conditions. I closed this chapter with a short introduction to complex networks. The next chapter contains the applied numerical methods that I used in the course of numerical studies. I write a few words about Monte Carlo methods and introduce a combinatorial optimization algorithm and its mathematical background. As a last point I describe my own techniques to generate scale-free networks.
Following this theoretical introduction the obtained scientific results were presented in the following way:
My first investigated subject was a study of non-equilibrium phase transitions in weighted scale-free networks where I introduced edge weights and rescaled each of them by a power of the connectivities, thus a phase transition could be realized even in realistic networks having a degree exponent γ ≤ 3. The investigated non-equilibrium system was the contact process which is a reaction-diffusion model belonging to the universality class of directed percolation. This epidemic spreading model presents a phase transition between an infected and a recovered state ordered by the ration of the recovering and infecting probability.
The second problem I investigated was the ferromagnetic random bond Potts model with large values of q on evolving scale-free networks. This problem is equivalent to an optimal cooperation problem, where the agents try to find an optimal situation where the benefits of pair cooperation (here the Potts couplings) and total sum of the support, which is the same for all projects are maximized. A phase transition occurs in the system between a state when each agents are correlated and a high temperature disordered state. I examined this model using a combinatorial optimization algorithm on scale-free Barab ́si-Albert networks with homogeneous couplings and when the edge weights were a independent random values following a quasi-continuous distribution with different strength of disorder.
The third examined problem was related to the large-q sate random bond Potts model also. Here I examined the critical density of clusters which touched a certain border of a perpendicular strip like geometry. Following from conformal prediction I expected the same density behavior as it was exactly derived for critical percolation in infinite strips. I calculated averages by the above mentioned effective combinatorial optimization algorithm and I compared the numerical means to the expected theoretical curves.
The last investigated problem was the antiferromagnetic Ising model on two-dimensional triangular lattice at zero temperature in the absence of external field. This model was intensively studied during the last few decades, since it shows exotic features in equilibrium due to its geometrical frustration. However contradictory explanations were published in the literature about its non-equilibrium dynamical behaviour as it was characterized by a diffusive growth with logarithmic correction or by a sub-diffusive dynamics with effective exponents. My aim was to find independent evidences for one of the explanation and examine the dynamical behavior in the aging regime.
After a short introduction I summarized the capital points of the related theoretical results. I shortly discussed the subjects of phase transitions and critical phenomena and briefly wrote about the theory of universality classes and critical exponents. Then I introduced the important statistical models which were examined later in the thesis and I gave a short description of disordered models. In the next chapter first, I pointed out the definitions of graph theory that I needed to introduce the applied geometrical structures and I reviewed the main properties of regular lattices and defined their general used boundary conditions. I closed this chapter with a short introduction to complex networks. The next chapter contains the applied numerical methods that I used in the course of numerical studies. I write a few words about Monte Carlo methods and introduce a combinatorial optimization algorithm and its mathematical background. As a last point I describe my own techniques to generate scale-free networks.
Following this theoretical introduction the obtained scientific results were presented in the following way:
My first investigated subject was a study of non-equilibrium phase transitions in weighted scale-free networks where I introduced edge weights and rescaled each of them by a power of the connectivities, thus a phase transition could be realized even in realistic networks having a degree exponent γ ≤ 3. The investigated non-equilibrium system was the contact process which is a reaction-diffusion model belonging to the universality class of directed percolation. This epidemic spreading model presents a phase transition between an infected and a recovered state ordered by the ration of the recovering and infecting probability.
The second problem I investigated was the ferromagnetic random bond Potts model with large values of q on evolving scale-free networks. This problem is equivalent to an optimal cooperation problem, where the agents try to find an optimal situation where the benefits of pair cooperation (here the Potts couplings) and total sum of the support, which is the same for all projects are maximized. A phase transition occurs in the system between a state when each agents are correlated and a high temperature disordered state. I examined this model using a combinatorial optimization algorithm on scale-free Barab ́si-Albert networks with homogeneous couplings and when the edge weights were a independent random values following a quasi-continuous distribution with different strength of disorder.
The third examined problem was related to the large-q sate random bond Potts model also. Here I examined the critical density of clusters which touched a certain border of a perpendicular strip like geometry. Following from conformal prediction I expected the same density behavior as it was exactly derived for critical percolation in infinite strips. I calculated averages by the above mentioned effective combinatorial optimization algorithm and I compared the numerical means to the expected theoretical curves.
The last investigated problem was the antiferromagnetic Ising model on two-dimensional triangular lattice at zero temperature in the absence of external field. This model was intensively studied during the last few decades, since it shows exotic features in equilibrium due to its geometrical frustration. However contradictory explanations were published in the literature about its non-equilibrium dynamical behaviour as it was characterized by a diffusive growth with logarithmic correction or by a sub-diffusive dynamics with effective exponents. My aim was to find independent evidences for one of the explanation and examine the dynamical behavior in the aging regime.
Ma motivation lors de mon doctorat fut d'examiner le comportement coopératif dans des systèmes complexes en utilisant les méthodes de la physique statistique et de l'informatique. Le but de mon travail fut d'étudier le comportement critique des systèmes à N corps durant leurs transitions de phase et de décrire de façon analytique leurs caractéristiques universelles, au moyen de calculs numériques. Afin d'y arriver j'ai effectué des études dans quatre sujets différents qui sont présentés dans la dissertation de la manière suivante:
Après une brève introduction, j'ai résumé les points capitaux en relation avec les résultats théoriques. J'ai brièvement abordé le sujet des transitions de phase et des phénomènes critiques, de même que la théorie des classes d'universalité et des exposants critiques. Ensuite j'ai introduit les modèles statistiques important qui sont examinés plus tard dans la thèse et j'ai donné une petite description des modèles désordonnés. Dans le chapitre suivant, j'ai tout d'abord mis en avant les définitions de la théorie des graphes dont j'ai eu besoin pour introduire les structures géométriques appliquées et j'ai passé en revue les principales propriétés des réseaux régulières et j'ai défini les conditions de bord généralement utilisées. J'ai terminé ce chapitre avec une petite introduction sur les réseaux complexes. Le chapitre suivant contient les méthodes numériques appliquées que j'ai utilisées au cours des études numériques. J'ai écrit quelques mots sur les méthodes de Monte-Carlo et j'ai introduit l'algorithme d'optimisation combinatoire utilisé, et ses justifications mathématiques. Pour terminer j'ai décrit mes propres techniques pour générer des réseaux sans échelle.
Suite à cette introduction théorique les résultats scientifiques ont été présentés de la manière suivante:
Le 1er sujet auquel je me suis intéressé est une étude des transitions de phase hors équilibre dans les réseaux sans échelle de longueur, où la distribution des connectivités était ajustée, de telle façon qu'une transition de phase puisse être réalisée même dans les réseaux réalistes ayant un degré exposant γ ≤ 3. Le système hors équilibre étudié était le "contact process" qui est un modèle de réaction-diffusion appartenant à la classe d'universalité de la percolation dirigé.
Le deuxième problème que j'ai étudié fut le modèle de Potts aléatoire ferromagnétique avec de grandes valeurs de $q$ sur des réseaux évolutifs sans échelle. Ce problème est équivalent à un problème de coopération optimale, où les agents essaient de trouver une situation optimale, où les bénéfices de coopération de paire (ici les couplages de Potts) et la somme totale du support, qui est la même pour tous les projets (introduite ici comme la température), sont maximisés. Une transition de phase apparaît dans le système entre un état où tous les agents sont corrélés, et un état désordonné à haute température. J'ai examiné ce modèle en utilisant un algorithme d'optimisation combinatoire sur les réseaux de Barabási-Albert sans échelle de longueur avec des couplages homogènes et aussi avec des couplages pondérés par des variables aléatoires indépendantes, suivant une distribution quasi-continue avec différents intensité de désordre.
Le troisième problème examiné fut en rapport également avec le modèle de Potts ferromagnétique aléatoire à grand nombre d'états. J'ai examiné la densité critique des amas qui touchent l'un ou l'autre des bords dans une géométrie rectangulaire. Conformément à une prédiction de la théorie conforme je me suis attendu au même comportement que celui dérivé exactement pour la percolation critique dans des bandes infinies. J'ai calculé des moyennes à l'aide de l'algorithme d'optimisation combinatoire mentionné ci-dessus et j'ai comparé les moyennes numériques aux courbes théoriques attendues.
Le dernier problème que j'ai étudié fut le modèle antiferromagnétique d'Ising bidimensionnel sur réseau triangulaire à température zéro en l'absence de champ extérieur. Ce modèle a été intensément étudié au cours des deux dernières décennies, dans la mesure où il montre les caractéristiques exotiques à l'équilibre due à la frustration géométrique. Cependant des explications contradictoires ont été publiées dans la littérature à propos du comportement dynamique en hors équilibre, suivant qu'il était caractérisé par une croissance diffusive avec correction logarithmique ou par une dynamique sous diffusives avec des exposants effectifs. Mon but fut de trouver des preuves indépendantes pour l'une des explications et d'examiner le comportement dynamique dans le régime de vieillissement.
Après une brève introduction, j'ai résumé les points capitaux en relation avec les résultats théoriques. J'ai brièvement abordé le sujet des transitions de phase et des phénomènes critiques, de même que la théorie des classes d'universalité et des exposants critiques. Ensuite j'ai introduit les modèles statistiques important qui sont examinés plus tard dans la thèse et j'ai donné une petite description des modèles désordonnés. Dans le chapitre suivant, j'ai tout d'abord mis en avant les définitions de la théorie des graphes dont j'ai eu besoin pour introduire les structures géométriques appliquées et j'ai passé en revue les principales propriétés des réseaux régulières et j'ai défini les conditions de bord généralement utilisées. J'ai terminé ce chapitre avec une petite introduction sur les réseaux complexes. Le chapitre suivant contient les méthodes numériques appliquées que j'ai utilisées au cours des études numériques. J'ai écrit quelques mots sur les méthodes de Monte-Carlo et j'ai introduit l'algorithme d'optimisation combinatoire utilisé, et ses justifications mathématiques. Pour terminer j'ai décrit mes propres techniques pour générer des réseaux sans échelle.
Suite à cette introduction théorique les résultats scientifiques ont été présentés de la manière suivante:
Le 1er sujet auquel je me suis intéressé est une étude des transitions de phase hors équilibre dans les réseaux sans échelle de longueur, où la distribution des connectivités était ajustée, de telle façon qu'une transition de phase puisse être réalisée même dans les réseaux réalistes ayant un degré exposant γ ≤ 3. Le système hors équilibre étudié était le "contact process" qui est un modèle de réaction-diffusion appartenant à la classe d'universalité de la percolation dirigé.
Le deuxième problème que j'ai étudié fut le modèle de Potts aléatoire ferromagnétique avec de grandes valeurs de $q$ sur des réseaux évolutifs sans échelle. Ce problème est équivalent à un problème de coopération optimale, où les agents essaient de trouver une situation optimale, où les bénéfices de coopération de paire (ici les couplages de Potts) et la somme totale du support, qui est la même pour tous les projets (introduite ici comme la température), sont maximisés. Une transition de phase apparaît dans le système entre un état où tous les agents sont corrélés, et un état désordonné à haute température. J'ai examiné ce modèle en utilisant un algorithme d'optimisation combinatoire sur les réseaux de Barabási-Albert sans échelle de longueur avec des couplages homogènes et aussi avec des couplages pondérés par des variables aléatoires indépendantes, suivant une distribution quasi-continue avec différents intensité de désordre.
Le troisième problème examiné fut en rapport également avec le modèle de Potts ferromagnétique aléatoire à grand nombre d'états. J'ai examiné la densité critique des amas qui touchent l'un ou l'autre des bords dans une géométrie rectangulaire. Conformément à une prédiction de la théorie conforme je me suis attendu au même comportement que celui dérivé exactement pour la percolation critique dans des bandes infinies. J'ai calculé des moyennes à l'aide de l'algorithme d'optimisation combinatoire mentionné ci-dessus et j'ai comparé les moyennes numériques aux courbes théoriques attendues.
Le dernier problème que j'ai étudié fut le modèle antiferromagnétique d'Ising bidimensionnel sur réseau triangulaire à température zéro en l'absence de champ extérieur. Ce modèle a été intensément étudié au cours des deux dernières décennies, dans la mesure où il montre les caractéristiques exotiques à l'équilibre due à la frustration géométrique. Cependant des explications contradictoires ont été publiées dans la littérature à propos du comportement dynamique en hors équilibre, suivant qu'il était caractérisé par une croissance diffusive avec correction logarithmique ou par une dynamique sous diffusives avec des exposants effectifs. Mon but fut de trouver des preuves indépendantes pour l'une des explications et d'examiner le comportement dynamique dans le régime de vieillissement.
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